Apuntes dinámica, cinemática de partículas, Apuntes de Dinámica

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CARPETA DE EVIDENCIAS DINAMICA

CINEMATICA DE PARTICULAS

MOISÉS DE JESÚS GONZALEZ VEGA

SEMESTRE FEBRERO-JULIO

IMPARTE: Diana Flores Ascencio.

21 DE MARZO DE 2022

1.1 INTRODUCCIÓN

La dinámica fue fundada por Galileo, quien descubrió matemáticamente espiritualmente el movimiento y sus causas, al

igual que la ley de la inercia.

El desarrollo de la dinámica fue retardado por la falta de métodos precisos para medir el tiempo (el primer artefacto para

medir el tiempo fue desarrollado por Roberto Hooke en 1666)

Los experimentos de esta disciplina exigen el uso de tres unidades: fuerza, longitud y tiempo.

La comprensión de la dinámica también fue retardada por los principios de la filosofía natural promulgados por

Aristóteles.

El objetivo de la dinámica es lograr la explicación de los conceptos básicos de esta parte de la mecánica para resolver

problemas en los que intervengan: fuerzas, desplazamientos, velocidades, aceleraciones y tiempo, en el movimiento de

las partículas.

Para introducirnos en el estudio de la dinámica es necesario establecer el origen de esta, para lo cual definimos a la

física como la ciencia que pretende comprender cómo suceden las cosas en el medio natural y por qué ocurren así.

Para esto, se define una clasificación en base a los conocimientos elementales de la física clásica:

Mecánica

Calor y termodinámica

Electricidad y magnetismo

Luz y óptica

De igual manera, se hace la división de la mecánica para su estudio

Del cuerpo rígido:

Estática

Dinámica: Cinemática y Cinética

Del cuerpo deformable

Resistencia de materiales

Teoría elástica

Teoría plástica

De los fluidos

Ideales

Viscosos

Comprensibles

Por otro lado, tenemos la división de la dinámica para su estudio

Cinemática: corresponde al estudio de la geometría del movimiento, se utiliza para relacionar el desplazamiento,

la velocidad, aceleración y el tiempo, sin hacer referencia a la causa del movimiento.

Cinética: Estudio de la relación que existe entre las fuerzas que actúan sobre un cuerpo, su masa y el

movimiento de este mismo.

Definiremos tres conceptos básicos a trabajar:

1. Partícula: suele denotar un objeto cuyo tamaño se reduce a un punto
2. Cuerpo: denota un sistema de partículas que forman un objeto de tamaño apreciable
3. Sistema de referencia: es un objeto que utilizamos para efectuar mediciones de otro objeto con respecto a

este.

Dentro de algunos usos de la dinámica, tenemos:

1.2 MOVIMIENTO RECTILÍNEO

Una partícula que se mueve a lo largo de una línea recta se dice que se encuentra en movimiento rectilíneo.

La cinemática de una partícula se caracteriza al especificar, en cualquier instante, su posición, velocidad y aceleración.

Posición La trayectoria de una partícula se definirá por medio de un solo eje de coordenadas x , donde el origen O es

un punto fijo, y a partir de él se utiliza la coordenada de posición x para especificar la ubicación de la partícula P en

cualquier instante dado.

Cuando se conoce la coordenada de la posición de una partícula para cualquier instante t , se afirma que se conoce el

movimiento de la partícula.

Ejemplo: Considere la partícula que se mueve en una línea recta y suponga que su posición está definida por la

ecuación: 𝑥 = 6 𝑡

2

3

Solución.

𝑑𝑥

𝑑𝑡

2

𝑑𝑣

𝑑𝑡

Desplazamiento El desplazamiento de una partícula se define como el cambio de su posición.

