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CONTENIDO
Pág. 8.0 Métodos estadísticos no paramétricos 8-
8.1 Prueba de la mediana 8-
8.2 La prueba de signos 8-
8.3 Prueba de rachas de Wald- Wolfwitz 8-
8.4 Prueba de rangos y signos de Wilcoxon 8-
8.5 Prueba de suma de rangos de Wilcoxon 8-
8.6 Prueba de Mann- Whitney 8-
8.7 Prueba de Kruskal Wallis 8-
8.8 Problemas de aplicación de métodos no parametricos 8-
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS 8-
ANEXO A8. Métodos no paramétricos de correlación lineal simple y bondad del ajuste (^) 8-
ANEXO B8. Valores críticos de la prueba de rachas de Wald- Wolfwitz 8-
ANEXO C8 Valores críticos de la prueba de rangos y signos de Wilcoxon 8-
ANEXO D8 Valores críticos de la prueba de suma de rangos de Wilcoxon- Mann-Withney 8-
8.0 METODOS ESTADÍSTICOS NO PARAMÉTRICOS
Los métodos estadísticos paramétricos suponen que los datos que se analizan siguen una distribución normal (Gaussiana). La validez de esta hipótesis se basa en el teorema central del límite, que postula que la distribución muestral de la media puede ser aproximadamente normal aunque la población de referencia tenga una distribución muy diferente. La aproximación mejora a medida que el tamaño de la muestra aumenta. Con frecuencia se presentan a los químicos analistas situaciones donde no pueden asumirse los supuestos requeridos por desconocerse la distribución de la variable estudiada, o bien, por ser la muestra muy pequeña de manera que incluso el teorema central del límite sería de escasa relevancia. O bien, aunque se conozca la distribución de la variable y sea válido teóricamente hacer supuestos sobre la distribución y sus parámetros, no es razonable utilizar una prueba paramétrica ya que hay poca certeza de que se cumplan en este conjunto de datos. También puede ocurrir que la variable no sea continua por lo que no se cumplen las restricciones establecidas para las pruebas paramétricas. En cualquiera de los casos anteriores hay que buscar técnicas alternativas que permitan darle solución a estas situaciones de forma eficiente. Surge así la necesidad de desarrollar una serie de técnic as estadísticas que tengan un mínimo de restricciones. A estas técnicas se les conoce como: Métodos no paramétricos. Según WONNACOTT (1973) existen dos indicaciones para preferir las pruebas no paramétricas:
- Cuando la prueba clásica correspondiente no es válida.
- En aplicaciones en donde la prueba clásica es razonablemente válida, pero un estimador no paramétrico puede ser más eficiente.
Entre las ventajas del uso de métodos no paramétricos se encuentran las siguientes (PRIA, 2001, cap. 1):
- Tienen mayor eficiencia que los métodos paramétricos en distribuciones asimétricas, o sea cuando hay valores atípicos o datos aberrantes.
- Tienen validez en el sentido de que su nivel de confiabilidad es realmente el especificado en la mayoría de las pruebas.
una prueba, que en general, se refiere al aumento porcentual del tamaño de muestra que se necesita para obtener los mismos resultados con una prueba X, no tan poderosa como otra que es la prueba Y, que es la más potente que se conoce para resolver un problema específico cuando se cumplen los supuestos para efectuar la misma. La potencia-eficiencia de la prueba X puede calcularse de la forma siguiente (PRIA, 2001, cap. 1):
Potencia – Eficiencia de la prueba X NN x 100
x
= Y
En donde NY es el tamaño de muestra requerido para la prueba Y, y, NX el tamaño de muestra requerido para la prueba X. Existe una gran variedad de pruebas no paramétricas tanto para el análisis de variables cualitativas como cuantitativas. En el cuadro 8.1 se presenta un listado de dichas pruebas y de su aplicación. En las secciones de la 8.1 a la 8.7 se describen con detalle las pruebas no paramétricas asociadas a variables de tipo cuantitativo de mayor aplicación en análisis químico. Además de las pruebas expuestas en la tabla 8.1, existen pruebas no paramétricas para correlación y análisis de regresión, cuyas bases se presentan en el anexo A8.
