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UNIDAD IV: FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES
FELIPE SANTIAGO KARINA
ASIGNATURA: CÁLCULO VECTORIAL
EJERCICIO 1
Encuentre el límite, si es que existe, o demuestre que el límite no existe:
lim(x,y)→(2,1) (^) x^42 −+3xyy 2 lim(x,y)→(2,1) (^) (2)^4 − 2 (2)(1)+3(1) 2 lim(x,y)→(2,1)^4 4+3−^2
RESU LT ADO
lim(x,y)→(2,1) =^2 7
EJERCICIO 2
Encuentre los valores máximos y mínimosrelativos (locales) y los puntos de
silla de
la función: f (x; y) = x^2 + y^2 + x−^2 y−^2
D =
fxx fxy fyx fyy
= fxxfyy − (fxy )^2
fx = 2x − (^) x (^32) y 2 fy = 2y − (^) x (^22) y 3 2 x − (^) x (^32) y 2 = 0
2 y − (^) x (^22) y 3 = 0
Multiplicar ambos lados por x^3 y^2
2 xx^3 y^2 − (^) x (^32) y 2 x^3 y^2 = 0 · x^3 y^2
2 x^4 y^2 − 2 = 0
2 x^4 y^2 − 2 + 2 = 0 + 2
2 x^4 y^2 = 2
2 x^4 y^2 2 y^2 =^
2 2 y^2 y^6 = 0
x^4 = (^) y^12 ; y 6 = 0......
x =
y , x^ =^ −
y
1 y ) (^4) y (^2) − 2 = 0
2
1 y
y^2 − 2 = 0 1 y y^ = 1
12 = 2
= 2 · 1
= 2 − 2 = 0
0 = 0
y > 0
1 y ) (^4) y (^2) − 2 = 0 2 y^2 y
1 · 2 y^2 y^2
1 · 2
= 2 − 2 = 0
= (^) ∂x∂ yz + (^) ∂x∂ x ln y − (^) ∂x∂ z^2
= 0 + ln y − 0
= ln y
∂w ∂y
∂y
yz + x ln y − z^2
= (^) ∂y∂ yz + (^) ∂y∂ x ln y − (^) ∂y∂ z^2
= z + x y
= z + xy ∂w∂z
∂z
yz + x ln y − z^2
= (^) ∂z∂ yz + (^) ∂z∂ x ln y − (^) ∂z∂ z^2
= y + 0 − 2 z
= y − 2 z
Calculamos ∂z∂x y ∂z∂y
∂z ∂x
∂w ∂x ∂w ∂z
= − (^) yln−^ y 2 z
∂z ∂y
∂w ∂y ∂w ∂z
= − z+^
xy y− 2 z
zy+x y y − 2 z
RESU LT ADO
zy + x y (y − 2 z)
EJERCICIO 4
Encuentre la derivada parcial ∂ (^3) z ∂u∂v∂w de la
funcion de z = u
v − w
Derivamos con respecto a w
∂z ∂w
∂w
u
v − w
= u (^) ∂w∂
(v − w)
= u
2
(v − w)−^ (^12) (−1)
= − 2 √uv−w
respectivamente derivamos en v
EJERCICIO 5
Encuentre una ecuación del plano tangente
a la supercie dada en el punto especicado.
z = 3y^2 − 2 x^2 + x, (2, − 1 , −3)
z − z 0 = fx (x 0 , y 0 ) (x − x 0 ) + fy (x 0 , y 0 ) (y − y 0 )
fx (x, y) = − 4 x + 1
fy (x, y) = 6y
fx (2, −1) = − 7
fy (2, −1) = − 6
z − (−3) = fx (2, −1) [x − 2] + fy (2, −1) [y − (−1)]
z + 3 = fx (2, −1) [x − 2] + fy (2, −1) [y + 1]
z − 3 = − 7 x + 14 − 6 y − 6
RESU LT ADO
− 7 x − 6 y + 5 = z
EJERCICIO 6
Determine ∂f∂x y ∂f∂y de la función f(x, y)
x^2 y^2 + y
∂f ∂x
∂x
x^2 y^2 + y
= y^2 ∂x∂ x^2
= 2xy^2
∂f ∂y
∂y
x^2 y^2 + y
∂y x^2 y^2 +
∂y y
= x^2 ∂y∂ y^2 + (^) ∂y∂ y
RESU LT ADO
= 2x^2 y + 1
EJERCICIO 7
Mediante la regla de la cadena encuentre
∂z ∂s y^ ∂z ∂t z^ =^ x (^2) y (^3) x=scos t y= s sin t
z = x^2 y^3 , x = s cos t, y = s sin t.
δy δt = δ δt s sin t = s cos (t)
sustitucion
δz δt =^ δz δx δx δt +^ δz δy
δy δt
δz δt = 2xy^3 (−s sin (t)) + 3x^2 y^2 (s cos (t))
δz δt =^ −^2 xy (^3) s sin (t) + 3x (^2) y (^2) s cos (t)
RESU LT ADOS
δz δs = 2xy^3 cos t + 3x^2 y^2 sin t
δz δt = − 2 sxy^3 sin t + 3sx^2 y^2 cos t
EJERCICIO 8
Determine la linealización L(x, y) de la función en el punto especicado.
f (x, y) = x^3 y^4 (1,1)
L (x, y) = f (x 0 , y 0 ) + ∂f∂x (x 0 , y 0 ) (x − x 0 ) + ∂f∂y (x 0 , y 0 ) (y − y 0 )
f (1, 1) = (1)^3 (1)^4 = 1
calculamos ∂f∂x y ∂f∂y
∂f ∂x =^ ∂ ∂x x (^3) y 4
= y^4
∂x x^3
= 3x^2 y^4
∂f ∂y
∂y x^3 y^4
= x^3 ∂y∂ y^4
= 4x^3 y^3
Evaluamos las derivadas en el punto (1, 1)
∂f ∂x (1,^ 1) = 3 (1)
∂f ∂y
(1, 1) = 4 (1)^3 (1)^3 = 4
L (x, y) = 1 + (3) (x − 1) + (4) (y − 1)
= 1 + 3x − 3 + 4y − 4
= 3x + 4y + 1 − 3 − 4
RESU LT ADO
= 3x + 4y − 6
EJERCICIO 9
EJERCICIO 10
Verique que la función z = ln(ex^ + ey^ ) es una solución de la ecuación diferencial ∂z ∂x y^ ∂z ∂y = 1 (Ayuda: para saber si es colución solo tieneque realizar las derivadas parciales
indicadas en la ecuación y al sustituircomprobar que el lado izquiero sea igual
allado derecho si es diferente entonces la función
z = ln(ex^ + ey^ ) no seria solución)
