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N Z Q I R NÚMEROS REALES El objetivo, es estudiar los números reales con sus operaciones y los distintos subconjuntos que lo componen. Históricamente, la primera actividad matemática que realizó el hombre, fue la de contar objetos, dando lugar a la aparición del: Conjunto de los número naturales positivos El conjunto de los números naturales positivos también llamados “enteros positivos” es: N
={ 1,2,3,4,5,6 , ... .. ... ..} 4 ∈ N , 209 ∈ N , 1 2 ∉ N
, 11 4 ∉ N
La búsqueda de solución para ecuaciones del tipo:
x + a = b con a b ∈ N
y b ≤ a muestra la necesidad de ampliar el conjunto
N
, con el agregado de los naturales negativo N^
− y el cero. El conjunto de los números naturales negativos es: N − ={ − 1 , − 2 , − 3 , − 4 , − 5 , .. ... .. .. .} − 4 ∈ N − , − 209 ∈ N − , − 1 2 ∉ N − , − 11 4 ∉ N −
Y el cero, es un conjunto con un solo elemento: {^0 }^.
Con estos tres conjunto se obtiene el conjunto de los números enteros: Z ={ − 1 , − 2 , − 3 , − 4 , − 5. .. ... 0,1,2,3,4 ... .. ... ..} − 4 ∈ Z , − 27 ∈ Z , − 1 3 ∉ Z , 11 4 ∉ Z Para resolver ecuaciones de la forma: c ∗ x = d^ con^^0 ≠ c^ d^ ∈^ Z^ , tuvo que agregarse un nuevo tipo de número, los números fraccionarios, obteniéndose. El conjunto de los números racionales:
Q =
{
a
b
; a b ∈ Z ; b ≠ 0
}
; − 4 ∈ Q , − 17 ∈ Q , −
∈ Q ,
∈ Q ,
√ 3 ∉^ Q^ ,^ π^ ∉ Q^ ,^ √ 2 ∉^ Q Nota: Los números racionales tienen un desarrollo decimal finito o periódico. Ejemplo: 2 , 37 , 5 , 26 = 5 , 26262626 .. .. .... 3,6= 3 , 6666666666 .. ... .. .. En la antigüedad se conocía longitudes cuya medida eran iguales a √^2 ,^ e^ ,^ π^ , que no se pueden expresar como número racionales, y se los denomino números irracionales. El conjunto de los números irracionales tiene un desarrollo decimal infinito y no periódico, ejemplo: I ={^ −√ 5 ,. .. .. (^) √ 2 , − π , − e ,... e , .. ... .. .. .} Representado con diagramas de Venn: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R , I ⊂ R Q ∩ I = φ , Q ∪ I = R Ejemplos: 3
- {^1 ,^^5 ,^^90 ,^ √^5 }^ ⊂^ Q^?^ NO^ ;^ √^5 ∉^ Q
{ − 3 , 5 , 90 , 2 9 }^ ⊂ Q? SI
; 3) {^0 }^ ⊂^ R^?^ SI
- Z^ ⊆^ N^?^ NO^ ;^ −^5 ∈^ Z^ y^ −^5 ∉^ N
- N^ ⊆^ Z^?^ SI^ ;^ ∀^ x^ ∈^ N^ ⇒^ x^ ∈^ Z
- {^ e^ ,^ π^ ,^ √^3 }^ ⊂^ I^?^ SI^ ; 7) {^0 ,^ e^ ,^ π^ ,^ √^3 }^ ⊂^ I^?^ NO^ ,^^0 ∉^ I Representación aproximada en la recta de los números reales. -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ................ √ 2 π Propiedades del conjunto de los números naturales 1) La adición o suma es una operación cerrada (el resultado es otro elemento del conjunto) a ∈ N y b ∈ N ⇒ a + b ∈ N No tiene elemento neutro,^0 ∉^ _N