8.1 PRUEBA DE LA MEDIANA
Esta prueba permite determinar si dos muestras independientes difieren con relación a sus medianas, o sea permite determinar si dos muestras independientes provienen de poblaciones con la misma mediana siempre que la variable esté al menos en escala ordinal (PRIA, 2001, cap. 1). Existe una generalización de esta prueba que permite la comparación de las medianas de tres o más muestras independientes que no será objeto de estudio en esta sección. La hipótesis a probar es:
Ho: X ~ 1 = X ~ 2
H 1 : X ~ 1 X ~ 2
En donde X ~ 1 y X ~ 2 representan las medianas de las dos muestras que se están
comparando.
CUADRO 8.1 DESCRIPCION DE PRUEBAS NO PARAMETRICAS
PRUEBA TIPO DE VARIABLE APLICACION
Prueba χχ^2 de independencia (^) Cualitativa Esta prueba permite medir la significación de la asociación entre dos variables de clasificación.
Prueba χχ^2 de homogeneidad Cualitativa
Cuando se tienen varias muestras y se desea determinar si son homogéneas con relación a la distribución en las mismas de una variable cualitativa.
Prueba Kolmogorov-Smirnov Cuantitativa
Es una prueba no paramétrica que se utiliza para diferencias entre distribuciones acumuladas, es, pues, una prueba de bondad de ajuste.
Prueba de la mediana Cuantitativa
Esta prueba permite determinar si dos muestras independientes difieren con relación a sus medianas, o sea permite determinar si dos muestras independientes provienen de poblaciones con la misma mediana.
Prueba de signos Cuantitativa
Esta prueba permite la comparación de la mediana de una serie de datos con un valor especificado. También permite indicar la existencia de tendencias.
Prueba de rangos y signos de Wilcoxon
Cuantitativa
Permite probar la aleatoriedad de una secuencia de datos. También permite probar la simetría de una distribución. Otra aplicación de esta prueba es comparar la distribución de una serie de datos con un valor especificado.
Prueba de la suma de rangos de Wilcoxon Cuantitativa
Constituye la base para el resto de pruebas que utilizan rangos y permite determinar si dos muestras proceden de la misma distribución, las muestras deben de ser del mismo tamaño y no necesariamente independientes.
Prueba de U-Man Whitney Cuantitativa
Esta prueba se utiliza para resolver el mismo caso que resuelve la prueba de suma de rangos de Wilcoxon con muestras no necesariamente del mismo tamaño.
Prueba de Kruskal Wallis Cuantitativa
Es una generalización de la prueba de suma de rangos de Wilcoxon, permitiendo comparar más de dos muestras con el propósito de conocer si proceden de la misma población o si hay diferencias entre las medidas de tendencia central de más de dos poblaciones.
Este estadístico bajo el supuesto de que no existen diferencias entre las medianas de ambas poblaciones se distribuye χ^2 con un grado de libertad.
Si χ 2 o >χ^2 tabulada con un grado de libertad para un nivel de significación determinado, se
rechaza la hipótesis nula. Al usar el estadígrafo χ^2 hay que tener en cuenta que se deben cumplir las restricciones para la prueba χ^2. En este caso, como hay una tabla de contingencia de 2 x 2, debe cumplirse que todos los valores esperados sean mayores o iguales a 5, en caso de no cumplirse esta restricción se deberá utilizar la prueba de las probabilidades exactas de Fisher (PRIA, 2001, cap. 1). Según SIEGEL y MOOD (1954) se ha demostrado que si la prueba de la mediana se aplica a datos que pueden analizarse adecuadamente por una prueba paramétrica más poderosa, la prueba t en éste caso, su potencia -eficiencia sería de cerca de un 95% cuando n1 + n 2 =
- Este valor iría disminuyendo a medida que aumenta el tamaño muestral llegando a tener una eficiencia asintótica eventual de 63%.
