Cálculo Diferencial Números reales y funciones Propiedades de los números reales, Ejercicios de Matemáticas

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Cálculo Diferencial

Números reales y funciones Propiedades

de los números reales.

Instrucciones: Resuelve los siguientes ejercicios.

1. Determinación del ancho máximo de un paquete. Un servicio de mensajería nocturno no acepta ningún paquete cuya longitud combinada y embalaje (perímetro de una sección transversal) exceda de 132 pulgadas. Suponga que usted envía un paquete rectangular que tiene secciones transversales cuadradas. Si la longitud del paquete es de 68 pulgadas, ¿cuál es el ancho máximo de los dos lados de sus secciones transversales cuadradas?

Planteamiento 𝑎 = Ancho de la sección cuadrada Longuitud del paquete + perímetro de una sección transversal cuadrada ≤ 132 pulgadas 68 + 4𝑎 ≤ 132

Resolución 68 − 68 + 4𝑎 ≤ 132 − 68 4𝑎 ≤ 64 4𝑎 4

Respuesta

El paquete no debe exceder de las 16 pulgadas de ancho de la sección transversal cuadrada.

2. Un automóvil mediano puede rentarse en una compañía A por $240 semanales sin cargos extras por millas recorridas. Un auto similar puede alquilarse en la compañía B por $100 por semana más 25 centavos por cada milla recorrida. ¿Cuántas millas debe recorrer en una semana de manera que la tarifa de la compañía B sea mayor que la de la compañía A?

Planteamiento 𝑥 = Millas recorridas a la semana Tarifa semanal de la compañía B > Tarifa semanal de la compañía A 100 + 0.25𝑥 > 240

Resolución 100 + 0.25𝑥 > 240 100 − 100 + 0.25𝑥 > 240 − 100 0.25𝑥 > 140 0.25𝑥

Respuesta

Si se recorren más de 560 millas a la semana la tarifa de la compañía B será mayor a la de la compañía A.

Planteamiento ℎ = Altura en pies 𝑡 = Tiempo en segundos

Altura> 960 𝑝𝑖𝑒𝑠 −16 𝑡^2 + 256 𝑡 > 960 Desigualdad cuadrática −16 𝑡^2 + 256 𝑡 − 960 > 0

Resolución −16 𝑡^2 + 256 𝑡 − 960 > 0 −16( 𝑡^2 − 16 𝑡 + 90) > 0 −16(𝑡 − 10)(𝑡 − 6) > 0 Esta desigualdad es equivalente a: (𝑡 − 10)(𝑡 − 6) < 0

Para que la desigualdad sea negativa se tienen dos casos que el primer factor sea negativo y el segundo positivo y viceversa. Caso 1 Cuando 𝑡 − 10 < 0 y 𝑡 − 6 > 0 luego 𝑡 < 10 y 𝑡 > 6 por lo que la solución es la intersección de los conjuntos (−∞, 10) y (6, +∞, ). Gráficamente se tiene:

El conjunto buscado es (6,10)

Caso 2 Cuando 𝑡 − 10 > 0 y 𝑡 − 6 < 0 luego 𝑡 > 10 y 𝑡 < 6 por lo que la solución es la intersección de los conjuntos (−∞, 6) y (10, +∞, ). Gráficamente se tiene:

El conjunto buscado es el conjunto vacío ∅ Por lo tanto la solución buscada es: (6,10) ∪ ∅ = (6,10)

Respuesta

El Proyectil excederá los 960 pies en el intervalo (6,10) ; es decir 6 < 𝑡 < 10 segundos.