- El producto es una operación cerrada, a_^ ∈^ N^ y^ b^ ∈^ N^ ⇒^ a ∗ b^ ∈^ N Tiene elemento neutro ∀^ x^ ∈^ N^ ∃^1 ∈^ N^ /^1 ∗ x = x ∗^1 = _x
- La sustracción o resta no es una operación cerrada si a_ = 12 ∈ N y b = 30 ∈ N ⇒ a − b = 12 − 30 =− 18 ∉ N Definición: Número primo es un número entero que tiene exactamente 4 (cuatro) divisores : p es primo si p ≠ (^) + − (^1) y sus únicos divisores son + − 1 y (^) + − p (^). Ejemplos:2,3,5,7,11,13..... Todo número natural distinto de 1 (uno) se puede escribir como producto de naturales primos y esta descripción es única salvo el orden de los factores ejemplos: 10 = 2 ∗ 5 = 5 ∗ 2 15 = 3 ∗ 5 = 5 ∗ 3 Observaciones: 1) Números naturales pares,
{ 2,4,6,8 , .. ... } , { x ∈ N / x = 2 k , k ∈ N } o { x ∈ R / x = 2 k , k ∈ N }
2) Números naturales impares,
{ 1,3,5,7 , .. ... } , { x ∈ N / x = 2 k − 1 , k ∈ N } o { x ∈ N / x = 2 k + 1 , k ∈ N 0 }
donde N^0 = N^ ∪^ {^0 }^ ,^ {^ x^ ∈^ R^ /^ x =^2 k −^1 ,^ k^ ∈^ N^ } 3) Números naturales múltiplo de 3 (tres),
{ 3,6,9 , 12 , 15 , 18 , .. ... .. } { x ∈ N / x = 3 k , k ∈ N }
Conjunto de los número enteros es: Z = N^
∪ { 0 } ∪ N
−
Importante: 1) a b −
a ∗ d (^) −
b ∗ c b ∗ d con b d ≠ 0 2) a b ∗ c d = a ∗ c b ∗ d con b d ≠ 0 3) a b
c d = a ∗ d b ∗ c con b c d ≠ 0 Observaciones: 1) Todo número racional tiene una única representación como fracción irreducible con denominador positivo ( a b (^) se dice irreducible si a y b no tienen factores comunes distintos de −
- (^1) ) Ejemplo, 3 − 6 = − 1 2 , − 3 − 6 = 1 2 2) Todo número decimal periódico puede ser expresado como cocientes de números enteros, ejmplo a) 0,1=^0 ,^11111111.^ ..^.^ ,^ x =0,1^10 ∗ x =^10 ∗0,1^ ,^^10 ∗ x =1,1^ operando 10 ∗ x =1, − ( x =0,1 ) 9 x = 1 ⇒ x =
b) 0,2= 2 10 = 1 5 , 0 , 301 = 301 1000 c) 0 , 13 = 0 , 13131313 , x = 0 , 13 100 ∗ x = 100 ∗ 0 , 13 100 ∗ x = 13 , 13 − x =− 0 , 13 99 x = 13 ⇒ x =
d)
0 , 12 = 0 , 1222222 , x = 0 , 12 100 ∗ x = 100 ∗ 0 , 12
100 ∗ x = 100 ∗ 0 , 12 = 12 , 2
− 10 x =− 10 ∗ 0 , 12 =1,
90 x = 11 ⇒ x =
e) 0 , 3541 = 0 , 354141414141.. .. , x = 3541 − 35 9900 f) 0 , 867 = 0 , 867676767 .. .. , x = 867 − 8 990 El conjunto de los números racionales es denso , pues cada vez que tomo 2 (dos) números racionales siempre encuentro al menos uno entre ellos.
