¡Descarga Apuntes - Funciones - Análisis Matemático y más Apuntes en PDF de Análisis Matemático solo en Docsity!
Funciones
Primeros conceptos
Una funci´on es una relaci´on entre dos conjuntos, un “conjunto de partida” llamado Dominio y un “conjunto de llegada” llamado Codominio, que cumple lo siguiente: cada elemento del Dominio debe estar relacionado con exactamente un elemento en el Codo- minio (ni m´as ni menos). Podemos dar una primera visi´on de una funci´on a trav´es de los llamados “Diagramas de Venn”, por ejemplo:
f
Dominio Codominio
Este “diagrama” muestra una funci´on llamada f cuyo dominio es el conjunto {− 2 , 0 , 1 , 4 } y cuyo codomonio es el {− 3 , − 2 , 0 , 1 , 3 }. Esto se esribe en s´ımbolos as´ı:
dom(f ) = {− 2 , 0 , 1 , 4 }, codom(f ) = {− 3 , − 2 , 0 , 1 , 3 }.
o tambi´en se escribe as´ı:
f : {− 2 , 0 , 1 , 4 } → {− 3 , − 2 , 0 , 1 , 3 }
Esto es algo general, o sea, cada vez que uno vea f : A → B, se sobreentender´a que el conjunto A es el dominio de f y el conjunto B es el codominio de f.
Tambi´en podemos ver que esta funci´on en particular relaciona, por ejemplo, el elemento − 2 con el 1 y esto puede decirse de varias formas: que el −2 del dominio “va a parar” al 1 del codomonio, o tambi´en que el 1 es la “imagen” del −2 a trav´es de f , o tambi´en que f (−2) = 1. Esta ´´ ultima forma ser´a muy usada.
Del mismo modo podemos decir que f (0) = 3, f (1) = 0 y f (4) = −3.
Volviendo un poco a la definici´on de funci´on, veamos algunos ejemplos de relaciones que son funciones y otras que no lo son:
a b c
d e
f
Dominio Codominio
No es funci´on ya que el ele- mento c del dominio no est´a relacionado con ning´un ele- mento del codominio.
a b c
d e
j
f
Dominio Codominio Si es funci´on.
a b d e
f
Dominio Codominio No^ es^ funci´on^ ya^ que^ el^ ele- mento b del dominio est´a rela- cionado con m´as de un elemento del codominio (con d y e).
Cuatro formas de representar una funci´on
La primer forma ya la vimos y es lo que lla- mamos “Diagramas de Venn”. Son muy claros y did´acticos pero tienen la desventaja de que si el dominio o el codominio son conjuntos muy grandes (o infinitos) se vuelven inmane- jables.
f
Dominio Codominio
Representemos la misma funci´on de una segunda forma llamada representaci´on por “Tabla”. Cada una de las flechas anteriores ahora pasan a ser “renglones”. Tiene las mis- mas virtudes y defectos que los diagramas de Venn.
Dominio Codominio -2 1 0 3 1 0 4 -
La tercer forma que veremos se llama representaci´on a trav´es de “Ejes cartesianos”. Se ubican los puntos del dominio sobre el eje horizontal, los del codominio sobre el eje vertical y las flechas (o renglones) anteriores pasan a ser “puntos en el plano”. Expliquemos esto con nuestro ejemplo:
y
x
y
x
f
Una observaci´on importante: Notar que los valores f (x) son ubicados sobre el eje y (o sea f (x) = y). De esa forma podemos escribir tanto: f (x) = 2.x + 5 como y = 2.x + 5 (en algunos casos nos convendr´a escribir una cosa y en otros casos otra).
Nombres: La letra x se llama la variable independiente y la letra y se llama la variable dependiente en el sentido de que el valor de y depende del valor que le demos a la letra x. Tambi´en decimos que y est´a en “funci´on” de x. Notemos que la variable independiente est´a sobre el eje horizontal y la variable dependiente la ubicamos sobre el eje vertical. Normalmente, por tradici´on, respetaremos las letras x e y pero es importante entender que son simples nombres y que en el fondo expresiones como y = 2.x + 5 o r = 2.t + 5 o w = 2.v + 5 expresan m´as o menos lo mismo (que una variable es el doble de la otra m´as 5). Desde ya que en el caso que tengamos, por ejemplo, r = 2.t + 5 la letra t ahora es la variable independiente y r la variable dependiente. Tambi´en podemos ponerle otros nombres a las funciones que no sean f. As´ı aparecer´an expre- siones como g(x) = 2.x + 5 o h(t) = t^2 o r(ω) = 6.ω − 3 , etc.
