Cálculo de áreas y volúmenes con el uso de MATLAB y Geogebra, Guías, Proyectos, Investigaciones de Cálculo diferencial y integral

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FERMÍN ADAIR BELLO LÓPEZ

INGENIERÍA MECATRÓNICA

2°C

REPORTE DE

PRÁCTICA

Cálculo Integral

INSTITUTO TECNOLÓGICO

SUPERIOR DE TEZIUTLÁN

REPORTE DE PRÁCTICA # 3 CÁLCULO DE ÁREAS Y VOLÚMENES

PRÁCTICA # CÁLCULO DE ÁREAS Y VOLÚMENES INTRODUCCIÓN Hasta donde hemos podido apreciar, el uso de las integrales ha resuelto un sinfín de problemas a lo largo de la historia, por lo que es de gran importancia conocer sus aplicaciones. Dos de sus mayores aplicaciones son el cálculo de áreas y de volúmenes. La primera suele emplearse para hallar el área debajo de una o dos curvas y la segunda para hallar el volumen de sólidos de revolución las cuales resultan interesantes y de utilidad conocer cómo se aplican, además de llevarlas a práctica. En este reporte de práctica se muestran evidencias acerca de estos temas, así como la comprobación de resultados por medio de distintos softwares, su comparación de gráficas y por último la conclusión de las actividades, todo con el fin de aplicar los conocimientos adquiridos. RESUMEN En esta práctica se lleva a cabo el estudio de las aplicaciones de la integral, enfocándose en el cálculo de áreas entre dos curvas y el cálculo de volúmenes de sólidos de revolución por medio de la utilización de TIC’s. Se utilizan los softwares MATLAB y Geogebra para encontrar, analizar y comprobar los resultados obtenidos. Se describen los pasos a realizar para crear un código de programación que permita resolver ejercicios sobre los temas anteriormente mencionados y se comparan los datos obtenidos de ambos softwares para llegar a una conclusión. OBJETIVO Poner en práctica competencias alcanzadas durante la unidad al analizar y comprobar mediante el uso de software especializado el cálculo de áreas entre dos curvas y el cálculo de volúmenes de sólidos de revolución. Imagen 1. Logotipo de MathWorks, empresa creadora de MATLAB. Tomada de [10] (09 de mayo de 2020).

ANTECEDENTES SOFTWARES MATLAB MATLAB es un poderoso lenguaje de programación que incluye los conceptos básicos comunes a la mayoría de los lenguajes de programación. Es un lenguaje de programación de alto nivel orientado al cálculo técnico que integra un entorno amigable para el cálculo, la visualización de resultados y la codificación de programas. Puesto que se trata de un lenguaje con base en scripts, la creación de programas y su depuración en MATLAB con frecuencia es más fácil que en los lenguajes tradicionales de programación, como C++. Esto hace de MATLAB una valiosa herramienta para las clases introductorias a la programación. [1] MATLAB es una de las muchas sofisticadas herramientas de computación disponibles en el comercio para resolver problemas de matemáticas, tales como Maple, Mathematica y MathCad. MATLAB permitirá efectuar cálculos matemáticos básicos, manejar cálculos simbólicos y procesos matemáticos más complicados, como la manipulación de matrices. MATLAB es superior en los cálculos que involucran matrices, mientras que Maple lo supera en los cálculos simbólicos. El nombre mismo de MATLAB es una abreviatura de Matrix Laboratory, dado que en sus orígenes fue escrito para facilitar el desarrollo de software matricial. MATLAB ha evolucionado desde 1970 a través de la atención de las necesidades de sus principales usuarios, tanto en ámbitos académicos como empresariales. Dado que MATLAB es tan fácil de usar, muchas tareas de programación se llevan a cabo con él. Sin embargo, MATLAB no siempre es la mejor herramienta para usar en una tarea de programación. El programa destaca en cálculos numéricos, especialmente en los relacionados con matrices y gráficas, pero usted no querrá escribir un programa de procesamiento de palabras en MATLAB. Generalmente es utilizado en cálculo y matemática, desarrollo de algoritmos adquisición de datos, modelamiento, simulación y prototipamiento, análisis, exploración y visualización de datos. gráficos científicos y de ingeniería, desarrollo de aplicaciones con interfaces gráficas, etc. [2] GEOGEBRA Geogebra es un software educativo interactivo de matemáticas que reúne simultáneamente la geometría, el álgebra y el cálculo, creado por un grupo internacional de desarrolladores bajo la autoría de Markus y Judith Hohenwarter [6]. Reúne dinámicamente geometría, álgebra, estadística y cálculo en registros gráficos, de análisis y de organización en hojas de cálculo. GeoGebra, con su libre agilidad de uso, congrega a una comunidad vital y en crecimiento. En todo el mundo, millones de entusiastas lo adoptan y comparten diseños y aplicaciones de GeoGebra. Dinamiza el estudio. Armonizando lo experimental y lo conceptual para experimentar una organización didáctica y disciplinar que cruza matemática, ciencias, ingeniería y tecnología (STEM: Science Technology Engineering & Mathematics). [9] Imagen 2. Logo de MATLAB. Tomada de [11] (09 de mayo de 2020). Imagen 3. Logotipo de Geogebra. Tomada de [12] (09 de mayo de 2020).