La unión de los conjuntos racionales con los irracionales se obtiene el conjunto de los números reales, que es completo y denso Q ∪ I = R^. Propiedades del conjunto de los números reales a b c ∈ R Propiedad asociativa (S1) a +(^ b + c^ )=(^ a +^ b^ )+^ c Propiedad conmutativa (S2) a +^ b = b^ + a Neutro para la suma (S3) ∀^ a^ ∈^ R^ ,^ ∃^0 ∈^ R^ /^ a +^0 =^0 +^ a = a Existencia del opuesto (S4) ∀^ a^ ∈^ R^ ,^ ∃^ (^ − a^ )^ /^ a +(^ − a^ )=(^ − a^ )+^ a =^0 Propiedad asociativa (P1) a ∗(^ b ∗ c^ )=(^ a ∗ b^ )∗ c Propiedad conmutativa (P2) a ∗ b = b^ ∗ a Neutro para el producto (P3) ∀^ a^ ∈^ R^ ,^ ∃^1 ∈^ R^ /^ a ∗^1 =^1 ∗ a = a Existencia del inverso (P4)
∀ a ∈ R con a ≠ 0 , ∃ a
− 1
∈ R / a ∗ a
− 1
= a
− 1
∗ a = 1
Propiedad distributiva del producto respecto a la suma (D) a ∗( b + c )= a ∗ b + a ∗ c Propiedades de la relación de igualdad: 1) Reflexión a = _a
- Simetría a_ = b^ ⇒^ b = _a
- Transitividad a_ = b^ ,^ b = c^ ⇒^ a = _c
- Uniformidad de la suma si_^ a = b^ ⇒^ a +^ c = b +^ _c
- Uniformidad del producto si_^ a = b^ ⇒^ a ∗ c^ = b ∗ _c A partir de las propiedades del conjunto de los números reales y las anteriores podemos deducir las siguientes reglas conocidas de operaciones de los números reales:
- si_^ a +^ b^ =^ a +^ c^ ⇒^ b = c 2) ∀^ a^ b^ ∈^ R^ ,^ ∃^!^ x^ /^ a +^ x = b^ ,^ x = b +(^ − a^ )^ Nota: ∃^!^ significa “existe un único” 3) −(^ a +^ b^ )=− a − _b
- a_ ∗^0 =^0 ∀^ a^ ∈^ _R
- si_^ a ≠^0 y^ a ∗ b = a ∗ c^ ⇒^ b = c
6) si^ a ≠^0 ∃^!^ x^ /^ a ∗ x = b^ ,^ x = a^
− 1
∗ b
7) (−^ a^ )∗ b^ =− a ∗ b = a ∗(^ − b^ ) 8) (−^ a^ )∗(^ − b^ )^ = a ∗ _b
- a_ ∗ b =^0 ⇒^ a =^0 ∨^ b =^0 Relación de orden en el conjunto de los números reales
3) Producto de potencias de igual base: a. a = a a Î _R
- Cociente de potencias de igual base: a : a = a_ a Î R , a ¹ _0
- Potencia de potencia: (a ) = a_ a Î R Observaciones:
- a = ( a ) = (1/a) 2) a = 1 si n = 0
- Si a = 0 , a = 0 n ¹ 0.
- Si a = 0 y n = 0. , a no está definida
- La potenciación no es distributiva respecto de la suma ni de la resta, es decir: ( a ±b) ¹ a ± b a, b Î R Ejemplo: (5 + 3)^2 = 8^2 = 64 52 + 3^2 = 25 + 9 = 34 64 ¹ 34, por lo tanto la potencia no se distribuye con respecto a la suma. RADICACIÓN EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES Definición: Dado un número natural n ≥^2 y un número real “a”, se llama raíz n-ésima de “a” al número “b” tal que la potencia n-ésima de “b” es igual a “a”. = b Û b = a , n Î N, donde “n” se llama índice ; “a” se llama radicando y “b”, raíz. Ejemplos: 1) = 2 pues 2^3 = 8 2) 3 √ − 1 27 = − 1 (^3) pues (-1/3)^3 = -1/ "Toda raíz de radicando negativo e índice par no tiene solución en el conjunto de los números R. En otras palabras, la radicación no es cerrada en R" Propiedades: _La operación radicación verifica las siguientes propiedades:
- Distributiva respecto del producto: n_ √ ab = n √ a^ n √ b^ ^ siempre que ^ n √ a^ ^ y^ ^ n √ b^ _existan.
