Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Prepara tus exámenes
Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Prepara tus exámenes con los documentos que comparten otros estudiantes como tú en Docsity
Los mejores documentos en venta realizados por estudiantes que han terminado sus estudios
Estudia con lecciones y exámenes resueltos basados en los programas académicos de las mejores universidades
Responde a preguntas de exámenes reales y pon a prueba tu preparación
Consigue puntos base para descargar
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Comunidad
Pide ayuda a la comunidad y resuelve tus dudas de estudio
Descubre las mejores universidades de tu país según los usuarios de Docsity
Ebooks gratuitos
Descarga nuestras guías gratuitas sobre técnicas de estudio, métodos para controlar la ansiedad y consejos para la tesis preparadas por los tutores de Docsity
apuntes basicos del manejo del matlab para la solucion de metodos numericos
Tipo: Apuntes
1 / 90
Esta página no es visible en la vista previa
¡No te pierdas las partes importantes!
Departamento De Ciencias Básicas, Unidades Tecnológicas de Santander.
Textos Universitarios
x
y
P(x)
x 1
P 1 (x)
x 2
P 2 (x)
x 3
P 3 (x)
x 4
Pi(x)
xn− 1
Pn(x)
In
xn
P(x) = P 1 (x) ⊕ P 2 (x) ⊕ P 3 (x) ⊕ · · · ⊕ Pn(x)
Introducción
El Análisis Numérico es una rama de las matemáticas que, mediante el uso de algoritmos iterativos, obtiene soluciones numéricas a problemas en los cuales la matemática simbólica (o analítica) resulta poco eficiente y en consecuencia no puede ofrecer una solución. En particular, a estos algoritmos se les denomina métodos numéricos.
Por lo general los métodos numéricos se componen de un número de pasos finitos que se ejecutan de man- era lógica, mejorando aproximaciones iniciales a cierta cantidad, tal como la raíz de una ecuación, hasta que se cumple con cierta cota de error. A esta operación cíclica de mejora del valor se le conoce como iteración.
El análisis numérico es una alternativa muy eficiente para la resolución de ecuaciones, tanto algebraicas (polinomios) como trascendentes teniendo una ventaja muy importante respecto a otro tipo de métodos: La repetición de instrucciones lógicas (iteraciones), proceso que permite mejorar los valores inicialmente considerados como solución. Dado que se trata siempre de la misma operación lógica, resulta muy perti- nente el uso de recursos de cómputo para realizar esta tarea.
El desarrollo y el auge del uso del análisis numérico corren en forma paralela al desarrollo tecnológico de la computación. Las computadoras (y en consecuencia también las calculadoras) están facultadas para realizar una multitud prácticamente infinita de operaciones algebraicas en intervalos de tiempo muy pequeños; esto las convierte en la herramienta ideal para la aplicación de los métodos numéricos. De hecho, el análi- sis numérico resulta ser la manera natural de resolver modelos matemáticos (de naturaleza algebraica o trascendente tanto para la matemática continua como para la discreta) a través de la computadora.
Por otra parte, como consecuencia directa de la aplicación de soluciones numéricas y del crecimiento de recursos computacionales, se ha logrado también la incorporación de la simulación matemática como una forma de estudio de diversos sistemas.
Sin embargo debe haber claridad en el sentido de que el análisis numérico no es la panacea en la solución de problemas matemáticos.
Consecuencia de lo anteriormente dicho consiste en que, por lo general, los métodos numéricos arrojan soluciones numéricas. Si en determinado caso se desea obtener soluciones analíticas debería recurrir a los procedimientos algebraicos acostumbrados. Por otra parte, las soluciones numéricas resultan ser aproxi- maciones, es decir, en pocas ocasiones son soluciones exactas.
Como se analizaría en su oportunidad, las soluciones numéricas conllevan una cota de error. Este error, que si bien puede ser tan pequeño como los recursos de cálculo lo permitan, siempre está presente y debe considerarse su manejo en el desarrollo de las soluciones requeridas.
Es muy posible que se conozca de diversos sistemas de cómputo que proporcionen soluciones analíticas. Estos sistemas no sustituyen a los métodos numéricos, de hecho son un complemento en el proceso integral del modelado de sistemas físicos que son el elemento fundamental de la práctica de la Ingeniería.
Errores Y Representación en
Punto Flotante
1.1 Errores
Una actividad frecuente del profesional de la Ingeniería consiste en trabajar con modelos matemáticos rep- resentativos de un fenómeno físico. Estos modelos son abstracciones matemáticas que distan mucho de representar exactamente al fenómeno bajo estudio debido principalmente a las carencias y dificultades que aún posee el humano de la comprensión total de la naturaleza.
Como consecuencia de esto existen diferencias entre los resultados obtenidos experimentalmente y los em- anados propiamente del modelo matemático.