Dominio
Vimos que el Dominio de una funci´on era su “Conjunto de partida” y que en gr´aficos cartesianos lo ubic´abamos sobre el eje horizontal. As´ı que si una funci´on viene dada a trav´es de ejes cartesianos es f´acil distinguir cual es su dominio: basta ver lo que abarca el gr´afico de la funci´on del eje x. Veamos unos ejemplos:
y
Dom(f ) = {− 3 , − 1 , 1 }
y
Dom(f ) = [− 3 , 4] y
0 x
Dom(f ) = (0, +∞)
y
x
Dom(f ) = R
Estudiemos ahora que pasa si una funci´on viene dada a trav´es de una f´ormula. Recordemos que en una f´ormula hay algunas operaciones que est´an “prohibidas”. Las dos que estudiaremos nosotros son:
No se puede dividir por cero. Es decir, no existe 30 ni 80 ni a 0 ...
No se puede calcular ninguna ra´ız de ´ındice par de n´umeros negativos. Por ejemplo no existe √− 1 ni √^4 − 3 ni √^6 − 10 ...
Por lo tanto en toda f´ormula debemos exigir que:
Todo denominador sea distinto de cero. (^) denominadornumerador 6 = 0 Lo de adentro de cualquier ra´ız de ´ındice par debe ser mayor o igual que cero. par
Veamos algunos ejemplos:
Hallar el dominio de f (x) = (^) x−^23 + (^) x+5^1
Ac´a hay dos denominadores y debemos pedir que ambos sean distintos de cero, as´ı que: x − 3 6 = 0 y x + 5 6 = 0 o sea x 6 = 3 y x 6 = − 5 y entonces Dom(f ) = R − {− 5 , 3 }
Hallar el dominio de f (x) = (^4) xx−+1 7 +
x − 2
Ac´a hay que pedir que:
y
(^3) x
Im(f ) = [3; +∞)
y
x
Im(f ) = (−∞; 10]
y
x
Im(f ) = R
y
x
Im(f ) = R − { 0 }
Si la funci´on viene dada por una f´ormula, pude calcularse su imagen de forma “algebraica” (sin recurrir a su gr´afico) pero suele ser complicado. Veremos aqu´ı solo dos ejemplos simples:
Hallar la imagen de f (x) = 2.x + 5. Vimos que esto puede escribirse como y = 2.x + 5 y ver su imagen es ver que valores de y est´an relacionados con alg´un x. Por ejemplo si y = 8 ¿exite alg´un x cuya imagen sea el 8? Bueno, es cuesti´on de intentar resolver la ecuaci´on 8 = 2.x + 5. En este caso esto es sencillo: 8 = 2.x + 5 8 − 5 = 2.x 3 = 2.x 32 = x As´ı que el 8 del codominio est´a relacionado con el valor 32 del dominio y entonces el 2 es un elemento de la imagen de f (podemos corroborar que f (^32 ) = 2.^32 + 5 = 3 + 5 = 8). Esto puede hacerse en forma general. Es decir, tomamos un valor y cualquiera y veamos si est´a relacionado con alg´un x. Para eso hacemos una cuenta muy parecida a la anterior: y = 2.x + 5 y − 5 = 2.x y− 2 5 = x y ac´a vemos que cualquier y est´a relacionado con alg´un x, en este caso, con exactamente x = y− 2 5. Llegamos a la conclusi´on que Im(f ) = R.
Veamos otro ejemplo que ayudar´a a entender mejor las cosas. Hallar la imagen de f (x) = (^) x−^13 + 2. Hacemos lo mismo que en el caso anterior (a f (x) lo llamamos y y luego despejamos x). f (x) = (^) x−^13 + 2 y = (^) x−^13 + 2 y − 2 = (^) x−^13 (x − 3).(y − 2) = 1 x − 3 = (^) y−^12 x = (^) y−^12 + 3. Ac´a vemos que hay un problema si y = 2. Es decir, dado cualquier y, siempre puedo encontrar
que x est´a relacionado con ´el, salvo para y = 2. Llegamos a la conclusi´on que Im(f ) = R − { 2 }.
Inyectividad
Una funci´on f se dice inyectiva si no hay dos elementos del dominio que “vayan a parar” al mismo elemento en el codominio (o sea que tengan la misma “imagen”). Es decir, una funci´on es inyectiva si todos los elemento del dominio tienen im´agenes distintas en el codominio. Por ejemplo:
a b c
d
e
f
Dominio Codominio
No es inyectiva.
f
Dominio Codominio (^) Es inyectiva
As´ı, en diagramas de Venn, es bastante sencillo ver si una funci´on es inyectiva o no lo es (basta ver que no existan dos flechas que terminen en el mismo punto), pero nosotros generalmente representamos funciones sobre ejes cartesianos y deber´ıamos tener alguna forma de estudiar la inyectividad en ese contexto. Por suerte hay una t´ecnica muy simple que permite ver esto. Enunciaremos esa t´ecnica y luego discutiremos por qu´e ese m´etodo es correcto.