- Distributiva respecto del cociente: n_ √ a^ : b = n √ a^ :^ n √ b^ ^ siempre que n √ a^ ^ y^ ^ n √ b _existan.
- Raíz de raíz: n_ √ m √ a =^ n. m √ a Observaciones:
- Toda raíz de radicando negativo e índice par no tiene solución en el conjunto de los números reales.
- Si el índice es impar, la raíz real es única y del mismo signo que el radicando.
- Si el índice es par y el radicando positivo, existen dos raíces reales opuestas.
- La radicación no es distributiva respecto de la suma o resta: n √ a + b ≠ n √ a + n √ b^ ,^ n √ a − b ≠ n √ a − n √ b
- Sea aÎR; n, m y p Î N, consideremos n √ a m = n . p √ a m . p ¿Es posible obtener una relación entre ambas expresiones? Analicemos los distintos casos con algunos ejemplos: 8 √^2 4 = 8 . 1 / 4 √^2 4 . 1 / 4 =√ 2 3 √^5 2 = 3 . 4 √^5 2 . 4 = 12 √^5 8 Definición: se llaman radicales a las expresiones formadas por el signo radical y una expresión numérica o literal debajo del mismo. √^2 a^ ; −^3 b^ 3 √^5 a 2 ; √^35
- ¿Es siempre posible simplificar un radical? Analicemos los siguientes casos: a) Sea 6 √^4 3 , si resolvemos aplicando la definición de potencia y luego la definición de radicación, tenemos: 6 √^4 3
6 √^64 =±^2 Ahora, resolvemos multiplicando el índice de la raíz y el exponente del radicando por el mismo número: 6 √^4 3
6 . 1 / 3 √^4 3 . 1 / 3 =√ 4 =± (^2). Luego, los resultados coinciden. b) Resolvemos 5 √(−^2 ) 5 aplicando la definición de potenciación y luego la definición de radicación: 5 √(−^2 ) 5 = 5 √−^32 =−^2. Ahora, resolvemos multiplicando el índice de la raíz y el exponente del radicando por el mismo número: 5 √(−^2 ) 5
5 . 1 5 √(−^2 ) 5 . 1 5
=− 2. Luego,
los resultados coinciden. c) Sea √ (− 2 ) 2 , resolvemos de la misma manera que en los casos anteriores: √(−^2 ) 2 =√ 4 =± 2 , (^) √(− 2 ) 2
2 . 1 2 √(−^2 ) 2 . ^1 2
=− 2. Luego, los resultados no coinciden
No siempre es posible simplificar un radical de radicando negativo. En general: Si n es impar: 3 √^9 3
3 √^729 =^9 ,^ 3 √(
4 ) 3
3 √
5 √(−^2 ) 5
5 √−^32 =−^2 Si n es par: 6 √^2 6 = 6 √^64 =±^2 ,^ √(−^3 ) 2 =√ 9 =± 3 Las Potenciación y Radicación son operaciones inversas. Racionalización de denominadores
a a + b = 1 + a b (^) 5) [^ (^ a^ )^ 2 ] 3
= a
5
- √^ a +√^ b =√^ a + b LOGARITMOS Dado un número real a¿^0 y otro número real b¿^0 y a ≠^^0 , se llama logaritmo del número a en base b, a la siguiente expresión: log b a = x ↔ b x = a Ello se lee: “el logaritmo de a en base b es igual a x” si y sólo si (^) bx = a Por la definición anterior se deducen las siguientes conclusiones:
- log b 1 = 0 porque b 0 = 1
- log (^) b b = 1 porque b 1 = b
- Resulta obvio que b no puede valer 1 ni 0, pues se obtendrían absurdos.