A las diferencias cuantitativas entre los dos modelos se les denomina Errores.
Debemos conformarnos siempre, en la práctica de la ingeniería y de las ciencias, con una solución aproxi- mada a un problema por las siguientes razones:
Por lo anterior, humildemente tenemos que aceptar que siempre se tendrán presentes errores, estos pueden clasificarse en:
Análisis Numérico
4 Errores Y Representación en Punto Flotante
El Error Real se define como la diferencia entre el valor real Vr y una aproximación a este valor Va:
Et = V r −Va
Definición 1.
El error relativo se define como el cociente del Error Real entre el valor real V r (sí V r 6 = 0 ):
Er =
Vr −Va Vr
Definición 1.
El error porcentual es simplemente el Error Relativo expresado en por ciento (%).
Erp =
Vr −Va Vr
Definición 1.
También es usual emplear el valor absoluto en los parámetros anteriores, en cuyo caso se denominan re- spectivamente Error Real Absoluto, Error Relativo Absoluto y Error Porcentual Absoluto.
El concepto de cifras significativas se ha desarrollado para designar formalmente la confiabilidad de un valor numérico.
El número de cifras significativas es el número de dígitos que se puede usar con plena confianza.
Definición 1.
Por ejemplo podemos calcular un número irracional con varias cifras, pero de ellas no todas, sobre todo las últimas pueden tomarse con plena confianza de que son correctas. Por otro lado, los ceros no siempre son cifras significativas ya que pueden usarse sólo para ubicar al punto decimal. Por ejemplo los sigu- ientes números tienen todos 4 cifras significativas: 0. 00001985 , 0. 0001985 , 0. 001985 , 1985 , 19. 85. Para ase- gurar que un cero nos represente una cifra significativa, es común emplear la notación científica. Por ejem- plo los siguientes números tienen 3, 4 y 5 cifras significativas: 4. 53 × 10 −^5 , 4. 530 × 10 −^5 y 4. 5300 × 10 −^5. También se suele poner explícitamente los ceros. Los siguientes números tienen 5 cifras significativas: 19850 , 0. 019850 , 19. 850.
Las cifras no significativas aparecen como resultado de los cálculos y no tienen significado alguno. Las cifras significativas de un número vienen determinadas por su error. Son cifras significativas aquellas que ocupan una posición igual o superior al orden o posición del error. Por ejemplo, consideremos una medida de longitud que arroja un valor de 5432. 4764 m con un error de 0. 8 m. El error es por tanto del orden de décimas de metro. Es evidente que todas las cifras del número que ocupan una posición menor que las décimas no aportan ninguna información. En efecto, ¿Qué sentido tiene dar el número con precisión de diezmilésimas si afirmamos que el error es de casi 1 metro? Las cifras significativas en el número serán por tanto las que ocupan la posición de las décimas, unidades, decenas, etc, pero no las centésimas, milésimas y diezmilésimas.
Análisis Numérico
5
En un trabajo o artículo científico siempre se debe tener cuidado con que dichas cifras sean adecuadas. Para conocer el número correcto de cifras significativas se siguen las siguientes normas:
Consideraciones:
Cuando se expresa un número debe evitarse siempre la utilización de cifras no significativas, puesto que puede suponer una fuente de confusión. Los números deben redondearse de forma que contengan sólo cifras significativas. Se llama redondeo al proceso de eliminación de cifras no significativas de un número.
Las reglas que emplearemos en el redondeo de números son las siguientes:
Si redondeamos 3. 678 a tres cifras significativas, el resultado es 3. 68 , que está más cerca del original que 3. 67. En cambio si el número a redondear, también a tres cifras, fuera 3. 673 , quedaría 3. 67 que es más próximo al original que 3. 68. Para redondear 3. 675 , según la tercera regla, debemos dejar 3. 68.
Ejemplo 1.
Las dos primeras reglas son de sentido común. La tercera es un convenio razonable porque, si se sigue siem- pre, la mitad de las veces redondeamos por defecto y la mitad por exceso. Cuando los números a redondear
Análisis Numérico
7
Cuando expresamos la exactitud de un resultado se expresa mediante el error absoluto que es la diferencia entre el valor experimental y el valor verdadero.
Precisión Alta Baja
Exactitud
Baja
Alta
Al realizar los cálculos que todo método numérico o analítico requiere debemos de redondear. Para re- dondear se emplea usualmente:
El redondeo truncado consiste en truncar el resultado de una operación al número de cifras significativas que se estén utilizando.
Definición 1.
Sí redondeamos 79 a 4 cifras significativas tenemos 0. 7777.
Ejemplo 1.
Análisis Numérico
8 Errores Y Representación en Punto Flotante
El redondeo simétrico consiste en aumentar en uno la última cifra retenida sí la primera cifra descartada esta entre 5 y 9, o dejarla igual sí la primera cifra descartada esta entre 0 y 4.
