apuntes especiales para matemática y nivelación, Apuntes de Matemáticas

¡Descarga apuntes especiales para matemática y nivelación y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!

Estimado Estudiante de AIEP, en este Cuaderno de Apuntes, que se te presenta y que

corresponde al Módulo que cursas, encontrarás “Conceptos, Ideas Centrales y Aplicaciones”

que reforzarán el aprendizaje que debes lograr.

Esperamos que estas Ideas Clave entregadas a modo de síntesis te orienten en el desarrollo

del saber, del hacer y del ser.

Mucho Éxito. –

Dirección de Desarrollo Curricular y Evaluación.

VICERRECTORÍA ACADÉMICA AIEP.

EJEMPLO:

1. ¿Qué clase de número es − 310?

a) Imaginario puro.

b) Entero positivo.

c) Racional positivo.

d) Entero negativo.

Alternativa

correcta:

D

Justificación Técnica:

− 310 es un número precedido por el signo −, y según la clasificación de los

números enteros, los números precedidos por este signo se consideran enteros

negativos. Por lo tanto − 310 es un número entero negativo.

2. El conjunto

forma parte de los conjuntos:

a) ℕ ∪ { 0 }

b) ℝ ∪ 𝐼

c) ℚ ∪ 𝐼

d) ℤ

−

Alternativa

correcta:

D

Justificación Técnica:

El conjunto

contiene un número entero negativo

y cuatro

números enteros positivos 4 , 25 , 78 , 110 , por lo tanto, el conjunto {− 1 , 4 , 25 , 78 , 110 }

pertenece o forma parte de los números enteros positivos unido con los números

enteros negativos.

3. El orden decreciente del conjunto numérico { 2 , − 4 , − 1 , 3 , − 2 , 5 } es:

a) 5 > 3 > 2 > − 1 > − 2 > − 4

b) 5 > 3 > 2 > − 1 > − 2 > − 4

c) − 1 > − 2 > − 4 > 2 > 3 > 6

d) − 4 > − 2 > − 1 > 2 > 3 > 5

Alternativa

correcta:

B

Justificación Técnica:

Se ubican los números en la recta

numérica.

Se ordenan en forma decreciente,

de mayor a menor.

5 > 3 > 2 > − 1 > − 2 > − 4 Se coloca el símbolo >

Recordemos que…

< Significa menor.

Significa mayor.

≤ Significa menor que.

≥ Significa mayor que.

ACTIVIDAD PRÁCTICA 1:

4. A continuación se presenta un cuadro con números. Marca con una "𝑋" en el conjunto numérico

que corresponda cada número.

Número ℤ

ℤ

ℤ

− 12 X

1.3. Operaciones básicas en ℤ

1.3.1. Suma – Resta en ℤ

Para sumar y/o restar dos números enteros, se debe considerar la siguiente regla de los signos:

✓ Suma o resta de números enteros de igual signo:

“Sumamos sus valores absolutos y el resultado

mantiene el signo de ambos”.

Recordemos que…

El módulo o valor absoluto de un

número entero, es la distancia

entre ese número y el cero, en

la recta numérica, por lo tanto,

el valor absoluto de un número

es siempre positivo.

Ejemplo:

✓ Suma y resta de números enteros de distinto

signo: “Restamos sus valores absolutos y el

resultado mantiene el signo del número que tenga

el mayor valor absoluto”.

Existe otro método para resolver operaciones combinadas

de suma y resta con números enteros, descúbrelos junto a

tu docente.

1.3.2. Multiplicación y División en ℤ

Para multiplicar y/o dividir números enteros, se multiplican o dividen los valores absolutos de los

números y se sigue la siguiente regla de los signos para determinar el signo del resultado de la

operación.

Signo ∙ Signo

Signo del resultado

de la multiplicación

Regla de los signos para la multiplicación.

Signo ∶ Signo

Signo del resultado

de la división

:

• = +

:

: −

Regla de los signos para la división.

EJEMPLO:

8. Al resolver 78 ∙ (− 3 ) se obtiene:

a) − 312

b) 228

c) − 234

d) 380

Alternativa

correcta:

C

Justificación Técnica:

Se multiplican los valores absolutos de los números.

= 78 ∙ 3 Se multiplican los signos de los números, es decir, + ∙ −

9. Al efectuar

resulta.

a) 5

b) − 10

c) 15

d) 11

Alternativa

correcta:

D

Justificación Técnica:

Se dividen los valores absolutos de los números.