- b log b a = a Observaciones
- Si b=10 se llaman logaritmos decimales (En la calculadora: log)
- Si b=e=2,718….. se llaman logaritmos naturales o neperianos (en la calculadora : ln ). Ejemplos:
- log 2 8 = 3 porque 2 3 = 8
- log 3 9 = 2 porque 3 2 = 9
- Log 100 = 2 porque (^102) = 100
- (^) log 81 3 =^1 /^4 porque^81 1 (^4) = 3
- log 1 / 4 2 = − 1 2 porque ( 1 4 ) − 1 (^2) = 4 1 (^2) =
√^4 =^2
Propiedades
- log b (^ m^.^ n )=log b m +^ log b n
- log b (^ m / n )^ =log b m −log b n
- log b m n = n. log b m
- log b a =^ log a log b = ln a ln b (cambio de base) ECUACIONES Definición: Se llama ecuación toda igualdad donde está definida una, o más variables denominadas incógnitas de la ecuación. y se representa con una letra. Nota: Una de las mayores dificultades con que se encuentra un alumno al iniciarlos estudios formales está en el uso y significa de las letras. El pensamiento formal se logra cuando se puede manejar elementos abstractos y concretos.
Resolución de ecuaciones
− 7 5 x + 1 = x + 2
2) 2 x +^3 =^2 x −^5 3) x
2
− 16 = 0 4) x
2
+ x − 2 = 0
Los casos 1) y 2) son ecuaciones lineales con una única solución y sin solución respetivamente (se sugiere hallar los valores de x). Los casos 3) y 4) son ecuaciones cuadráticas. La primera de ellas se puede resolver simplemente despejando y en el segundo caso usando la fórmula resolvente para los trinomios de segundo grado: a x 2
- bx + c = 0 donde las raíces son:^ x = − b ± (^) √ b 2 − 4 ac 2 a Si (^) b^2 − 4 ac > 0 entonces (^) x 1,2= − b ± (^) √ b 2 − 4 ac 2 a Si b 2 − 4 ac = 0 entonces^ x 1,2= − b 2 a Si b 2 − 4 ac < 0 entonces no tiene solución en los números reales. Ecuaciones logarítmicas y exponenciales Ejemplos
- log 4 (^ x^ +^1 )=^ 1 2 +log 4 x ↔ log 4 ( x + 1 )−log 4 x = 1 2 ↔ log 4 x + 1 x = 1 2 ↔ x + 1 x = 4 1 (^2) ↔ x + 1 = 2 x ↔ x = 1
log❑ x + log❑( 2 x − 1 )= 1 ↔ log [ x. ( 2 x − 1 ) ]= 1 ↔ x ( 2 x − 1 ) = 10 ↔ 2 x
2 − x − 10 = 0 ↔ x 1 = 5 2 y x 2 =− 2 ( a
- log 6 ( log 4 3 x^ ) =^0 ↔^ log 4 3 x =^6 0 ↔ 3 x = 4 1 ↔ x = 4 3
- 2 x +^1 − 16 = 0 ↔ 2 x +^1 = 24 ↔ x + 1 = 4 ↔ x = 3
- 3 x +^2 + 3 x = 270 ↔ 3 x^ 32 + 3 x = 270 ↔ 3 x^ ( (^9) + 1 )= 270 ↔ 3 x = 27 ↔ 3 x = 33 ↔ x = 3
- 3 x + 2 = 155 ↔ aplicando log resulta ( x + 2 ). log 3 =log 155 ↔ x + 2 = log 155 log 3 ↔ x =4,59− 2 =1, INTERVALOS Un intervalo es en conjunto de números reales. Definición: Se llama intervalo abierto de extremos a^ y^ b^ ,^ con^ a < b^ , al conjunto de los x que están entre a^ y^ b^ , sin tener en cuenta los extremos. Notaremos, utilizando la notación
de conjunto C =^ (^ a^ ,^ b^ )={^ x^ ∈^ R^ /^ a <^ x^ < b^ }^.