La t´ecnica es esta: Se corta el gr´afico de la funci´on con rectas horizontales. Si todas las rectas cortan al gr´afico de la funci´on en un solo punto entonces la funci´on es inyectiva y si por lo menos una recta corta al gr´afico de la funci´on en m´as de un punto entonces la funci´on no es inyectiva.
Es inyectiva. No es inyectiva
Vemos (a ojo) que, por ejemplo, f (1) = 3. 12 + 5 = 8 y f (−1) = 3.(−1)^2 + 5 = 8. Entonces tenemos dos elemen- tos distintos en el dominio (el 1 y el -1) que tienen la misma imagen (el 8) y entonces f NO ES INYECTIVA.
1
y
8
x
f
Dominio Codominio
Veamos ahora lo siguiente. Es cuesti´on de pensarlo un poco, pero la definici´on que se dio antes es equivalente a decir que una funci´on f es INYECTIVA si:
f (x 1 ) = f (x 2 ) ⇒ x 1 = x 2
Es decir, si hay dos im´agenes iguales es por que provienen necesariamente del mismo elemento.
Esta ´´ ultima definici´on es la que sirve en la pr´actica para probar que una funci´on ES INYEC- TIVA. Parto de la igualdad f (x 1 ) = f (x 2 ) y si logro llegar a que x 1 = x 2 entonces f es inyectiva.
Por ejemplo:
Probar algebraicamente que la funci´on f (x) = 2.x + 5 es inyectiva. Entonces parto de f (x 1 ) = f (x 2 ) que en este caso ser´ıa 2.x 1 + 5 = 2.x 2 + 5 haciendo pasajes de t´erminos obtenemos 2.x 1 = 2.x 2 + 5 − 5 luego 2.x 1 = 2.x 2 x 1 = 2 .x 22 x 1 = x 2 y entonces f ES INYECTIVA.
Hagamos una ´ultima observaci´on. M´as arriba demostramos que la funci´on f (x) = 3.x^2 + 5 no es inyectiva. Veamos que si intentamos probar que s´ı lo es, como en el ejemplo de arriba, algo falla en el proceso. En efecto, en este caso, partiendo de f (x 1 ) = f (x 2 ) no vamos a poder llegar a que x 1 = x 2.
f (x 1 ) = f (x 2 ) 3 .x^21 + 5 = 3 .x^22 + 5 3 .x^21 = 3 .x^22 + 5 − 5 3 .x^21 = 3 .x^22 x^21 = 3 .x
(^22) 3 √^ x^21 =^ x^22 x^21 =
x^22 |x 1 | = |x 2 |
Y vemos entonces que no llegamos a que x 1 = x 2 ya que de la ´ultima igualdad obtenemos que pueden ocurrir dos cosas, o x 1 = x 2 o x 1 = −x 2 (no necesariamente debe pasar que x 1 = x 2 ).
Suryectividad
En general, la imagen de una funci´on es un “subconjunto” del codominio m´as chico que el codominio mismo. Pero muchas funciones tienen la propiedad de “llenar” todo el codominio, es decir, todos los elementos del codominio est´an relacionados con alg´un elemento del dominio. Esto puede decirse as´ı: la imagen de la funci´on es igual al codominio de la funci´on. En s´ımbolos: Im(f ) = Cod(f ).
Si una funci´on cumple que Im(f ) = Cod(f ) diremos que es sobreyectiva (o suryectiva). Por ejemplo:
f
No es sobreyectiva.
f
Es sobreyectiva
La funci´on f : R → R dada por f (x) = 2.x + 5 es sobreyectiva ya que ac´a se est´a diciendo que el codominio de f es R y vimos en un ejemplo anterior que la imagen de f tambi´en es R (podemos ver esto tambi´en graficando la funci´on). As´ı se cumple que Im(f ) = Cod(f ), o sea, f es sobreyectiva.
Todo esto tambi´en puede verse f´acilmente graficando las funciones en ejes cartesianos.
