Aplicaciones del Cálculo Diferencial: Derivadas y Radios de Crecimiento, Ejercicios de Matemáticas

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Cálculo Diferencial

Aplicaciones de la derivada Evidencia de

aprendizaje

Indicaciones: Resuelve los siguientes problemas sobre las aplicaciones de la derivada.

1. Una mancha con forma de cilindro recto circular se ha formado al derramarse en el mar 100 m^3 de petróleo. Calcula con qué rapidez aumenta el radio de la mancha cuando ese radio es de 50 m si el espesor disminuye a razón de 10 cm/ hora en el instante en que r=50 m.

Sea 𝑉 el volumen de la mancha de petróleo, 𝑟 el radio de la mancha y ℎ el espesor de la misma. La razón de cambio del radio de la mancha con respecto al tiempo es la derivada 𝑑𝑟𝑑𝑡 y la

razón de disminución del espesor es 𝑑ℎ𝑑𝑡.

El volumen de la mancha de petróleo es 𝑉 = 𝜋𝑟^2 ℎ

Sustituimos el volumen que es constante 100 = 𝜋𝑟^2 ℎ Despejamos el espesor

ℎ =

𝜋𝑟^2

Derivamos cada miembro de la ecuación con respecto a 𝑡.

𝑑ℎ 𝑑𝑡

𝑟−^

Despejamos 𝑑𝑟𝑑𝑡 𝑑𝑟 𝑑𝑡

𝑟^3

Como 𝑟 = 50𝑚 y 𝑑ℎ𝑑𝑡 = −0.1 (^) ℎ𝑜𝑟𝑎𝑚 𝑑𝑟 𝑑𝑡 = −^

El radio de la mancha crece a razón de 1252 𝜋 (^) ℎ𝑜𝑟𝑎𝑚

𝐾 ) =^

𝐿𝑛𝐴 𝐾 )

𝑛 (

𝐾 ) =^

𝐾 ) =^

𝐾 ) =^

Lo que comprueba que la máxima velocidad de propagación ocurrió cuando se infectó la mitad del rodeo.

b) Bosqueja la función n para t ≥0, y la función velocidad de propagación V. Gráfica elaborada con GeoGebra 5.0.240.0-3D

La gráfica muestra una prueba para distintos valores de los parámetros N, A y K de la función. Además se muestran las gráficas de la primera y segunda derivada de n(t).

3. Una empresa tiene capacidad de producir como máximo 15,000 unidades al mes de cierto producto. El costo total de producción 𝑪𝒕 en miles de dólares por mes responde a la expresión

𝒒𝟑^ −

𝒒𝟐^ + 𝟑𝟔𝒒 + 𝟖𝟏

donde 𝒒 es el número de unidades producidas en miles de unidades por mes.

Determina la producción mensual de la empresa que minimiza el costo total de producción y calcula ese costo.

Derivamos la función costo total

𝐶𝑡′(𝑞) = 𝑞^2 − 15𝑞 + 36

El costo mínimo o máximo estará dado cuando la derivada es igual a cero

𝐶𝑡´(𝑞) = 𝑞^2 − 15𝑞 + 36 = 0

Resolviendo para q

𝑞^2 − 15𝑞 + 36 = 0

(𝑞 − 3)(𝑞 − 12) = 0

𝑞 1 = 3 mil unidades

𝑞 2 = 12 mil unidades

Elaboramos una tabla para el análisis de los signos de la derivada en los intervalos: 0 ≤ 𝑞 < 3, 3 < 𝑞 < 12, y 12 > 𝑞 ≥ 15

Intervalo (𝒒 − 𝟑) (𝒒 − 𝟏𝟐) (^) 𝑪𝒕^ ´^ (𝒒) 𝑪𝒕(𝒒) 0 ≤ 𝑞 < 3 - - + Creciente sobre [ 0 , 3 ) 3 < 𝑞 < 12 + - - Decreciente sobre ( 3 , 12 ) 12 > 𝑞 ≥ 15 +^ +^ +^ Creciente sobre ( 12 , 15 ]

De acuerdo a lo anterior, el valor de la derivada cambia de positiva a negativa en 3 , de modo que 𝑓(3) = 130.5 es un valor máximo local por la prueba de la primera derivada. De manera análoga, la derivada cambia de negativa a positiva en 12, de modo que 𝑓(12) = 9 es un valor mínimo local.

Por lo tanto, la producción mensual de la empresa que minimiza el costo total de producción es de 12 mil unidades por mes , lo que proporciona a la empresa un costo total de producción mínimo de 9 mil dólares mensuales.