Por ejemplo, si la partícula se mueve de un punto a otro, el desplazamiento es: ∆𝑥 = 𝑥

′

Velocidad La velocidad promedio de la partícula sobre el intervalo de tiempo t se define como el cociente entre el

desplazamiento de 𝛿𝑥 y el intervalo de tiempo 𝛿𝑡:

La velocidad instantánea v de la partícula en el instante t se obtiene de la velocidad promedio al elegir intervalos 𝛿𝑡 y

desplazamientos 𝛿𝑥 cada vez más cortos:

𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑎𝑛𝑒𝑎 = 𝑣 = lim

∆𝑡→ 0

Δ𝑥

Δ𝑡

ó v =

d𝑥

d𝑡

Un valor positivo de v indica que x aumenta, un valor negativo de v indica que x disminuye.

La magnitud de v se conoce como rapidez de la partícula.

Aceleración.

𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 =

La aceleración instantánea a de la partícula en el instante t se obtiene de la aceleración promedio al escoger valores

de Δ𝑡 y Δ𝑣 cada vez más pequeños:

𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑎𝑛𝑒𝑎 = 𝑎 = lim

∆𝑡→ 0

Δ𝑣

Δ𝑡

ó a =

d𝑣

d𝑡

Un valor positivo de a indica que la velocidad aumenta, esto puede significar que la partícula se está moviendo más

rápido en la dirección positiva o que se mueve más lentamente en la dirección negativa.

La aceleración constante, es posible obtener otra expresión para la aceleración eliminando la diferencial dt en las

ecuaciones. Al resolver para dt , se obtiene 𝑑𝑡 = 𝑑𝑥/𝑣; al sustituir, se escribe:

a = v

d𝑣

d𝑥

Y como tercera, cuando está en función de la velocidad.

EJERCICIO 1

Un esquiador parte desde el reposo en la parte superior de una colina. Mientras baja por la pendiente, las coordenadas

GPS se utilizan para determinar su desplazamiento en función del tiempo 𝑥 = 0. 5 𝑡

3

2

• 2 𝑡, donde x y t se expresan

en pies y segundos respectivamente.

Determine la posición, velocidad, y aceleración del esquiador cuando 𝑡 = 5 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠

DATOS

3

2

3

2

3

2

SOLUCIÓN

𝑣 =?? v =

d𝑥

d𝑡

2

5 𝑠𝑒𝑔 v = 1. 5

2

a =

d𝑣

d𝑡

a = 3

a = 17 𝑓𝑡/𝑠𝑒𝑔

2

EJERCICIO 2

El movimiento de una partícula se define por la relación 𝑥 = 6 𝑡

4

3

2

• 3 𝑡 + 3 , donde x y t se expresan en

metros y segundos respectivamente. Determine el tiempo, la posición y la velocidad de la partícula 𝑎 = 0.

DATOS

4

3

2

4

3

2

• 3 t + 3

3

2

2

Factorizando la ecuación de la aceleración

2

2

2

De donde obtenemos el valor de t

1

2

3

2

1

2

Omitimos el valor de 𝑡 2

ya que no existen tiempos negativos

Por lo que sustituyendo el 𝑡 1

en mis ecuaciones, obtengo

4

3

2

• 3 t + 3

4

3

2

3

2

EJERCICIO 3

El movimiento de la corredera A se define mediante la relación 𝑥 = 500 sin 𝑘𝑡, donde x y t se expresan en milímetros y

segundos, respectivamente, y k es constante. Si 𝑘 = 10 𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔, determine la posición, la velocidad, y la aceleración

de la corredera A cuando 𝑡 = 0. 05 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠

DATOS

𝑥 = 500 sin 𝑘𝑡 𝑥 = 500 sin 𝑘𝑡

𝑥 = 𝑚𝑖𝑙𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑥 = 500 sin( 10 )( 0. 05 )

0

Para t=

6

3

2

6

6

0

10

6

Para t=

10

2

0

10

10

2

1.2.1. DETERMINACION DEL MOVIMIENTO DE UNA PARTICULA

Un movimiento rara vez se define por medio de una relación entre x y t. Con mayor frecuencia, las condiciones del

movimiento se especificarán por el tipo de aceleración que posee la partícula.

Se considerarán tres clases comunes de movimiento:

1 𝑎 = 𝑓(𝑡). La aceleración es una función dada en t. Al resolver para 𝑑𝑣 y sustituir 𝑓(𝑡) por 𝑎, se escribe

Al integrar ambos miembros obtenemos:

Al sustituir las integrales indefinidas por definidas con ciertos límites se obtiene:

𝑣

𝑣

0

𝑡

0

0

𝑡

0

Lo cual produce v en términos t.