= 55 ∶ 5 Se dividen los signos de los números, es decir, − ∶ −

10. ¿Qué resultado se obtiene al operar ( 72 ∶ 8 ) ∶ (− 3 )?

a) 9

b) − 3

c) − 6

d) 12

Alternativa

correcta:

B

Justificación Técnica:

Se resuelve primero el paréntesis, dividiendo los valores

absolutos de los números y luego dividiendo los signos de

los números.

= 9 ∶ (− 3 ) Se dividen los valores absolutos de los números.

= 9 ∶ 3 Se dividen los signos de los números, es decir + ∶ −

1.4. Operaciones combinadas en ℤ con y sin signos de agrupación

1.4.1. Operaciones combinadas en ℤ sin signos de agrupación

Para resolver operaciones combinadas se debe tener en cuenta la jerarquía de las operaciones:

1. Paréntesis.
2. Potencias y/o raíces.
3. Multiplicaciones y/o divisiones (se resuelve de izquierda a derecha en el orden en que

aparezcan).

4. Sumas y/o restas.

EJEMPLO:

11. ¿Cuál es el resultado de la operación 12 + 6 ∶ (− 2 ) + 5?

a) − 4

b) 15

c) 8

d) 14

Alternativa

correcta:

D

Justificación Técnica:

Se resuelve de izquierda a derecha empezando por

multiplicaciones o divisiones en el orden en que

aparezcan.

Se agrupan los números enteros positivos y los

números enteros negativos.

Se suman los valores absolutos de los números

positivos.

Se restan los valores absolutos de los números y se

conserva el signo del número con mayor valor

absoluto.

1. 4 .2. Operaciones combinadas en ℤ con signos de agrupación

Los signos de agrupación más empelados son paréntesis, corchetes y llaves, para eliminarlos o

suprimirlos se debe considerar:

✓ Si el signo de agrupación va precedido del signo

+, se eliminará el signo de agrupación

manteniendo el signo de todos los términos que

contenga.

Recordemos que…

Los signos de agrupación se

eliminan en el siguiente orden:

Paréntesis:

Corchetes:

[ ]

Llaves:

✓ Si el signo de agrupación va precedido del signo

−, se eliminará el signo de agrupación

cambiando de signo a todos los términos que

contenga.

EJEMPLO:

14. Al efectuar la expresión 2 − { 4 + 5 − [(− 10 + 7 ) + 2 ]} se obtiene como resultado:

a) 21

b) − 8

c) 17

d) − 10

Alternativa

correcta:

B

Justificación Técnica:

Como la expresión 2 −

[(

]}

combina solo sumas y restas, se

procede de la siguiente manera:

2 − { 4 + 5 − [(− 10 + 7 ) + 2 ]} Se elimina el paréntesis.

= 2 − { 4 + 5 − [− 10 + 7 + 2 ]} Se elimina el corchete.

Se eliminan la llave.

Se agrupan los números positivos y

negativos.

Se suma los valores absueltos y se conserva

el signo.

Se restan los valores absolutos y se mantiene

el signo del número con mayor valor absoluto.

Existe otro método para eliminar o suprimir signos de

agrupación con números enteros, descúbrelos junto a tu

docente.

15. ¿Cuál es el resultado que se obtiene al resolver ( 5 + 4 ) ∶ 3 − [−( 7 + 2 − 5 ) ∙ 4 ]?

a) 19

b) − 12

c) 4

d) 8

Alternativa

correcta:

A

Justificación Técnica:

Como la expresión ( 5 + 4 ) ∶ 3 − [−( 7 + 2 − 5 ) ∙ 4 ] combina suma, resta

multiplicación y división con signos de agrupación, se procede de la siguiente

manera:

( 5 + 4 ) ∶ 3 − [−( 7 + 2 − 5 ) ∙ 4 ] Se resuelven los paréntesis.

= 9 ∶ 3 − [(− 4 ) ∙ 4 ] Se elimina el corchete.

= 9 ∶ 3 − (− 16 ) Se efectúa la división.

= 3 + 16 Se efectúa la suma.

16. ¿Qué resultado se obtiene al efectuar la expresión 2 ∙ { 1 − [( 12 ∶ 4 ∙ 2 − 5 ) + 1 ] + 3 }?

a) − 9

b) 10

c) 4

d) − 14

Alternativa

correcta:

C

Justificación Técnica:

Como la expresión 2 ∙ { 1 − [( 12 ∶ 4 ∙ 2 − 5 ) + 1 ] + 3 } combina suma, resta

multiplicación y división con signos de agrupación, se procede de la siguiente

manera:

2 ∙ { 1 − [( 12 ∶ 4 ∙ 2 − 5 ) + 1 ] + 3 }

Se elimina el paréntesis, efectuando la

operación combinada.