DESARROLLO ÁREAS Para empezar esta parte de la práctica, realicé un código en el software MATLAB, el cual que pide al usuario las funciones y después hace los cálculos correspondientes, para que luego arrojar el resultado del área y mostrar en pantalla las gráficas con el área resultante señalada. Al final se comprobarán los resultados utilizando el software Geogebra. El código es el siguiente:

En la segunda línea de código, se declara a la variable x, la cual es la que se va a utilizar. Posteriormente, se declara a f1, con la entrada que realiza el usuario, al colocar: input (‘introduzca la primera función: ‘); realizando lo mismo con la siguiente función, en la línea 4 al colocar input (‘introduzca la segunda función: ‘);. Luego se declara a f3 con la diferencia de las anteriores funciones, que más adelante se utilizará. En la sexta línea se declara a la variable d con input (‘¿Tiene el rango de valores de integración?\n1.SÍ / 2.NO ‘); donde se le pregunta al usuario si posee los límites de x para realizar la integración, puesto que en algunos ejercicios del problemario no cuentan con tales, y se tiene que hallar esos valores. Le damos a elegir entre sí o no, donde el usuario debe colocar en el teclado un 1 o un 2. En esa misma oración se colocó un \n que se utiliza para introducir datos en una nueva línea, en este caso lo que sigue después de este comando, esto con fines meramente estéticos. Posteriormente la selección la realicé con un if , un else if y un else , además de un end que es parte de la sintaxis que se utiliza en MATLAB. El programa va a ejecutar las operaciones de cuando se poseen los límites de integración si el usuario teclea un 1, esto es señalado con if ( d==1 ). Si no y si el usuario teclea un 2 se dirige hasta las operaciones que realiza el else if , a partir de la línea 24. Si ambas condiciones son falsas, ejecuta el else , donde mediante un disp(‘Introduzca una opción válida’) se envía un mensaje pidiendo al usuario que coloque una opción correcta. Cuando el usuario teclea 1, se declaran las variables a y b , donde se le pide al usuario que introduzca los límites inferior y superior, respectivamente. A a se le declara con input (‘introduzca el límite inferior: ‘); y a b con input (‘introduzca el límite superior: ‘);. Una vez que el usuario los tecleó, el programa realiza la operación para hallar el área mediante area=abs((int(f3,x,a,b))) que significa que área va a ser igual al valor absoluto (recordando que no existen áreas negativas) de la integral definida de f3 (el cual es la diferencia entre las dos funciones) con relación a la variable x , desde a hasta b ; esto de acuerdo a la fórmula del cálculo del área entre dos funciones. Posteriormente se declara a ff con ff1=str2func([‘@(x)’ char(f1)]; donde se indica que es igual a un str2func que se usa para hacer una función handle desde una función string. Si uno pasa a una función string en una variable, la función que recibe la variable se puede convertir a una función handle utilizando str2func [2]. Por ello, se selecciona la variable x con ‘@(x)’ y la otra es char (f1). Lo mismo sucede con la segunda función. Después inicia un ciclo for donde el iterador va desde a hasta b en 0.1, luego se usa la función end para x y y , y el ciclo finaliza, después se hace lo mismo en otro ciclo for , pero este va de b a a y en - 0.1. Finaliza ese ciclo. Todo esto para que que con el fill , que con esta opción el programa dibuja un polígono o una figura [4] con los valores de x y y ; a un lado tiene un ‘r’ debido a que con eso la figura va a salir de color rojo (red), de acuerdo a las configuraciones de MATLAB. Por último, puse un grid , el cual agrega una retícula o cuadrícula a la gráfica actual [1]. Aquí termina esta opción. Cuando el usuario teclea 2, se usarán las operaciones del elseif y como no poseemos los valores de límites, el programa los calculará utilizando limitesx=solve(f3,x) , donde se declara a limitesx como la resolución del sistema de ecuaciones de f3 con respecto x , empleando la función solve. Después el programa realiza la operación para hallar el área mediante area=abs((int(f3,x,limitesx))) que significa que área va a ser igual al valor absoluto (recordando que no existen áreas negativas) de la integral Imagen 5. Código para el cálculo entre dos curvas realizado en MATLAB. Autoría propia.