La ecuación se puede resolver ahora para 𝑑𝑥

. La aceleración se da en función de x. Al reordenar la ecuación y sustituir 𝑓

para a , se escribe

𝑑𝑣

𝑑𝑡

𝑑𝑣

𝑑𝑥

𝑑𝑣

𝑓(𝑣)

𝑑𝑣

𝑓(𝑣)

EJERCICIO 5

Una pieza de equipo electrónico que está rodeada por material de empaque se deja caer de manera que golpea el suelo

con velocidad de 4 m/s. Después del impacto, el equipo experimenta una aceleración de 𝑎 = −𝑘𝑥, donde k es una

constante y x es la compresión del material de empaque.

Si dicho material experimenta una compresión máxima de 20mm, determine la aceleración máxima del equipo.

DATOS

0

𝑚

𝑠

𝑣 𝑑𝑣

𝑑𝑥

𝑓

𝑥𝑓

0

𝑣𝑓

𝑣 0

𝑥 = 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛

1

2

2

1

2

2

1

2

2

0

𝑥𝑓

1

2

2

1

2

2

1

2

2

1

2

2

1

2

2

− 2

𝑚𝑎𝑥

𝑚𝑎𝑥

𝑚𝑎𝑥

2

EJERCICIO 6

A partir de 𝑥 = 0 , sin velocidad inicial, la aceleración de una partícula está definida por la relación 𝑎 = 0. 8 √𝑣

2

donde a y v se expresan en

2

y m/s respectivamente

Determine:

a) La posición de la partícula cuando 𝑣 = 24 𝑚/𝑠

b) La rapidez de la partícula cuando 𝑥 = 40 𝑚

DATOS

𝑑𝑣

𝑑𝑥

0

2

2

2

𝑣𝑑𝑣

√ 𝑣

2

• 49

𝑣𝑑𝑣

√ 𝑣

2

• 49

𝑣

0

𝑥

0

2

0

𝑣

2

a) La posición de la partícula para 𝑣 = 24 𝑚/𝑠

2

b) La velocidad de la partícula cuando 𝑥 = 40 𝑚

2

1.2.1 MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME

En Este movimiento, la aceleración a de una partícula es cero para todo valor de t.

En consecuencia, la velocidad v es constante, con una ecuación transformada en:

EJERCICIO 8

Datos experimentales indican que en una región de la corriente de aire que sale por una rejilla de ventilación, la velocidad

del aire emitido está definido por 𝑣 = 0. 18

𝑣 0

𝑥

, donde v y x se expresan en m/s y metros, respectivamente, y 𝑣

0

es la

velocidad de descarga inicial del aire.

Para 𝑣 0

𝑚

𝑠

, determine:

a) La aceleración del aire cuando x=2m

b) El tiempo requerido para que el aire fluya de x=1m a x=3m

DATOS

𝑑𝑣

𝑑𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝑡

𝑑𝑣

𝑑𝑥

𝑣

0

𝑥

𝑑𝑣

𝑑𝑥

0

− 2

0

𝑚

𝑠

𝑑𝑥

𝑑𝑡

𝑑𝑣

𝑑𝑥

0

− 2

0

− 1

1. 0324 𝑣 0

2

𝑥

3

a) Para x=2m

0

2

3

2

b) 𝑣 =?, con x=1m a x=3m

0

0

3

1

0

3

1

2

𝑡 3

𝑡 1

3

1

3

1

ACTIVIDAD 1.

La aceleración de una partícula es directamente proporcional al tiempo 𝑡. Cuando 𝑡 = 0 , la velocidad de la partícula es

𝑣 = 16 𝑖𝑛/𝑠. Si se sabe que 𝑣 = 15 𝑖𝑛/𝑠, y que 𝑥 = 20 𝑖𝑛 cuando 𝑡 = 1 𝑠, determine la velocidad, la posición y la distancia

total recorrida cuando 𝑡 = 7 𝑠.