8.2 LA PRUEBA DE SIGNOS
La prueba de signos es uno de los métodos no paramétricos más simples. La prueba t supone que los datos se distribuyen normalmente. La prueba del signo prescinde de tal hipótesis y es mucho más fácil de realizar. Se puede utilizar de diferentes formas, la más simple se describe a continuación: Para probar la hipótesis nula μ = μo contra una alternativa apropiada, basándose en una muestra aleatoria de tamaño n , se reemplaza cada valor muestral mayor que μo por un signo más y cada valor muestral menor que μo por un signo menos (MILLER y FREUND, 1986, cap. 10). Se ignoran por completo aquellos valores que son iguales a μo. Para contrastar si la preponderancia de signos menos, es significativa se utiliza la ley de la binomial acumulada. Esta ley establece que la probabilidad de que aparezcan r signos menos entre n signos está dada por (MILLER y MILLER, 1993, cap. 6):
p ( r ) = nCr ρ rqn − r donde:
nCr : indica el número de combinaciones de r elementos de un total de n elementos. p : es la probabilidad de que aparezca un signo menos en uno de los resultados. q : es la probabilidad de que no aparezca un signo menos en uno de los resultados, es decir, q = 1 – p****.
Si la probabilidad experimental es menor que un nivel de significación α, la hipótesis nula debe rechazarse. Es decir, existe evidencia como para rechazar que los datos proceden de una población con μ = μo (MILLER y MILLER, 1993, cap. 6). La prueba de signos puede utilizarse también como una alternativa no paramétrica de la prueba t por parejas para comparar dos grupos de resultados para las mismas muestras. Así, si se examinan n muestras con cada uno de los dos métodos, A y B se puede contrastar si los dos proporcionan lecturas significativamente diferentes (MILLER y MILLER, 1993, cap. 6). Calculando para cada muestra la diferencia en los resultados, es decir (MILLER y MILLER, 1993, cap. 6):
[ ( resultado obtenidoporelmétodoA )−( resultadoobtenidoporelmétodoB )]
La hipótesis nula será que los dos métodos no proporcionan resultados significativamente diferentes. En la práctica esto significará que la probabilidad de obtener un signo más (o un signo menos) es 0.5. La probabilidad o frecuencia de un número signos positivos sigue una distribución binomial de parámetros n, p = 0.5 (MILLER y MILLER, 1993, cap. 6). El resumen de la prueba del signo para comparar dos poblaciones se presenta en el cuadro 8.2. Cuando el número de pares en un experimento de diferencias por parejas es grande, se puede aproximar la distribución de probabilidad para x, el número de veces que xA es mayor que xB, por una distribución normal. Por lo tanto, con p = P ( XA > XB ) se puede
probar HO : p = 0.5 utilizando la prueba para una proporción binomial. (Ver cuadro 3.14, capítulo 3). Otro uso de la prueba de signos es indicar una tendencia. En esta prueba al primer resultado del primer grupo se le resta el primer resultado del segundo grupo, al segundo
las observaciones generan signos positivos o negativos, si no también si éstos aparecen en una secuencia aleatoria. En el caso de ajuste de curvas, una secuencia no aleatoria de signos positivos y negativos conducirá a un número más pequeño de rachas que una aleatoria. El método de Wald – Wolfwitz prueba si el número de rachas es suficientemente pequeño para que se rechace la hipótesis nula de una distribución aleatoria de los signos (MILLER y MILLER, 1993, cap. 6). El número de rachas en los datos experimentales se compara con los números de la tabla del anexo B8, de “prueba de rachas de Wald – Wolfwitz”, que se presenta para un nivel de significación α. En esta tabla los valores de N representan el número de signos positivos y M es el número de signos negativos. Si el número experimental de rachas es más pequeño que el valor tabulado, entonces se puede rechazar la hipótesis nula. En relación a la prueba de Wald-Wolfwitz, existen otros puntos de interés, por ejemplo, permite comparar la mediana de una serie de datos con un valor especificado, al crear una serie de signos a través de la comparación de cada valor de la serie con el valor especificado y asignando un signo negativo a los datos inferiores al valor especificado y un signo positivo a los superiores a dicho valor. Ignorando el número de ceros, se determina el número de rachas obtenidas y se compara su valor con el propuesto en la tabla del anexo B8. También cabe resaltar que se puede encontrar números inusualmente grandes de rachas cortas, así como también números inusualmente pequeños de rachas largas. Así por ejemplo, como en el caso de 6 signos positivos y 6 signos negativos en el orden + - + - +