PRIMER EJERCICIO

En este primer ejercicio, introduje la primera función en el Command Window: x+ Posteriormente introduje la segunda función: x/ Como en este ejercicio sí tenemos los límites de x, seleccioné la opción 1 e introduje los valores, que son 0 y 4. Una vez hecho esto, di enter y apareció que el área es igual a 8. Así quedó el Command Window (Imagen 6). Y la gráfica con el área sombreada quedó de la siguiente forma: Imagen 6. Command Window resultante del primer ejercicio realizado en MATLAB. Autoría propia. Imagen 7. Gráfica del primer ejercicio en MATLAB. Autoría propia.

Después realicé la comprobación del resultado en Geogebra, utilizando el comando IntegralEntre , quedando IntegralEntre(f,g,0,4) , donde f(x) es x+1 y g(x) es x/2. El software arrojó el mismo resultado y la misma gráfica con la misma área sombreada, estipulando que los resultados son correctos. Imagen 8. Gráfica del primer ejercicio en Geogebra. Autoría propia.

Después realicé la comprobación del resultado en Geogebra, utilizando el comando IntegralEntre , quedando IntegralEntre(f,g,2,3) , donde f(x) es (x^3/3)-x y g(x) es x/3. El software arrojó el mismo resultado, ya que 25/12 es igual a 2.0833333333, además de la misma gráfica con la misma área sombreada, estipulando que los resultados son correctos. Imagen 11. Gráfica del segundo ejercicio en Geogebra. Autoría propia.

TERCER EJERCICIO

En este primer ejercicio, introduje la primera función en el Command Window: (1/2)*x^3+ Posteriormente introduje la segunda función: x+ De igual manera, en este ejercicio tenemos los límites de x, seleccioné la opción 1 e introduje los valores, que son 0 y 2. Una vez hecho esto, di enter y apareció que el área es igual a 2. Así quedó el Command Window (Imagen 12). Y la gráfica con el área sombreada quedó de la siguiente forma: Imagen 12. Command Window resultante del tercer ejercicio realizado en MATLAB. Autoría propia. Imagen 13. Gráfica del tercer ejercicio en MATLAB. Autoría propia.

CUARTO EJERCICIO

En este primer ejercicio, introduje la primera función en el Command Window: sqrt(3*x)+ De acuerdo a [1] , sqrt se utiliza para calcular la raíz cuadrada, abreviatura de Square Root. Posteriormente introduje la segunda función: x+ En este caso, no tenemos los límites de x, por lo que seleccioné la opción 2 y el programa calculó los valores, siendo estos 0 y 3, puesto que son los valores donde intersectan las gráficas. Después apareció que el área es igual a 3/2. Así quedó el Command Window (Imagen 15). Y la gráfica con el área sombreada quedó de la siguiente forma: Imagen 15. Command Window resultante del cuarto ejercicio realizado en MATLAB. Autoría propia. Imagen 16. Gráfica del cuarto ejercicio en MATLAB. Autoría propia.

