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Binomio de Newton
1 Teorema del binomio de Newton
Teorema: Sean a, b dos n´umeros reales no nulos, y sea n ∈ N un n´umero natural. Entonces:
(a + b)n^ =
∑n k=
n k
an−kbk
n 0
an^ +
n 1
an−^1 b +
n 2
an−^2 b^2 + · · ·
n n − 1
abn−^1 +
n n
bn
La expresi´on a la derecha se denomina el desarrollo binomial de (a + b)n. Observamos que este desarrollo tiene n + 1 t´erminos.
Denotamos por Tk =
n k
an−kbk, (k = 0, 1 , 2 , · · · , n) al k-´esimo t´ermino
del desarrollo binomial.
Al coeficiente
n k
lo llamamos el k-´esimo coeficiente binomial de
(a + b)n.
Comprobemos este teorema para n = 1, n = 2, n = 3 y n = 4.
n = 1 : Es claro que (a + b)^1 = a + b.
Por otra parte:
k=
k
a^1 −kbk^ =
a +
b = a + b.
n = 2 : Sabemos que: (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.
Por otra parte: ∑ 2 k=
k
a^2 −kbk^ =
a^2 +
a^1 b^1 +
b^2
= a^2 + 2ab + b^2.
n = 3 : Sabemos que: (a + b)^3 = a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + a^3.
Por otra parte: ∑ 3 k=
k
a^3 −kbk^ =
a^3 +
a^2 b^1 +
ab^2 +
b^3
= a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3. n = 4 : Sabemos que: (a + b)^4 = a^4 + 4a^3 b + 6a^2 b^2 + 4ab^3 + b^4.
Por otra parte: ∑ 4 k=
k
a^4 −kbk^ =
a^4 +
a^4 b^1 +
a^2 b^2 +
a^3 b^1 +
b^4
= a^4 + 4a^3 b + 6a^2 b^2 + 4ab^3 + b^4. Con esto hemos comprobado el teorema para n = 1, 2 , 3 , 4. Una demostraci´on del teorema del binomio se puede hacer por inducci´on.
2 Los coeficientes binomiales y tri´angulo de Pas-
cal
Los coeficientes binomiales los podemos distribuir de la siguiente forma:
( 1 0
← a + b
( 2 0
← (a + b)^2
( 3 0
← (a + b)^3
( 4 0
← (a + b)^4
Si reemplazamos estos coeficientos binomiales por sus respectivos valores obtenemos el llamado Tri´angulo de Pascal:
1 1 ← a + b
1 2 1 ← (a + b)^2
1 3 3 1 ← (a + b)^3
1 4 6 4 1 ← (a + b)^4
· · · · · · · · · ·
m + 1 n + 1
= m n+1+
m n
- Determinar n´umeros naturales a y b de modo que
n^3 = 6
n 3
n 2
n 1
∀n ∈ N.
- Escriba 6
[(
n 3
n 2
n 1
)]
como polinomio en n, utilice el hecho que
n r
es siempre un n´umero natural, y pruebe que n(n^2 + 5) es m´ultiplo de 6 para todo n ∈ N.
- Demuestre por inducci´on matem´atica que para cualquier s ∈ N:
∑^ n
i=
s + i i
s + n + 1 s + 1
5 Binomio de Newton
- Determine el coeficiente del t´ermino independiente de x en el desarrollo binomial de ( 3
x + (^1) x )^6.
- Dada la potencia (
y + √ (^41) y )^4 , encuentre los t´erminos de la expansi´on binomial en los cuales los exponentes de y sean n´umeros naturales.
- Determine una relaci´on entre a y n de modo que en el desarrollo de (1+a)n aparezcan dos t´erminos consecutivos iguales.
- Pruebe que (2 +
m)n^ + (2 −
m)n^ ∈ N para todos m, n ∈ N.
- Pruebe que
∑n j=
n j
= 2n^ para todo n ∈ N.
- Calcule
∑n j=0(−1) j
n j
- Determine la suma de todos los coeficientes del polinomio respecto de x que resulta de la expansi´on binomial de (3x − 4)^17.
- Usando el tri´angulo de Pascal encuentre el desarrollo binomial de (x + y)^7.
- Encuentra el coeficiente de x^31 en el desarrollo binomial de
2 x^2 y
y^2 x
- Encuentra el t´ermino central de en el desarrollo binomial de (
ab^2 )^14.
6 Trinomio de Newton. Generalizando.
- Si n es un n´umero natural, y n 1 , n 2 , n 3 son n´umeros enteros tales que 0 ≤ ni, i = 1, 2 , 3 y n 1 + n 2 + n 3 = n, definamos ( n n 1 , n 2 , n 3
n! n 1! · n 2! · n 3!
La siguiente f´ormula (Teorema del trinomio) generaliza el Teorema de binomio.
(a + b + c)n^ =
n 1 +n 2 +n 3 =n
n n 1 , n 2 , n 3
an^1 bn^2 cn^3
Por ejemplo, para n = 3 esta f´ormula se escribe:
(a + b + c)^3 =
n 1 +n 2 +n 3 =
n 1 , n 2 , n 3
an^1 bn^2 cn^3
a^3 +
b^3 +
c^3 + ...
... +
a^2 b +
a^2 c +
ab^3 + ...
... +
b^2 c +
ac^2 +
bc^2 + ...
... +
abc
Pruebe esta f´ormula para n = 2, y n = 3.
- Usando la f´ormula del trinomio, calcule (x^2 − x + 1)^4 ; (a + 2ab + b)^2 ; (1 +
2 + 2)^3
- Desarrolle la potencia (a^2 + 2ab + b^2 )^2 con el desarrollo del trinomio. Luego desarrolle (a + b)^4 por teorema del binomio, y compare coeficientes. ¿Qu´e puede concluir?
- En caso de existir, obtenga el coeficiente de x^7 en el desarrollo trinomial de ( (^) x^23 + x + x^3 )^8
- Obtenga el coeficiente de x^8 en el desarrollo de (1 + x^2 − x^3 )^9.
7 Combinatoria. Repasando.
- ¿De cu´antas formas puede extraer 3 elementos del conjunto A = {a, b, c, d, e}? Escriba todos estos tr´ıos. Observe que estos son todos los subconjuntos de 3 elementos de A.