- -, se podría sospechar que existe una secuencia no aleatoria. La tabla muestra que, con N = M = 6 , un total de 11 ó 12 rachas indica que la hipótesis nula de un orden aleatorio se debería rechazar y sospechar una cie rta periodicidad en los datos (MILLER y MILLER, 1993, cap. 6).
8.4 PRUEBA DE RANGOS Y SINGOS DE WILCOXON
La importancia de la prueba de signos radica en los supuestos mínimos que se hacen sobre los datos experimentales. No se supone que la población de la cual se toma la muestra sea normal, ni incluso que sea simétrica. La única información a priori necesaria es el valor de la mediana. Una cierta desventaja de la prueba de signos es que no utiliza
toda la información disponible. Sólo es necesario saber si una medición individual es más grande o más pequeña que la mediana, y la magnitud de esta desviación no se utiliza en absoluto (MILLER y MILLER, 1993, cap. 6). En muchos casos un analista tendrá suficientes razones para creer que sus mediciones se distribuyen simétricamente pero no desea suponer que siguen una distribución normal. Este supuesto de datos simétricos, y la consecuencia de que la media y la mediana de la población sean iguales, permite desarrollar pruebas de significación más potentes. Wilcoxon contribuyó con importantes avances al respecto, y su prueba de rangos y signos tienen varias aplicaciones (MILLER y MILLER, 1993, cap. 6). La comparación de la distribución de una serie de datos con un valor de referencia se realiza mediante la obtención de las diferencias entre cada dato de la muestra y el valor de referencia (conservando los signos). Los valores absolutos de estas diferencias se ordenan posteriormente de menor a mayor y a continuación se incorporan sus signos, los números entonces se jerarquizan, en este proceso se mantienen sus signos pero se les asignan números que indican su orden o rango. Luego, asignando con X a la suma de los rangos positivos y con Y a la suma de rangos negativos, se selecciona la menor de estas cifras ( X ó Y ) y se toma como el estadístico de contraste. El teorema binomial dará la probabilidad de que aparezca este número. Si los datos provienen de una población con una mediana igual al valor especificado, se esperaría que la suma de rangos positivos y negativos sea aproximadamente igual. La probabilidad de que aparezca una suma concreta está dada en la tabla que se presenta en el anexo C8. En esta prueba se rechaza la hipótesis nula si el valor tabulado es menor o igual que el valor experimental, es decir, situación opuesta de la observada en la mayoría de las pruebas de significación. Una ventaja importante de la prueba de rangos y signos es que también se puede utilizar para datos por parejas, ya que las diferencias entre los datos de las dos series se pueden transformar en el tipo de datos como en el caso anterior. De esta manera se puede utilizar este método no paramétrico como una alternativa a la prueba t por parejas (MILLER y MILLER, 1993, cap. 6). Si no hay diferencia entre las dos series de datos, entonces se esperaría que las diferencias entre los resultados para cada muestra, [(resultado muestra 1) – (resultado muestra 2)] deberán distribuirse en torno a cero. Cuando hay posiciones empatadas, el problema se resuelve asignando posiciones promedio a los valores empatados, con signos
CUADRO 8.3 APLICACIÓN DE LA REGLA DE DECISION PARA LA PRUEBA DE SUMA DE RANGOS DE WILCOXON Hipótesis Regla de decisión rechazar Ho si:
α α más usados Ho : MeB= MeA
H 1 : MeB ≠^ MeA
To ≤^ TI
ó
To ≥ TS
Ho : MeB ≥ MeA
H 1 : MeB < MeA
To ≤ TI 0.