Después realicé la comprobación del resultado en Geogebra. Primero encontré los puntos donde intersectan las funciones, con la opción intersección (Imagen 17), resultando 0 y 3. Después, encontré el valor del área utilizando el comando IntegralEntre , quedando IntegralEntre(f,g,0,3) , donde f(x) es sqrt(3*x)+1 y g(x) es x+1. El software arrojó 1.500000009345 4 lo que se redondea a 1.5 que es igual a 3/2, además de la misma gráfica con la misma área sombreada, estipulando que los resultados son correctos. Imagen 17. Ícono de la función intersección. Tomado de [1 2 ]. 09 de mayo de 2020 Imagen 18. Gráfica del cuarto ejercicio en Geogebra. Autoría propia.

En la segunda línea de código, se declara a la variable x, la cual es la que se va a utilizar. Luego de ello, se declara una variable o , que es un input preguntando al usuario si es una o dos funciones, el usuario tiene que aplastar 1 para indicar que es sólo una y se activan las operaciones de else if (o==1) y 2 para cuando son, mediante el if(o==2). Cuando se oprime el 2, se declara a f1 , con la entrada que realiza el usuario, al colocar: input (‘introduzca la primera función: ‘); realizando lo mismo con la siguiente función, en la línea 6 al colocar input (‘introduzca la segunda función: ‘);. Luego se declara a f3 con la diferencia de las anteriores funciones elevada al cuadrado, que más adelante se utilizará. En la octava línea se declara a la variable d con input (‘¿Tiene el rango de valores de integración?\n1.SÍ / 2.NO ‘); donde se le pregunta al usuario si posee los límites de x para realizar la integración, puesto que en algunos ejercicios del problemario no cuentan con tales, y se tiene que hallar esos valores. Le damos a elegir entre sí o no, donde el usuario debe colocar en el teclado un 1 o un 2. En esa misma oración se colocó un \n que se utiliza para introducir datos en una nueva línea, en este caso lo que sigue después de este comando, esto con fines meramente estéticos. Posteriormente la selección la realicé con un if , un else if y un else , además de un end que es parte de la sintaxis que se utiliza en MATLAB. El programa va a ejecutar las operaciones de cuando se poseen los límites de integración si el usuario teclea un 1, esto es señalado con if ( d==1 ). Si no y si el usuario teclea un 2 se dirige hasta las operaciones que realiza el else if , a partir de la línea 24. Si ambas condiciones son falsas, ejecuta el else , donde mediante un disp(‘Introduzca una opción válida’) se envía un mensaje pidiendo al usuario que coloque una opción correcta. Cuando el usuario teclea 1 , se declaran las variables a y b , donde se le pide al usuario que introduzca los límites inferior y superior, respectivamente. A a se le declara con input (‘introduzca el límite inferior: ‘); y a b con input (‘introduzca el límite superior: ‘);. Una vez que el usuario los tecleó, el programa realiza la operación para hallar el volumen mediante volumen=abs(pi(int(f3,x,a,b)))* que significa que el volumen va a ser igual al valor absoluto (recordando que no existen volúmenes negativos) de la integral definida de f3 (el cual es la diferencia entre las dos funciones) con relación a la variable x , desde a hasta b ; esto de acuerdo a la fórmula del cálculo del volumen. Aquí termina esta opción. Cuando el usuario teclea 2, se usarán las operaciones del elseif y como no poseemos los valores de límites, el programa los calculará utilizando limitesx=solve(f4,x) , donde se declara a limitesx como la resolución del sistema de ecuaciones de f con respecto x , empleando la función solve. Después el programa realiza la operación para hallar el área mediante volumen=abs(pi(int(f3,x,limitesx)))* que significa que el volumen va a ser igual al valor absoluto (recordando que no existen volumenes negativos) de la integral definida de f3 (el cual es la diferencia entre las dos funciones) con relación a la variable x , utilizando como límites a los valores que realizó la operación anterior limitesx ; esto de acuerdo a la fórmula del cálculo del volumen. Cuando el usuario no teclea ni un 1 o un 2, se va a ejecutar el else y mostrará el mensaje que se menciona, usando disp(‘Introduzca una opción válida’). Posteriormente, se ejecutarán las demás opciones después del end , que son pause , que sirve para detener la ejecución del programa hasta que se oprime alguna tecla [1]. Posteriormente ejecuta un clc que limpia la ventana de comandos [2] y se terminará el código. Cuando se oprime el 1, se declara a f1, con la entrada que realiza el usuario, al colocar: input (‘introduzca la función: ‘);. Luego se declara a f3 como la función elevada al cuadrado, que más adelante se utilizará. Después se declara a la variable d con input (‘¿Tiene el rango de valores de integración?\n1.SÍ / 2.NO ‘); donde se le pregunta al usuario si posee los límites de x para realizar la integración, puesto que en algunos ejercicios del problemario no cuentan con tales, y se tiene que hallar esos valores. Le damos a elegir entre sí o no, donde el usuario debe colocar en el teclado un 1 o un 2. En esa misma oración se colocó un \n que se utiliza para introducir datos en una nueva línea, en este caso lo que sigue después de este comando, esto con fines meramente estéticos. Posteriormente la selección la realicé con un if , un else if y un else , además de un end que es parte de la sintaxis que se utiliza en MATLAB. El programa va a ejecutar las operaciones de cuando se poseen los límites de integración si el usuario teclea un 1, esto es señalado con if ( d==1 ). Si no y si el usuario teclea un 2 se dirige hasta las operaciones que realiza el else if , a partir de la línea 24. Si ambas condiciones son falsas, ejecuta el else , donde mediante un disp(‘Introduzca una opción válida’) se envía un mensaje pidiendo al usuario que coloque una opción correcta. Cuando el usuario teclea 1, se declaran las variables a y b , donde se le pide