= 2 ∙ { 1 − [( 3 ∙ 2 − 5 ) + 1 ] + 3 } Se efectúa la operación combinada.

= 2 ∙ { 1 − [( 6 − 5 ) + 1 ] + 3 } Se elimina el paréntesis.

[

]

Se elimina el corchete.

Se elimina la llave, agrupando los números

positivos y negativos.

Se suman los valores absolutos y se

mantiene el signo.

Se restan los valores absolutos y se

mantiene el signo del número con mayor

valor absoluto.

= 2 ∙ 2 Se efectúa la multiplicación.

EJEMPLO:

18. El valor de la potencia 3

6

es.

a) 324

b) 216

c) 729

d) 529

Alternativa

correcta:

C

Justificación Técnica:

6

Se multiplica la base tantas veces como indique el

exponente.

= 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 Se resuelve la multiplicación.

19. Al resolver la expresión (− 5 )

4

resulta:

a) 125

b) 625

c) 250

d) 400

Alternativa

correcta:

B

Justificación Técnica:

4

Se multiplica el valor absoluto de la base tantas veces

como indique el exponente.

= 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 Se resuelve la multiplicación.

Como la base es un número negativo y el exponente un

número par, el resultado de la potencia tiene signo +

20. ¿Cuál es el resultado de la potencia (− 7 )

3

a) − 257

b) − 147

c) − 343

d) − 441

Alternativa

correcta:

C

Justificación Técnica:

3

Se multiplica el valor absoluto de la base tantas veces

como indique el exponente.

= 7 ∙ 7 ∙ 7 Se resuelve la multiplicación.

Como la base es un número negativo y el exponente un

número impar, el resultado de la potencia tiene signo −

1. 5 .2 Propiedades de la potencia con base en ℤ y exponente en ℕ 1. 5 .2.1. Multiplicación de potencias de igual base

Para multiplicar potencias de igual base, se conserva la base y se suman los exponentes.

𝑎

𝑚

∙ 𝑎

𝑛

= 𝑎

𝑚+𝑛

; 𝒂 ∈ ℤ 𝒚 𝒎, 𝒏 ∈ ℕ

EJEMPLO:

2 1. El número entero que resulta al resolver (− 10 )

2

3

es:

a) − 100000

b) − 10000000

c) − 10000

d) − 1000000

Alternativa

correcta:

A

Justificación Técnica:

2

3

Se conserva la base y se suman los

exponentes.

5

Se multiplica el valor absoluto de la

base tantas veces como indique el

exponente.

Como la base es un número negativo

y el exponente un número impar, el

resultado de la potencia tiene signo −

2 2. Al resolver la expresión 2 ∙ 2

3

2

resulta:

a) 64

b) 72

c) 56

d) 48

Alternativa

correcta:

A

Justificación Técnica:

3

2

Se conserva la base y se suman los exponentes.

6

Se multiplica el valor absoluto de la base tantas veces

como indique el exponente.

= 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 Se resuelve la multiplicación.

25. Al efectuarse la potencia

(− 5 )

6

(− 5 )

2

∙(− 5 )

3

resulta:

a) − 225

b) 75

c) 25

d) − 5

Alternativa

correcta:

D

Justificación Técnica:

6

2

3

Se resuelve primero la operación de denominador. Se conserva

la base y se suman los exponentes.

6

5

Se conserva la base y se restan los exponentes.

1

Se aplica propiedad 𝑎

1

26. Al simplificar de la expresión

𝑎

17

∙𝑏

4

𝑏

2

𝑎

13

a) 𝑎

2

2

b) 𝑎𝑏

c) 𝑎𝑏

2

d) 𝑎

4

2

Alternativa

correcta:

D

Justificación Técnica:

17

4

2

13

Se conservan las bases comunes y se restan los exponentes.

4

2

1. 5 .2.3. Potencia de una potencia

Para elevar una potencia a un exponente, se conserva la base y se multiplican los exponentes.

(𝑎

𝑚

)

𝑛

= 𝑎

𝑚∙ 𝑛

; 𝒂 ∈ ℤ 𝒚 𝒎, 𝒏 ∈ ℕ

EJEMPLO:

27. La simplificación de la expresión

9

2

se obtiene:

a) 𝑎

18

b) 𝑎

c) 𝑎

11

d) 𝑎

36

Alternativa

correcta:

A

Justificación Técnica:

9

2

Se conserva la base y se multiplican los exponentes.

9 ∙ 2

Se efectúa la multiplicación entre los exponentes.

18

28. ¿Cuál es el valor de la expresión [(− 2 )

4

]

2

a) 96

b) 128

c) 256

d) 144

Alternativa

correcta:

C

Justificación Técnica:

= [(− 2 )

4

]

2

Se conserva la base y se multiplican los exponentes.