Ho : MeB ≤ MeA
H 1 : MeB > MeA
To ≥ TS 0.
Donde TI y TS son los valores obtenidos en la tabla de Valores críticos para la estadística de prueba de la Suma de Rangos de Wilcoxon (ver anexo D8), considerando un tamaño de nA y nB y un nivel de significación dado. Esta tabla sirve para trabajar cuando el tamaño de la muestra llega hasta 25 la muestra menor y 50 la mayor. MeB y MeA representan los parámetros de tendencia central de las distribuciones de ambas muestras. Cuando el tamaño de la muestra menor excede las 25 observaciones puede trabajarse con la aproximación a la distribución normal (PRIA, 2001, cap. 3). Otra forma de rechazar la hipótesis nula es cuando se está trabajando con un programa estadístico que calcule To y p que es la probabilidad de error de tipo I asociada a ese valor. En éste caso si el valor de p es menor que el α prefijado se rechaza la hipótesis nula. Deben aclararse los aspectos siguientes (PRIA, 2001, cap. 3):
- Si nA = nB se seleccionará el estadígrafo Σ rangos de la muestra tomando en consideración las hipótesis alternativas, de la forma siguiente:
Si la Hipótesis Alternativa es: Se seleccionará la muestra: H 1 : MeB ≠ MeA Cualquiera de las dos tiene igual solución. H 1 : MeB < MeA To = la que tenga mayor suma de rangos. H 1 : MeB > MeA To = la que tenga menor suma de rangos.
- Las hipótesis deben plantearse tomando como primer parámetro de referencia para contrastar el de la muestra más pequeña, en el caso de que sean de igual tamaño podrán plantearse de cualquier forma.
- En caso de existir observaciones de igual valor se asignarán rangos promedios, por ejemplo si los tres primeros valores son:
VALORES 15 15 15 LUGARES 1 2 3 RANGOS (1+2+3)/3 = 2 (1+2+3)/3 = 2 (1+2+3)/3 = 2
- Potencia - Eficiencia: Según Siegel, si la prueba de la Suma de Rangos de Wilcoxon se aplica a datos que pueden analizarse adecuadamente por una prueba paramétrica más poderosa, la prueba t de Student en éste caso, su potencia -eficiencia sería de cerca de un 95.5% y se acerca a 95% para muestras de tamaño moderado, por lo que es una excelente alternativa ante la prueba t. Debe destacarse que esta prueba es más potente que la prueba de la Mediana, pues esta última utiliza solamente la información de cómo están ubicadas las observaciones de cada muestra con relación al valor de la mediana general , en cambio la prueba de suma de rangos de Wilcoxon utiliza además, la información relativa a la ubicación de cada observación en las muestras, que se resume en el estadígrafo de la suma de rangos.