SOLUCIÓN.

Datos

𝑑𝑥

𝑑𝑡

𝑖𝑛

𝑠

𝑑𝑣

𝑑𝑡

𝑘𝑡

2

2

1

Sustituimos 𝑡 = 0 , 𝑣 = 16 𝑖𝑛/𝑠.

𝑘( 0 )

2

2

1

1

2

𝑘

( 1

)

2

2

𝑖𝑛

𝑠

− 2 𝑡

2

2

2

2

3

2

3

2

2

3

( 7

)

3

3

2

𝑖𝑛

𝑠

( 0

)

3

3

2

𝑖𝑛

𝑠

2

1

2

3

a) 𝑡 = 2 {𝑥 =

64

2

6

5

b)

1.3 MOVIMIENTO DE VARIAS PARTÍCULAS

Cuando varias partículas se mueven de manera independiente a lo largo de la misma línea, es posible escribir

ecuaciones de movimiento independientes para cada partícula.

Movimiento relativo de dos partículas

La coordenada de posición relativa de b con respecto a a se escribe:

𝐵/𝐴

𝐵

𝐴

La razón de cambio 𝑋 𝐵/𝐴

se conoce como velocidad relativa de b con respecto a a y se denota por:

𝐵/𝐴

𝐵

𝐴

La razón de cambio 𝑉 𝐵/𝐴

se conoce como aceleración relativa de b con respecto a a y se denota por:

𝐵/𝐴

𝐵

𝐴

Movimientos dependientes Algunas veces, la posición de una partícula dependerá de la posición de otra o de varias

partículas.

De la siguiente manera, deducimos la ecuación:

𝐴

𝐵

𝐴

𝐵

𝑐

Cuando la relación que existe entre las coordenadas de posición de varias partículas es lineal , se cumple una relación

similar entre las velocidades y entre las aceleraciones de las partículas, obteniendo:

𝐴

𝐵

𝑐

𝐴

𝐵

𝑐

EJERCICIO 9.

Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba desde una altura de 12 metros, en el pozo de un elevador con una

velocidad inicial de 18 m/s. En el mismo instante un elevador de plataforma abierta pasa por el nivel de 5 m, moviéndose

hacia arriba con una velocidad constante de 1 m/s, determine:

a) Cuando y donde golpea al elevador

b) La velocidad relativa de la pelota con respecto al elevador cuando ésta lo golpea.

DATOS:

0

𝑝

0

0

𝑝

𝐸

𝑝

0

0

1

2

2

𝐸

𝑝

2

𝐸

0

𝐸

𝐸

𝐸

𝑃

2

2

2

1

2

𝐸

𝐸

Velocidad relativa

𝑃/𝐸

𝑝

𝐸

𝑃/𝐸

𝑃/𝐸

𝑃/𝐸

EJERCICIO 10

El bloque A se mueve hacia abajo con una velocidad constante de 2ft/seg. Determine:

a) La velocidad del bloque C

b) La velocidad del collarín B relativa al bloque A

c) La velocidad relativa de la porción D del cable respecto al bloque A

DATOS:

𝑎

𝑐

𝑏/𝑎

𝑑/𝑎

Determinamos las ecuaciones:

𝑎

𝑎

𝑏

𝑎

𝑏

𝑏

𝑐

Formulamos ecuaciones:

𝑎

𝑏

𝑏

𝑐

𝑏

𝑐

𝑏/𝑎

𝑏

𝑎

𝑐

𝑏

a) 𝑣

𝑐

𝑎

𝑏

𝑏

𝑏

𝑐

𝑏

𝑐

𝑐

= − 8 𝑓𝑡/𝑠𝑒𝑔 ó 8 𝑓𝑡/𝑠𝑒𝑔 ↑

b) 𝑣

𝑏/𝑎

𝑏/𝑎

𝑏/𝑎

c) 𝑣

𝑑/𝑎

𝐷

𝐶

𝐷

𝐶

𝐷

𝐷

𝐴

Bloque C- MUA

a) 𝜕

𝐴

𝐵

𝐶

b) 𝑣

𝐵

𝐵

Hacemos nuestro sistema de ecuaciones:

𝑎

𝑏

𝑏

𝑐

Formulamos ecuaciones:

𝑎

𝑏

𝑏

𝑐

𝑎

𝑏

𝑐

1

2

𝑏

𝑏

2

3

𝑎

𝑐

1

2

𝑏

𝑐

1

2

2

3

𝑎

𝑐

1

3

𝑎

𝑏

2

3

𝑎

𝑐

1

3

𝑎

a)

𝐴

0 𝐴

𝑎

𝐴

0 𝐴

𝑎

𝑎

2

𝑏

𝑎

𝑏

𝑏

2

𝑐

𝑎

𝑐

𝑐

2

b) 𝑣

𝐵

𝐵

𝑏

0

𝑏

𝑏 0

𝑏

𝑏

𝑏

1.4 MOVIMIENTO CURVILINEO

El movimiento curvilíneo ocurre cuando una partícula se desplaza a lo largo de una trayectoria curva. Como esta

trayectoria a menudo se describe en tres dimensiones, utilizaremos análisis vectorial para formular:

 Posición

 Velocidad

 Aceleración

Posición. Considere una partícula situada en un punto de curva espacial definida por la función de trayectoria 𝑠(𝑡),

como se muestra en la figura a. El vector de posición 𝑟 = 𝑟(𝑡) designara la posición de la partícula.

Desplazamiento. Suponga que durante un breve intervalo ∆𝑠 a lo largo de la curva a una nueva posición, definida por

𝑟´ = 𝑟 + ∆𝑟, figura b. El desplazamiento ∆𝑟 se determina mediante ∆𝑟 = 𝑟´ − 𝑟.

Velocidad. Durante el tiempo ∆𝑡, la velocidad promedio de la partícula es:

𝑝𝑟𝑜𝑚

La velocidad instantánea se determina con esta ecuación cuando ∆𝑡 → 0. Por consiguiente, 𝑣 = lim

∆𝑡→ 0

∆𝑟

∆𝑡

) o 𝑣 =

𝑑𝑟

𝑑𝑡

La magnitud de v, conocida como rapidez, se obtiene de la siguiente manera:

Aceleración Si la velocidad de la partícula es v en el instante 𝑡 y 𝑣´ = 𝑣 + ∆𝑣 en el instante 𝑡 + ∆𝑡, figura d, entonces la

aceleración promedio de la partícula durante el intervalo ∆𝑡 es:

𝑝𝑟𝑜𝑚

Para obtener la aceleración instantánea, hacemos que ∆𝑡 → 0 en la ecuación anterior, obteniendo:

Para estudiar la tasa de cambio en el tiempo, los dos vectores velocidad se trazan de modo que sus colas queden en

el punto o´ y sus cabezas de flecha toquen puntos situados en la curva.

Describe el lugar geométrico de puntos para la cabeza de punta de flecha del vector de velocidad, del mismo modo en

que la trayectoria 𝑠 describe el lugar geométrico de puntos para la cabeza de punta de flecha del vector posición.

1.4.1 Movimiento Curvilíneo componentes rectangulares

Posición Si la partícula está en el punto (x,y,z) de la trayectoria curva 𝑠 mostrada en la figura a, entonces el vector de

posición define su posición:

La siguiente ecuación define la magnitud de r:

2

2

2

Velocidad La primera derivada con respecto al tiempo de r proporciona la velocidad de la partícula:

Obteniendo:

𝑥

𝑦

𝑧

Donde:

𝑥

𝑦

𝑧

La magnitud de la velocidad se determina:

a) Velocidad 𝑡 = 1 𝑠𝑒𝑔.

𝑥

𝑦

𝑦

Para obtener la magnitud tenemos la ecuación:

𝑥

2

𝑦

2

2

2

Ahora obtendremos el ángulo que está definido por:

𝜃 = tan

− 1

b) Distancia horizontal

2

Tenemos el tiempo falta la posición

EJERCICIO 14.