Definición 1.
Sí redondeamos 79 a 4 cifras significativas tenemos 0. 7778.
Ejemplo 1.
Se supone que 13 + 23 = 1. En la práctica puede no ser así. Sí Realizamos la suma empleando únicamente 4 cifras significativas y usamos ambos tipos de redondeo. Se obtiene:
3333 + 0. 6666 = 0. 9999 (Redondeo truncado)
3333 + 0. 6667 = 1. 000 (Redondeo simétrico)
Ejemplo 1.
Puede demostrarse que por lo general el redondeo simétrico lleva a resultados más precisos.
1.2 Representación En Punto Flotante
La unidad fundamental mediante la cual se representa la información en una computadora se llama pal- abra. Esta es una entidad que consiste en una cadena de dígitos binarios o bits. Por lo común los números son guardados en una o más palabras.
Las cantidades fraccionarias generalmente se representan en la computadora usando la forma de punto flotante. Con este método, el número se expresa como una parte fraccionaria, llamada mantisa o signifi- cando y una parte entera, denominada exponente o característica, esto es,
m × be
En donde m es la mantisa, b la base y e la característica. En la representación de un número en una palabra se debe tener en cuenta que el primer bit se reserva para el signo del número (0 positivo, 1 negativo), la siguiente serie de bits para la característica o exponente con signo y los últimos bits para la mantisa.
Análisis Numérico
10 Errores Y Representación en Punto Flotante
Para escribir el número 101110 , 0101011101000011111000011111000100112 en el estándar IEEE 754 con precisión simple, exponente en Exceso a 2 n−^1 − 1 y mantisa en Signo Magnitud, primero hay que normalizarlo:
El exponente, en Exceso a 2 n−^1 − 1 , será: 510 + ( 28 − 1 − 1 ) 10 = 510 + ( 27 − 1 ) 10 = 510 + ( 128 − 1 ) 10 = 13210 ≡ (^100001002)
De la mantisa se cogen los bits 23 bits más significativos:
El resto de bits no se pueden representar, ya que, no caben en la mantisa. Sin embargo, cuando la mantisa se normaliza situando la coma decimal a la derecha del bit más significativo, dicho bit siempre vale 1. Por tanto, se puede prescindir de él, y coger en su lugar un bit más de la mantisa. De esta forma, la precisión del número representado es mayor. Así, los bits de la mantisa serán:
Al bit omitido se le llama bit implícito. Por otra parte, el bit de signo vale 0, ya que, el número es positivo. En consecuencia, el número se puede representar como:
Así pues,
101110 , 0101011101000011111000011111000100112 ≈ 42395 D 0 FHEX
En este caso, los números no son exactamente iguales, ya que, con precisión simple no se han podido representar todos los bits de la mantisa.
Ejemplo 1.
Análisis Numérico
11
Dado el número 3 E (^400000) HEX del estándar IEEE 754 con precisión simple, exponente en exceso a 2 n−^1 − 1 y mantisa en Signo Magnitud con bit implícito, para averiguar a qué número representa en base 10, se pueden realizar los siguientes pasos:
Signo Exponente Mantisa
1 , 1 × 2 −^3
1 , 1 × 2 −^3 = 0 , 00112 = ( 2 −^3 + 2 −^4 ) 10 = 0 , 12510 + 0 , 062510 = 0 , (^187510)
y la segunda:
Por tanto,
Ejemplo 1.
Análisis Numérico
13
63 62 · · · 52 51 · · · 0 0 10000000011 0011100100000000000000000000000000000000000000000000 Signo Exponente Mantisa
0100 0000 0011 0011 1001 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 4 0 3 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
De tal forma que,
19 , 562510 = 10011 , 10012 = 1 , 00111001 × 24 ≡ 4033 A (^00000000000) HEX
Ejemplo 1.8 (Continuación).
Tanto en precisión doble como en precisión simple, existen algunos casos especiales que dependen de los valores del signo, del exponente y de la mantisa:
Signo(s) Exponente(e) Mantisa(m) Significado Positivo (0) Todo unos (11...1) Todo ceros (00...0) Más Infinito (+∞) Negativo (1) Todo unos (11...1) Todo ceros (00...0) Menos Infinito (−∞) 0 ó 1 Todo unos (11...1) Distinta de todo ceros No es un número (Not a Number, NaN) 0 ó 1 Todo ceros (00...0) Todo ceros (00...0) Representa al Cero (0) 0 ó 1 Todo ceros (00...0) Distinta de todo ceros Número muy pequeño cercano al cero (0)
Los dos últimos casos merecen especial atención, ya que, cuando todos los bits del exponente son ceros (00...0) , esto quiere decir que no se está utilizando bit implícito. Si, además, la mantisa es todo ceros (00...0) , el número representado es el cero (0), pero si la mantisa es distinta de todo ceros, el número que se está representando es muy pequeño, de tal forma que, el exponente valdrá -126 ó -1022 , dependiendo de si el número está escrito en precisión simple o doble, respectivamente.