8.6 PRUEBA MANN-WHITNEY
Otra prueba que se utiliza para resolver el mismo caso que resuelve la prueba de la Suma de Rangos de Wilcoxon es la prueba de Mann-Whitney. El procedimiento seguido en ambas es muy parecido. Las hipótesis que se contrastan son las mismas y el estadígrafo utilizado se parece aunque por supuesto no es igual. A continuación se describe el procedimiento para el contraste de hipótesis mediante el uso de la prueba de Mann- Whitney: Inicialmente se identifican ambas muestras A y B, con M y N observaciones
respectivamente, donde se cumple que M ≥^ N. Todas las observaciones de ambas
muestras se ordenan, como si fuera una sola muestra, en orden ascendente y se asignan los rangos a los valores ordenados. Posteriormente, se identifican los valores que
8.7 PRUEBA DE KRUSKAL WALLIS
Cuando se presenta el problema de comparar más de dos muestras con el propósito de conocer si proceden de la misma población, o bien, comparar si existen diferencias entre las medidas de tendencia central de más de dos poblaciones y no se justifica la suposición de normalidad y de igualdad de varianzas, el químico analista podrá recurrir a un procedimiento alternativo al de la prueba F del análisis de la variancia y que no depende de esta suposición. Kruskal y Wallis (1952) desarrollaron un procedimiento como alternativa para dar solución a este problema, conocido como la prueba de Kruskal – Wallis. La prueba de Kruskal–Wallis constituye una alternativa no paramétrica al análisis de varianza usual y se considera como una extensión del procedimiento de suma de rangos de Wilcoxon como se verá en su desarrollo (MILLER y FREUND, 1989, cap. 10). La hipótesis nula para la prueba de Kruskal-Wallis es que no existe diferencia entre los tratamientos (μ 1 = μ 2 = …. = μa), mientras que la hipótesis alternativa es que exista diferencia entre al menos un par de tratamientos ((μi ≠ μj). Para realizar la prueba de Kruskal–Wallis los datos pueden agruparse como se presenta en la tabla a continuación (MONTGOMERY, 1991, cap. 4):
Repeticiones Tratamientos A B C … 1 X 1 A X 1 B X 1 C … 2 X (^) 2 A X (^) 2 B X (^) 2 C … M M M M … n X (^) nA X (^) nB X (^) nC …
Donde X (^) ij son las observaciones i = 1, 2, …, n j = A, B, C, … N = nA + nB + nC …
Las observaciones se organizan posteriormente, en orden ascendente y se asignan las posiciones (o rangos) con el rango 1 correspondiente a la observación más pequeña. En caso de empate (varias observaciones con el mismo rango o posición), se asigna el rango promedio a cada observación empatada (MONTGOMERY, 1991, cap. 4). El estadístico de prueba de Kruskal-Wallis está dado por la expresión (MONTGOMERY, 1991, cap. 4):
= ^ − +
a i (^) i
i N N
n
R
S
H
1
2 2
En donde Ri. es la suma de los rangos de las observaciones del i-ésimo tratamiento y ni es el número de observaciones del i-ésimo tratamiento; N es el número total de observaciones y (MONTGOMERY, 1991, cap. 4)
a i
ni j ij
R N^ N
S N 1
2 1
2 2
Debe notarse que S^2 es igual a la varianza de los rangos. Si no hay empate, S^2 = N(N+1)/12 y el estadístico de prueba se simplifica a (MONTGOMERY, 1991, cap. 4):
a i (^) i
i N
n
R
H N 1
2
Si ni es razonablemente grande, como sería el caso de ni ≥ 5, entonces H tiene una
distribución aproximadamente χ^2 a − 1 (ver tabla del anexo C3) si la hipótesis nula es
verdadera. Por lo tanto, si (MONTGOMERY, 1991, cap. 4)
H ≥ χ 2 α, a − 1
hay que rechazar la hipótesis nula. Si H se calcula mediante un programa estadístico en una computadora se obtendrá el valor de H con la probabilidad exacta de error tipo I asociada a ese valor. Debe señalarse que la potencia -eficiencia de esta prueba comparada con la prueba paramétrica más poderosa, la prueba F , considerando que se cumplen los supuestos para la misma es de un 95.5% (PRIA, 2001, cap. 3).