El movimiento de una partícula vibrante se define por el vector de posición 𝑟 = 10 ( 1 − 𝑒

− 3 𝑡

− 2 𝑡

sin 15 𝑡)𝑗. Donde

𝑟 y 𝑡 se expresan en milímetros y segundos, respectivamente. Determinar la velocidad y aceleración cuando:

a) 𝑡 = 0

b) 𝑡 = 0. 5 𝑠

DATOS.

− 3 𝑡

− 2 𝑡

sin 15 𝑡

a) 𝑣 =? 𝑎 =? 𝑡 = 0

b) 𝑣 =? 𝑎 =? 𝑡 = 0. 5 𝑠

SOLUCIÓN.

− 3 𝑡

𝑖 + [ 60 𝑒

− 2 𝑡

cos 15 𝑡 − 8 𝑒

− 2 𝑡

sin 15 𝑡]𝑗

− 3 𝑡

[

− 2 𝑡

cos 15 𝑡 − 900 𝑒

2 𝑡

sin 15 𝑡 − 120 𝑒

− 2 𝑡

cos 15 𝑡 + 16 𝑒

− 2 𝑡

sin 15 𝑡

]

− 3 𝑡

[

− 2 𝑡

cos 15 𝑡 − 900 𝑒

2 𝑡

sin 15 𝑡 + 16 𝑒

− 2 𝑡

sin 15 𝑡

]

Inciso a) cuando 𝑡 = 0

− 3 ( 0 )

[

− 2 ( 0 )

cos 15

− 2 ( 0 )

sin 15

)]

− 3 ( 0 )

𝑖 + [− 240 𝑒

− 2 𝑡

cos 15 𝑡 − 900 𝑒

2 𝑡

sin 15 𝑡 + 16 𝑒

− 2 𝑡

sin 15 𝑡]𝑗

2

2

Inciso b) cuando 𝑡 = 0. 5 𝑠

− 3 ( 0. 5 )

𝑖 + [ 60 𝑒

− 2 ( 0. 5 )

cos 15

− 2 ( 0. 5 )

sin 15

]𝑗

− 3 ( 0. 5 )

[

− 2 ( 0. 5 )

cos 15 ( 0. 5 ) − 900 𝑒

2 ( 0. 5 )

sin 15 ( 0. 5 ) + 16 𝑒

− 2

(

1. 5

)

sin 15 ( 0. 5 )

]

2

2

EJERCICIO 15.

El movimiento de una partícula se define mediante el vector de posición 𝑟 = 𝐴

cos 𝑡 + 𝑡 sin 𝑡

sin 𝑡 − 𝑡 cos 𝑡

𝑗 donde

𝑡 se expresa en 𝑠. Determine los valores de 𝑡 para los cuales el vector de posición y el vector de aceleración son

a) Perpendiculares

b) Paralelos.

DATOS.

𝑟 = 𝐴(cos 𝑡 + 𝑡 sin 𝑡)𝑖 + 𝐴(sin 𝑡 − 𝑡 cos 𝑡)𝑗

SOLUCIÓN.

− sin 𝑡 + sin 𝑡 + 𝑡 cos 𝑡

cos 𝑡 − cos 𝑡 + 𝑡 sin 𝑡

𝑣 = 𝐴(𝑡 cos 𝑡)𝑖 + 𝐴(𝑡 sin 𝑡)𝑗

𝑎 = 𝐴(cos 𝑡 − 𝑡 sin 𝑡)𝑖 + 𝐴(sin 𝑡 + 𝑡 cos 𝑡)𝑗

Inciso a) cuando son perpendiculares

cos 𝑡 + 𝑡 sin 𝑡

sin 𝑡 − 𝑡 cos 𝑡

cos 𝑡 − 𝑡 sin 𝑡

sin 𝑡 + 𝑡 cos 𝑡

(cos

2

2

sin

2

𝑡) + (sin

2

2

cos

2

cos

2

𝑡 + sin

2

2

sin

2

𝑡 + cos

2

Dado que cos

2

𝑡 + sin

2

2

2

1

2

Como no existe el tiempo negativo, tomamos que 𝑡 = 1