Funci´on Inversa
Dada una funci´on f , nos proponemos hallar a la funci´on que hace el camino al rev´es. Esa funci´on se llamar´a “la funci´on inversa de f ” y se la notar´a f −^1. De nuevo recurrimos a los diagramas de Venn para dar una primera imagen de esto:
f f -^1
Notar que si f (a) = b entonces f −^1 (b) = a. a^ b
f
a b
f -^1
Nos haremos ahora la siguiente pregunta ¿cualquier funci´on tiene una funci´on inversa? La respuesta es NO. Veamos que problemas se presentan: Lo primero que vemos es que si una funci´on no es inyectiva entonces, la relaci´on que ser´ıa su inversa NO ES UNA FUNCI ON (ver los diagramas de abajo).´
f f -^1
Lo segundo que notamos es que si una funci´on no es sobreyectiva tambi´en ocurre que la relaci´on que ser´ıa su inversa NO ES UNA FUNCI ON (ver los diagramas de abajo).´
f f -^1
O sea que si una funci´on f no es inyectiva o no es sobreyectiva entonces su relaci´on inversa NO ES UNA FUNCI ON y entonces no podemos hablar de la FUNCI ´ ON inversa de´ f. Hay una “relaci´on” inversa que no nos interesa ya que no cae en nuestro campo de estudio actual que son LAS FUNCIONES.
En cambio si f es biyectiva entonces la relaci´on inversa de f SI ES UNA FUNCI ON y ah´´ ı s´ı podemos hablar de la FUNCI ON inversa de´ f.
f f -^1
Conclusi´on: Una funci´on f tiene inversa si y solo si es biyectiva.
Veremos a continuaci´on c´omo hallar la inversa de una funci´on dada por una f´ormula. Veamos esto con un ejemplo: Hallar la funci´on inversa de f (x) = 2.x + 5. Antes deber´ıamos chequear que f tiene inversa, es decir, que f es biyectiva. Esto ya lo vimos en las secciones previas. Ahora concentr´emonos en hallar f −^1. El proceso es medio una “receta” pero entendamos los pasos que hacemos: 1 ◦) A f (x) lo llamamos y. O sea en lugar de escribir f (x) = 2.x + 5 escribimos y = 2.x + 5 (esto se discuti´o m´as arriba). 2 ◦) Despejamos x.
y = 2 .x + 5 y − 5 = 2 .x y − 5 2 =^ x
Este paso se debe a que en nuestra f damos un valor a x y obtenemos un valor de y y nosotros queremos hacer al rev´es, es decir, dado un valor de y queremos ver de que x proviene (con que x est´a relacionado ese y).
Sobre ejes cartesianos ser´ıa:
y
x
f
y
x
f -^1
Si dibujamos ambas funciones sobre el mismo par de ejes cartesianos notamos que el gr´afico de una es el “sim´etrico” del gr´afico de la otra respecto de la “bicectriz” del primer y tercer cuadrante (una es el “reflejo” de la otra). Ver los gr´aficos de abajo.
y
x
f -^1
f
y
x
f -^1
f
Entonces, si tenemos el gr´afico de una funci´on, podemos hallar f´acilmente el gr´afico de su inversa. Basta con trazar el gr´afico sim´etrico respecto de la diagonal antes mencionada. Dejamos dos ejemplos en los diagramas de abajo:
y
x
f -^1
f
y
x
f -^1
f
Funciones definidas “a trozos”
Agregamos esta secci´on para entender expresiones de este estilo:
f (x) =
− 2 .x + 1 si x ≥ 1 x^2 si x < 1
Estas funciones se denominan funciones definidas a trozos o por tramos, etc.
La idea es que este tipo de funciones valen una cosa en un sector y otra cosa en otro sector. En este ejemplo la funci´on f (x) “se parte” en x = 1, es decir, a la izquierda del uno vale una cosa (y = x^2 ) y a la derecha del uno vale otra (y = − 2 .x + 1).
Out[46]=
y
y= x^2 y=-x+ 2 x
Ambas funciones las podemos graficar haciendo una tabla de valores para cada una o usando conocimientos previos (una es una recta y otra una par´abola). En cualquier caso obtendr´ıamos:
y (^) y= x 2
x
y
y=-2.x+ 1
x
Pero la funci´on f (x) no es ni una ni otra, es una parte de cada una, justamente (como est´a escrito en la llave de la definici´on de f ) para los x menores que uno f (x) = x^2 y para los x mayores o iguales que uno f (x) = − 2 .x + 1.
y= x^2
y=-2.x+ 1
fHxL
Es importante observar que usamos un punto lleno y un punto vac´ıo para indicar que en x = 1 la funci´on f vale − 2 .x + 1 y no x^2.
Dejamos para el alumno verificar los siguientes ejemplos:
f (x) =
2 x + 3 si x < 1 1 si − 1 ≤ x < 1 −x^2 + 2x − 1 si x ≥ 1
fHxL