al usuario que introduzca los límites inferior y superior, respectivamente. A a se le declara con input (‘introduzca el límite inferior: ‘); y a b con input (‘introduzca el límite superior: ‘);. Una vez que el usuario los tecleó, el programa realiza la operación para hallar el volumen mediante volumen=abs(pi(int(f3,x,a,b)))* que significa que el volumen va a ser igual al valor absoluto (recordando que no existen volúmenes negativos) de la integral definida de f3 con relación a la variable x , desde a hasta b ; esto de acuerdo a la fórmula del cálculo del volumen. Aquí termina esta opción. Cuando el usuario teclea 2, se usarán las operaciones del elseif y como no poseemos los valores de límites, el programa los calculará utilizando limitesx=solve(f1,x) , donde se declara a limitesx como la resolución del sistema de ecuaciones de f1 con respecto x , empleando la función solve. Después el programa realiza la operación para hallar el área mediante volumen=abs(pi(int(f3,x,limitesx)))* que significa que el volumen va a ser igual al valor absoluto (recordando que no existen volumenes negativos) de la integral definida de f3 con relación a la variable x , utilizando como límites a los valores que realizó la operación anterior limitesx ; esto de acuerdo a la fórmula del cálculo del volumen. Cuando el usuario no teclea ni un 1 o un 2, se va a ejecutar el else y mostrará el mensaje que se menciona, usando disp(‘Introduzca una opción válida’). Posteriormente, se ejecutarán las demás opciones después del end , que son pause , que sirve para detener la ejecución del programa hasta que se oprime alguna tecla [1]. Posteriormente ejecuta un clc que limpia la ventana de comandos [2] y se terminará el código. Eso fue con el código principal, con el que solo se muestra el resultado. Ahora con el código auxiliar, que ese es específico para el ejercicio que se va a hacer después. Consiste en: Primero se declara la variable x , luego se hace que x vaya de 0, con espacios de 0.001, hasta 3, como lo indica el ejercicio. Luego se declara a y como la función del ejercicio: (1./sqrt(x+1)).((0<=x & x<3));* , poniendo la división un punto, ya que así es la sintaxis, luego un punto y asterisco donde se indica que esa función va de 0 a 3. Luego un subplot , que indica que es la primera gráfica de dos, luego va un plot , que gráfica a x y a y , el cuál es la región plana. Posteriormente va un cylinder , que sirve para generar un sólido de revolución [2]. Esto va a ser el sólido de revolución. Luego se tiene que declarar otra vez a x y hacer el mismo procedimiento que el anterior, solamente que este va a ser el subplot (1,2,2) , indicando que es la segunda gráfica de dos. Se usa para que salgan en la misma ventana ambas gráficas. Luego se usa un plot y esto es la región plana. Las gráficas y el ejercicio 19 del banco de ejercicios se mostrarán a continuación. Imagen 20. Código auxiliar para mostrar la región plana y el sólido de revolución en MATLAB. Autoría propia.