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Una serie de ejercicios de cálculo vectorial que abarcan diferentes tipos de integrales: integrales de línea, de superficie y de volumen. Los ejercicios cubren temas como el cálculo de integrales de línea de campos vectoriales, el cálculo del área de una porción de un paraboloide, el cálculo del volumen de un sólido generado por la rotación de una superficie alrededor de un eje, el cálculo de integrales dobles y triples. Cada ejercicio incluye el planteamiento del problema, el procedimiento de resolución y la solución final. Este material puede ser útil para estudiantes universitarios que estén cursando asignaturas relacionadas con el cálculo vectorial, como cálculo avanzado, análisis matemático o matemáticas para ingeniería.
Tipo: Resúmenes
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A. Realiza lo que se indica, posteriormente ingresa al Foro para participar:
por el punto ( 0,1) hasta el punto (1,0 ). Integral de superficie Ejercicio: Calcule el área de la porción del paraboloide z = x 2 + y 2 que está comprendida entre los planos z = 0 y z = 1. Integral de volumen Ejercicio: Calcular el volumen del solido generado por la superficie limitada por la recta y =x+ 2 y el eje x desde x = −2 yx = 2 al girar sobre el eje x Integral doble Ejercicio: Calcular la siguiente integral doble, indicar la región R de integración y hallar su valor: ∫ 0 2 ❑∫ 0 1
Integral triple Ejercicio: Evaluar una integral triple sobre una caja cilíndrica
B={(r,θ,z)|0≤r≤2,0≤θ≤π/2,0≤z≤4}. B. Resolver cada ejercicio y presentar la información generada de forma ordenada conforme a los siguientes rubros:
= 2x y
= 2y ∫∫D (^) √ 1 + 4 x^2 + 4y^2 dx dy Z= 0 y z=1 es 4 0 ≤ x^2 + y^2 ≤ 1 Solución (graficación y resultados)
(x+2)^2 (x+2)^2 = x^2 + 4x + 4 X = -2 hasta x = 2 V = π (^) ∫ − 2 2
= π
= π [(
= π [
= π [
Solución (graficación y resultados) Por lo tanto, el volumen solido generado por la superficie limitada es
unidades cubicas
B={(r,θ,z)|0≤r≤2,0≤θ≤π/2,0≤z≤4}. Planteamiento del problema
Sobre la región de integración definida por la caja cilíndrica B: B={(r,θ,z)|0≤r≤2, 0≤θ≤π/2, 0≤z≤4}. Procedimiento (operaciones) ∫ 0 4 ∫ 0 π 2 ∫ 0 2
(^2) sin θ) dr dθ dz ∫ 0 4
r^3 │^20 =
∫ 0 2
= 0 – cos
Solución (graficación y resultados) Podemos decir que la integral triple es igual a
x 1 x 4
C. Se pueden obtener interpretaciones, valores e incluso cálculos mediante software, sin embargo, se sugiere ampliamente que esto solo sea un auxiliar, no una respuesta a los ejercicios.
2. Realiza la actividad en un procesador de textos e incluye las gráficas o imágenes de capturas de pantallas en caso se utilizar algún software. El valor de integral ∫∫R 3 Da R= {(x,y) | -2 ≤2,1 ≤ y ≤6} para el volumen de un solido De las ecuaciones paramétricas x = 4 – t^2 y y= t^2 + 4t determine d^2 y/ dx^2