Definición:
Se llama inecuación toda desigualdad donde está definida una, o más variables denominadas incógnitas de la inecuación. y se representa con una letra. Resolución de inecuaciones
- 3 x^ +^2 ≤^5. Solución: x^ ∈^ (^ −∞^ ,^^1 ]^ , como intervalo, A =(^ −∞^ ,^^1 ]={^ x^ ∈^ R^ /^ x ≤^1 }^ , como conjunto.
2) −^2 x^ +^5 ≥^1. Solución x^ ∈^ (^ −∞^ ,^^2 ]^ 3) x^
2
+ 1 ≥ 0. Solución x^ ∈^ R
x − 3 4 − x ≥ 0
. Solución x^ ∈^ [^3 ,^^4 )^ 5) (^ x −^3 )^ (^4 − x^ )^ ≥^0. Solución x^ ∈^ [^3 ,^^4 ]
2 x − 1 x − 1
1 . Solución x^ ∈^ (^1 ,^ +∞^ )^ ∪^ (^ −∞^ ,^^0 )^ 6) (^ −^3 x +^2 )^ (^ x −^6 )^ ≤^0 Ejercicios: Indicar qué valores de x^ ∈^ R^ hacen que las siguientes expresiones tengan sentido en el conjunto:
13 x − (^7) 2) − 5 9 − x^2 3) √ x + (^12) 4) √
x 4
5 √ x −^21 6) √ 2 x −^5 x − 23 VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO REAL Definición: Si x es un número real su valor absoluto se escribe |^ x^ |^ y se define
| x |=
{
x si x ≥ 0
− x si x < 0
Ejemplos:
- Valor absoluto de un número |^ −^10 |=−^ (^ −^10 )=^10 |^0 |=^0 |^15 |=^15
- Hallar el valor absoluto por definición:
| x |= 7 ; | x |= 7 ⇔
{
x = 7 si x ≥ 0 x = 7
− x = 7 si x < 0 x =− 7
Graficamos en la recta real: -7 0 7
- Hallar el valor de la variable x tal que | 2 x + 1 |= 7 ; | 2 x + 2 |=− 3 ; | x − 4 |< 8
| x − 4 |< 8 ⇔
x − 4 < 8 si x − 4 ≥ 0 ¿ − ( x − 4 )< 8 si x − 4 < 0
x < 12 si x ≥ 4 ¿ − x + 4 < 8 si x < 4
x < 12 si x ≥ 4 ¿ − x < 4 si x < 4 ⇔
x < 12 si x ≥ 4 ¿ x >− 4 si x < 4
x ∈ (− ∞ , 12 ) ¿ x ∈ [ 4 , +∞ ) ¿ x ∈ ( − 4 , +∞ ) ¿ x ∈ (− ∞ , 4 )
x ∈ [ 4 , 12 ) ¿ x ∈ ( − 4 , 4 ) Solución: x^ ∈^ (^ −^4 ,^^12 ) | x + 5 |≥ 2 ⇔
x + 5 ≥ 2 si x + 5 ≥ 0 ¿ − ( x + 5 )≥ 2 si x + 5 < 0 PROPIEDADES DE VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO REAL Propiedad 1: | x |≥ 0 , ∀ x ∈ R (^). Demostración:
| x |≥ 0 ⇔
x si x ≥ 0
− x si x < 0
El valor absoluto siempre es positivo. Propiedad 2: | x |= 0 , si x = 0 Demostración:
| x |= 0 ⇔
x = 0 si x ≥ 0
− x = 0 si x < 0
x = 0
O
Propiedad 3: | x |= | − x | , ∀ x ∈ R (^) ; | − x |≥ 0 ⇔
− x si − x ≥ 0 −(− x ) si − x < 0
− x si x ≤ 0 x si x > 0 la demostración coincide es igual a |^ x^ |
Otra forma |^ x^ |=^ |^ − x^ |^ =^ |^ (−^1 )^ x^ |=^ |−^1 ||^ x^ |^ =|^ x^ |