8.8 PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE METODOS NO PARAMETRICOS
- En relación al ejercicio 1 de la sección 3.5.2 (cap. 3), que se refiere a la determinación del tanto por ciento del níquel de una muestra particular de acero de referencia del NIST por un nuevo método espectrofotométrico, determinar mediante la prueba del signo para los niveles de significación del 0.01 y 0.05 si μ = 1.12%. Datos: 1.10, 1.08, 1.09, 1.12, 1.
Reemplazando cada valor mayor que 158ºC por un signo positivo y cada valor menor que 158ºC por un signo menos, los quince valores generados son:
+ - - - + + - - + - - - + + -
d) Criterio: el criterio de decisión se basa en el número signos positivos (X) o en el número de signos negativos (Y). Utilizando el número de signos menos frecuente, se rechaza Ho si la probabilidad de obtener X ó Y o más signos es menor o igual 0.05 (dependiendo del nivel de significación dado a la prueba). El signo menos frecuente es el signo más (+) y su número es X = 6, el cálculo de la probabilidad binomial para X ≥ 6, con parámetros n = 15 y p = 0.5 es:
P (X ≥ 6; n = 15 , p =0.5 ) = ∑
=
−
0
X
X X
X
Dado que 0.3036 es mayor que el nivel de significación α de 0.05, no existe evidencia como para rechazar que el punto de ebullición del compuesto de silicio sea de 158ºC.
Suma de rangos y signos de Wilcoxon
a) Hipótesis nula: μ = 158ºC Hipótesis alterna: μ ≠ 158ºC
b) Nivel de significación: α = 0.
c) Cálculo: Comparando cada dato obtenido con 158ºC, se obtiene:
8 -17 -22 -5 12 4 -3 -12 25 -1 -10 -26 2 17 -
Ordenando los datos de menor a mayor sin tomar en cuenta los signos se tiene:
1 2 3 4 5 8 8 10 12 12 17 17 22 25 26
Colocando los rangos y los signos asociados a cada observación se tiene:
-1 2 -3 4 -5 6.5 -6.5 -8 9.5 -9.5 11.5 -11.5 -13 14 -
d) Criterio: el criterio de decisión se basa en la suma de los rangos con signo positivo (X) o en la suma de los rangos con signo negativo (Y). Utilizando la suma menor, se rechaza Ho si al compararla con el valor obtenido de la tabla del anexo B8 se observa que es menor o igual que este. En este problema:
X (suma de rangos con signo positivo) = 47. Y (suma de rangos con signo negativo) = 72.
Por lo que el estadístico de contraste es X = 47.5, de la tabla del anexo B8, se obtiene el valor de 25 para n = 15 y α = 0.05. Dado que el valor del estadístico de contraste es mayor que el valor leído en la tabla puede concluirse que no existe evidencia significativa al 5% como para afirmar que el punto de ebullición del compuesto de silicio difiere de 158ºC. Como puede observarse este resultado, coincide con el generado a partir de la aplicación de la prueba del signo.
- En relación al ejercicio 3 de la sección 3.2.5(cap. 3) que se refiere a la determinación de la homogeneidad de una muestra patrón de cloruros mediante análisis de porciones de material, tomadas en la superficie y en el fondo del contenedor, en el que los datos obtenidos fueron:
% de Cloruros en la superficie
% de cloruros en el fondo 26.32 26. 26.33 26. 26.38 26.
A partir de la prueba de la mediana, determinar si existe homogeneidad en el material a un nivel de significación α del 5%.
Solución: a) Hipótesis nula: hay homogeneidad en el contenido de cloruros de la muestra patrón, es decir: Mefondo = Mesuperficie b) Hipótesis alterna: no hay homogeneidad en el contenido de cloruros de la muestra patrón, es decir: Mefondo ≠ Mesuperficie c) Nivel de significación(α): 0. d) Procedimiento de prueba:
- El primer paso consiste en ordenar la serie de datos en orden ascendente como si procedieran de la misma muestra, para los datos del ejercicio se tiene: 26.25 26.28 26.32 26.33 26.38 26.38 26.