4 ∙ 2

Se efectúa la multiplicación entre los exponentes.

8

Se resuelve la potencia.

29. Al resolver la expresión

[(

4

5

]

2

se obtiene:

a) 1

b) 0

c) − 1

d) 18

Alternativa

correcta:

A

Justificación Técnica:

[( 1

4

5

]

2

Se conserva la base y se multiplican los exponentes.

4 ∙ 5 ∙ 2

Se efectúa la multiplicación entre los exponentes.

40

Se replica la propiedad 1

𝑎

32. El resultado de la expresión [ 2

3

2

]

2

es:

a) 6270

b) 5184

c) 4256

d) 5279

Alternativa

correcta:

B

Justificación Técnica:

[ 2

3

2

]

2

Se resuelve primero el corchete aplicando la definición de

potencia.

2

Se eleva cada factor al exponente.

2

2

Se resuelve cada potencia.

= 64 ∙ 81 Se efectúa la multiplicación.

ACTIVIDAD PRÁCTICA 3:

33. Simplifica las siguientes operaciones con potencias.

2

7

∙ 2

0

∙ 2

5

∙ 2

3

2 ∙ 2

3

∙ 2

5

∙ 2

6

𝑢

18

[𝑢

2

∙𝑢

3

]

3

2

3

∙ 2

4

∙ 2

9

∙ 2

2

4

∙ 2

3

∙ 2

6

12. [

𝑥

3

∙𝑦

5

𝑥

2

∙

( 𝑦

2

)

2

]

2

3

3

∙ 7

12

∙ 3

4

∙ 7

5

7

3

∙ 3 ∙ 7

5

∙ 3

4

13. (

𝑎

11

∙𝑏

8

∙𝑎

6

( 𝑎

3

)

3

∙𝑏

5

∙𝑏

)

2

(− 1 )

8

∙(− 1 )

2

∙(− 1 )

4

∙(− 1 )

3

∙(− 1 )

2

(− 1 )

4

∙(− 1 )∙(− 1 )

5

∙(− 1 )

3

∙(− 1 )

2

14. [

( 𝑎∙𝑏

)

8

∙𝑎

2

𝑏

8

∙

( 𝑎

3

)

2

]

3

[(𝑎

2

)

4

]

7

[𝑎

5

]

8

15. [

16 ∙ 3

5

∙( 2

2

)

3

27 ∙ 9

]

2

[𝑥

4

∙𝑦

5

]

6

[𝑥

2

∙𝑦

2

]

12

16. [

(𝑥

7

)

3

[(𝑥

3

)

2

]

3

]

4

4

5

∙[ 3

4

∙ 4

8

]

2

∙ 3

3

5

∙[ 4

2

]

5

8

5

∙ 2

3

∙( 2

4

∙ 2

2

)

2

2

6

[ 12

5

∙ 12

3

]

4

12

10

∙ 12

6

2

3

∙ 4

5

∙ 2

6

∙ 2 ∙ 8

10

16

3

∙ 2

3

∙ 32 ∙ 2

4

[ 4

5

]

2

∙

[ 4

3

]

6

16

5

15

2

∙ 3

2

∙ 5

3

∙ 45

2

25 ∙ 5 ∙ 27

(𝑎∙𝑏

2

)

8

∙𝑏

5

𝑎∙𝑎

3

∙𝑏

12

6

2

∙ 12

2

∙ 18

3

∙ 3

2

48 ∙ 3 ∙ 36 ∙ 27

Existe otro método para resolver potencia de un producto,

descúbrelos junto a tu docente.

Recordemos que…

Una fracción puede expresarse

como un número decimal, es

decir

7

2

puede expresarse como 3 , 5

Aprendizaje Esperado 2:

Aplican operaciones básicas de números racionales en la resolución de

operaciones y expresiones matemáticas.

CONJUNTO DE NÚMEROS RACIONALES

2 .1. Definición del conjunto ℚ

Un número racional es aquel que puede escribirse como el cociente entre dos números enteros, es

decir, una fracción con numerador y denominador distinto de cero.

2.2. Orden en ℚ

Los números racionales se ordenan en la recta numérica de la siguiente manera.

Para determinar el orden entre dos números racionales, por ejemplo, entre

4

7

y

5

9

, se procede de la

siguiente manera.

4

7

5

9

Se multiplica en forma cruzada.

Se ubica el símbolo de comparación

entre los números resultantes de la

multiplicación.

Se reemplazan los números por las

fracciones.

−

−

Existe otro método para comparar números racionales,

descúbrelos junto a tu docente.