Propiedad 4: | x − y |= | y − x | , ∀ x y ∈ R (^) ; | y − x |= | −( x − y )|= | x − y | (^) , por propiedad 3 Propiedad 5: | y ∗ x |= | y |∗| x | (^) ∀ x y ∈ R
Caso 1: x ≥^0 ∧^ y ≥^0 ,^ |^ y^ |=^ y^ ,^ |^ x^ |= x^ ,^ |^ y^ ∗ x^ |^ =
x y ≥ 0
y ∗ x = | y |∗| x |
Caso 2: x ≥^0 ∧^ y ≤^0 ,^ |^ y^ |=−^ y^ ,^ |^ x^ |^ = x^ ,^ |^ y^ ∗ x^ |=^ −^ y ∗ x^ =^ |^ y^ |∗|^ x^ |
Caso 3: x ≤^0 ∧^ y ≥^0 ,^ |^ y^ |=^ y^ ,^ |^ x^ |=− x^ ,^ |^ y^ ∗ x^ |=^ y ∗(− x^ )^ =^ |^ y^ |∗|^ x^ |
| x + y |≤| x |+| y |
−| x |≤ x ≤| x |
−| y |≤ y ≤| y |
−(| x |+| y |) ≤ x + y ≤ | x |+| y | ,
por propiedad |^ x^ +^ y^ |≤|^ x^ |+|^ y^ | Propiedad 11: | x |=| y | ⇒ x = y ∨ x =− y Si x ≥ 0 ⇒ | x |= x y | y |= x ⇔ { y = x si y ≥ 0 y =− x si y < 0
Si x < 0 ⇒ | x |=− x y | y |=− x ⇔
{
y =− x si y ≥ 0
− y =− x si y < 0
Propiedad 12: √ x 2 =| x | Si x ≥ 0 ⇒ (^) √ x 2 = x y | x |= x Si x < 0 ⇒ (^) √ x 2 =− x y | x |=− x Propiedad 13: | x | 2 = x 2 Si x ≥ 0 ⇒ | x |= x y | x | 2 = x 2 Si x < 0 ⇒ | x |=− x y | x | 2 =(− x ) 2 = x 2 Ejercicios utilizando propiedades:
- |^ x −^7 |≤^2 ⇒^ −^2 ≤ x −^7 ≤^2 ⇒^5 ≤ x ≤^9
Solución: x^ ∈^ [^5 ,^^9 ]
- |^3 x^ +^2 |=^5
| 6 x − 2 |=| 3 x + 4 | ; | a |=| b | ⇒
a = b
− a = b
a =− b
− a =− b
6 x − 2 = 3 x + 4 ; 6 x − 3 x = 4 + 2 ; 3 x = 6 ; x = 2 ∨
− ( 6 x − 2 )= 3 x + 4 ; − 6 x + 2 = 3 x + 4 ;
− 6 x − 3 x = 4 − 2 ; − 9 x = 2 ; x =
Solución: x ∈ { − 2 9 , 2 }
- 4 ≤|^3 −^5 x^ |<^8. Planteo 4 ≤|^3 −^5 x^ |^ ∧^ |^3 −^5 x^ |<^8 Aplicando propiedades:
4 ≤| 3 − 5 x | ; 3 − 5 x ≥ 4 ∨ − ( 3 − 5 x ) ≥ 4
Intersección | 3 − 5 x |< 8 ; − 8 ≤ 3 − 5 x ≤ 8 Entornos: Se llama entorno de centro c y radio r, al intervalo abierto ( c − r ; c + r ). También pueden expresarse con ayuda de valor absoluto. Por ejemplo el intervalo de centro 0 y radio r, sería (− r ; r ) y expresado como valor absoluto sería | x |< r. Es decir, serían todos los números reales cuya distancia al 0 no supera las r unidades. Por ejemplo, el intervalo de centro 0 y radio 3 sería (-3;3). Observemos que cualquier número que esté dentro de ese intervalo se encuentra a una distancia menor que 3 unidades respecto del cero. Del mismo modo, | x − c |< r significa que estamos refiriéndonos a los números cuya distancia al centro a no supera las r unidades. Análogamente, podríamos pensar que