Dado el número 805 C (^0000) HEX del estándar IEEE 754 con precisión simple, exponente en exceso a 2 n−^1 − 1 y mantisa en Signo Magnitud con bit implícito, para averiguar a qué número representa en base 10, se pueden realizar los siguientes pasos:
Ejemplo 1.
Análisis Numérico
14 Errores Y Representación en Punto Flotante
31 30 · · · 23 22 · · · 0 1 00000000 10111000000000000000000 Signo Exponente Mantisa
− 0 , 10111 × 2 −^126
Ejemplo 1.9 (Continuación).
En las dos tablas siguientes se resumen los cálculos que hay que realizar para deducir el valor en base 10 de un número entero escrito en el estándar IEEE 754 con precisión simple o doble.
Signo(s) Exponente(e) Mantisa(m) Significado 0 ó 1 0 < e < 255 Indiferente (− 1 )s^ · 1 .m · 2 e−^127 0 e = 255 m = 0 (+∞) 1 e = 255 m = 0 (−∞) 0 ó 1 e = 255 m 6 = 0 NaN 0 ó 1 e = 0 m = 0 0 0 ó 1 e = 0 m 6 = 0 (− 1 )s^ · 0 .m · 2 −^126
Cálculo del valor en base 10 de un número real escrito en el estándar IEEE 754 con precisión simple.
Análisis Numérico
Solución de Ecuaciones No
Lineales
2.1 Introdución a la Solución de Ecuaciones No Lineales En Una Variable
Sea f (x), una función dada. Un número real α se dice que es una raíz de la ecuación f (x) = 0 , o un cero de la función f (x) si f (α) = 0.
Definición 2.
Dada una ecuación f (x) = 0. Un número α se dice que es una raíz de multiplicidad m (m un entero positivo) de la ecuación f (x) = 0 , si f (α) = 0 , y para
x 6 = α, f (x) = (x − α)mh(x), con (^) xlim→α h(x) 6 = 0
Si m = 1 , la raíz se dice que es simple.
Definición 2.
Supongamos que la función f (x) tiene sus dos primeras derivadas continuas en un intervalo [a, b] que contiene a un número α. Entonces α es una raiz simple de la ecuación f (x) = 0 si y solo si f (α) = 0 y f ′(α) 6 = 0.
Teorema 2.
El teorema de Bolzano tiene una interesante aplicación en la localización de las raices o ceros de una función continua.
Si una función f (x) es continua en un intervalo cerrado [a, b] y f (a) y f (b) son de distinto signo, entonces existe por lo menos un punto entre a y b para el cual f (c) = 0.
Teorema 2.2 (de Bolzano)
Análisis Numérico
17
x
y
a c (^) b f (a)
f (b)
f (x)
Geométricamente, el teorema establece que si dos puntos (a, f (a)) y (b, f (b)) de la gráfica de una función continua están situados en diferentes lados del eje x, entonces la gráfica intersecta al eje en algún punto entre a y b. Por supuesto que pueden haber varias intersecciones.
Comprobar que la ecuación x^3 + x − 1 = 0 tiene al menos una solución real en el intervalo [ 0 , 1 ].
Consideramos la función f (x) = x^3 + x − 1 , que es continua en [ 0 , 1 ] por ser polinómica. Estudiamos el signo en los extremos del intervalo:
f ( 0 ) = − 1 < 0 f ( 1 ) = 1 > 0
Como los signos son distintos se cumple el teorema de Bolzano, por tanto existe un c pertenece ( 0 , 1 ) tal que f (c) = 0. Lo que demuestra que tiene una solución en ese intervalo.
Ejemplo 2.
2.2 Métodos de Solución de Ecuaciones No Lineales En Una Variable
Se considera un intervalo [a, b] donde la función f (x) cambia de signo, es decir f (a) · f (b) < 0. El método consiste en ir dividiendo el intervalo [a, b] por la mitad de la siguiente forma:
Se toma el punto medio a+ 2 b. Si f ( a+ 2 b) = 0 ya hemos encontrado la raíz x = a+ 2 b. En caso contrario, si f ( a+ 2 b) · f (b) < 0 entonces hacemos a = a+ 2 by volvemos a subdividir el nuevo intervalo [a, b]. Si, por el con- trario, f (a) · f ( a+ 2 b) < 0 , entonces hacemos b = a+ 2 by volvemos a empezar. Las sucesivas subdivisiones del intervalo [a, b] van aproximando la raíz.
Análisis Numérico
