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Una sesión sobre la integral definida y los teoremas fundamentales del cálculo. Aborda conceptos clave como la aproximación del área bajo una curva mediante sumas de riemann, la definición de integral definida, el primer y segundo teorema fundamental del cálculo, así como ejemplos y ejercicios relacionados. Se enfoca en desarrollar la comprensión de los estudiantes sobre la integración y su aplicación en el cálculo de áreas, derivadas y antiderivadas. El documento proporciona una base sólida para entender los conceptos fundamentales del cálculo integral y su relevancia en diversas áreas de la matemática y la ciencia.
Tipo: Diapositivas
1 / 16
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SESIÓN 9: LA INTEGRAL DEFINIDA, TEOREMAS FUNDAMENTALES
DEL CÁLCULO
¿Qué pasó con la Oruga?
¿Cómo se transformó la
Oruga en Mariposa?
La suma de Pequeños cambios
originan un
CAMBIO TOTAL
7
x
y
80 160 240 320
0
N° Intervalo ÁREA
1 [0,80] 80x0=
2 [80, 160] 80x25.6=2 048
3 [160, 240] 80x57.6=4 608
… … …
10 [720, 800] 80x 518.4=41 472
Área Total Aprox. 145 920
400 480 560 640 720 800
160
25.6 x
y
40 80 120
0
760 800
…
N° Intervalo ÁREA
1 [0,40] 80x0=
2 [40, 80] 80x1.6=
3 [80, 120] 80x6.4=2 56
… … …
10 [760, 800] 80x 577.6=23 104
Área Total Aprox. 158 080
…
n =
n =
( )
0
b
n
n
i a
i i
→
=
(Sumas de Productos Acumulados)
x
y
0
Base:
( )
i
f x
Altura:
El área del rectángulo
( )
RECT i i
f x
A = x
Para n rectángulos:
( )
0
i
n
i
i
=
El área se aproxima a la
sumatoria de áreas de los
rectángulos
El ÁREA BAJO LA CURVA n → ∞
PARA CALCULAR EL ÁREA BAJO LA CURVA
=
→
n
i 1
i
i
n
b
a
b
a
Integrando
Limite
superior
No tiene significado,
indica respecto a que
variable se integra.
El procedimiento para calcular integrales se llama
por si mismo integración.
Limite Inferior
Si f es continua en un intervalo abierto I que contiene
a, entonces, para todo x en el intervalo se cumple:
x
a
De forma general:
Si F es cualquier antiderivada de f, entonces:
𝑎
𝑏
A esta expresión se le conoce como
Regla de Barrow.
Calcule:
3
3
2
x dx
3 3
4
3
2 2
81 16 65
4 4 4
4
x d
x
x
= = − =
Solución:
0
ൗ
𝜋
4
𝑥
2
𝑥
0
ൗ
𝜋
4
0
ൗ
𝜋
2
3
Utilizando el TFC, determine la derivada de las
siguientes funciónes:
0
𝑥
1
𝑥
2
𝑥
𝑥
2
Ejercicio 1
a.
c.
b.
a. න
− 1
3
3
b.
1
2
3
2 6
2
c.
π
6
π
3
sec
2
d. න
0
1
2
Ejercicio 4
EJEMPLOS : Calcule cada una de las siguientes integrales
definidas
1
2
3
4
. ( ) ( ) . ( ) ( ) constante . ( ) ( ) ( ) ( )
5
6
. ( ) ( ) ( )
.
.
b a
a b
b b
a a
b b b
a a a
c b c
a a b
b b
b
a
a a
f x dx f x dx
k f x dx k f x dx para k
f x g x dx f x dx g x dx
f x dx f x dx f x dx
udv uv vdu
= −
=
=
= +
= −
=
a
a
f x dx 0
Ejemplo:
Calcule el valor de cada una de las siguientes integrales
definidas
Por el primer teorema fundamental:
Solución:
x dx m
x
= =
800
800
2 2
0
0
3
0.00 1 170 666. 6
0.
3
x
y
640 m
800 m
Área= 170 666.
2
m
Si f es una función continua en [a,b] entonces existe un
número c en [a,b] tal que:
b
a
Donde:
f (c) es el valor medio de f en [a,b]
Ejemplo
𝑇
𝑇
# AUTOR TÍTULO EDITORIAL
1
PURCELL,
EDWIN J.
Cálculo Diferencial E
Integral
Pearson
Educación
2
STEWART,
JAMES
Cálculo De Una
Variable:
Transcendentes
Tempranas
Thomson
Learning
3
LARSON,
RON
Cálculo Mcgraw-Hill