los números cuya distancia al centro a se encuentre a más de r unidades se podría expresar | x − c |> r. Ejemplo 1: Expresar como valor absoluto los números cuya distancia a 5 sea menor o igual a 4 unidades. Evidentemente el centro es c=5 y el radio r=4, y el intervalo es (5-4;5+4), es decir (1;9). Es fácil comprobar que cualquier número que pertenezca al mismo está a menos de 4 unidades de 5, por ejemplo el número 7 está a 2 unidades. En valor absoluto es | x − 5 |< 4. Ejemplo 2: Expresar como valor absoluto los números que pertenecen a (− ∞; − 2 ) U ( 4 ; + ∞ ). En este caso estamos hablando de los números anteriores a -2 y superiores a 4. Es conveniente encontrar el punto medio entre ellos, simplemente como un promedio. El
f d Definición: Sea A^ ⊆^ R^ con^ A ≠ O^ , se dice que f es el ínfimo de A =( f , d ] (^) , si f es la mayor de las cotas inferiores, f puede o no pertenecer al conjunto A Ejemplos: Dado el siguiente conjunto B =[^ −^3 ,^^7 )^. Determinar el conjunto de cotas superiores e inferiores, supremo e ínfimo. Solución: Conjunto de cotas superiores x^ ∈^ (^ −∞^ ,^ −^3 ] Conjunto de cotas inferiores x^ ∈^ (^7 ,^ +∞^ )^. supremo x =^7 ; ínfimo x =−^3 SUMATORIA El símbolo sumatoria ∑^ se emplea para expresar en forma resumida la suma de varios términos. a) 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +.. .. ... ..+ 34 =∑ n = 1 34 n b)
2
- 2 2
- 3 2 +.. .. ... ..+ 46 2 =∑ i = 1 46 i 2 c) 2 + 4 + 6 + 8 +. .. .. ... .+ 24 =∑ n = 1 12 2 n d)
2
2
2
2
2
=∑ j = 1 8
j
2
2 j
Resolver: 1 ) (^) ∑ n = 3 8 n 2 n + 1 ; 2 ) (^) ∑ n = 3 8 2 n − 1 ; 3 ) (^) ∑ n = 3 8 2 n + 1 ; 4 ) (^) ∑ n = 3 8 2 n
PROPIEDADES DE LA SUMATORIA
Propiedad 1:
∑ i = 1 n ( ai −
bi )=∑ i = 1 n ai −
∑ i = 1 n bi
Propiedad 2:
∑ i = 1 n ( a^ ∗^ bi )=^ a ∗^ ∑ i = 1 n bi , a ∈ R
Propiedad 3:
∑ i = 1 n b = b + b + b + b + b + b +. ... .. ... .. .+ b = n b
Ejemplo:
1 ) (^) ∑ i = 1 n ( xi +^1 ) 2 =∑ i = 1 n ( x i^2
- 2 xi + 1 ) =∑ i = 1 n ( xi ) 2 +∑ i = 1 n 2 xi +∑ i = 1 n 1 = (^) ∑ i = 1 n ( xi ) 2
- (^2) ∑ i = 1 n xi + n
Ejercicios:
1 ) (^) ∑ i = 1 4 ( xi +^1 ) ;^^2 )^ ∑ i = 1 4 − 6 xi + 1 ; 3 ) (^) ∑ i = 1 7 ( i − x − 3 − i ) 4 ) (^) ∑ i = 1 5 i − 4 a i 3 ; 5 ) Calcular (^) ∑ n = 2 6 − 5 y (^) n − 7 si (^) ∑ n = 2 6 yn = 17
