Análisis de Extremos: Distribución Generalizada de Extremos (GEV), Diapositivas de Estadística Descriptiva

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Análisis de extremos

Referencias

• Wilks (sección 4.4.5): “dice mucho, explica poco”
• Coles (2001) “An Introduction to Statistical Modeling of Extreme Values”

• Por ejemplo: Variable aleatoria: “Máxima velocidad de viento anual”: Máxima velocidad de viento media en 10 min a 10 m de altura registrada cada 1 hora en una determinada estación durante 34 años 0 5 10 15 20 25 30 35 10 15 20 25 Años V [m/s]

Se puede estimar la distribución empírica como: 10 0 10 1 10 2 10 15 20 25 Tr = 1/(1-F) V [m/s]

Interés social: ¿qué valores es esperable que ocurran con alto período de retorno? (inundaciones, sequías, olas de calor, vientos…) Valores objetivo típicos corresponden a entre 100 y 10.000 años. 10 0 10 1 10 2 10 15 20 25 Tr = 1/(1-F) V [m/s] ?

Introducción

• Objetivo del análisis de extremos: cuantificar el comportamiento aleatorio de un determinado proceso para valores atípicamente altos o bajos.
• 2ª dificultad  La información disponible es escasa; por definición se está trabajando con valores atípicos (poco probables).

Introducción

• 2ª dificultad  La información disponible es escasa; por definición se está trabajando con valores atípicos (poco probables).
• Muy importante:
  1. Maximizar el uso de la información
  2. Calcular intervalos de

Introducción

• Existen dos aproximación “clásicas” al cálculo de extremos: (1) Análisis de los máximos alcanzados en un período de tiempo fijo (típicamente máximos anuales) (2) Análisis de los máximos alcanzados en cada uno de los “eventos extremos” registrados (picos sobre el umbral) El análisis (1) considera un “evento extremo” por año de registro; en el análisis (2) puede haber años con más de un “evento extremo” y años sin “eventos extremos”.

Máximos anuales

• Nuestra variable aleatoria va a ser Mn : con X1,…,Xn una secuencia de variables aleatorias independientes con la misma distribución F(x). Típicamente Xi son los valores obtenidos al medir un determinado proceso con una frecuencia fija (e.g. datos de viento horarios), y n es la cantidad de datos en una año (e.g. 365 x 24).

Máximos anuales

• En principio la distribución de Mn podría derivarse de la distribución F(x): … pero pequeños errores en el ajuste de la cola superior se traducen en grandes errores en la distribución de máximos anuales

Máximos anuales

• ¿Alternativa?  Extremal Type Theorem Dice que… …el máximo Mn de n observaciones independientes de Xi tiende a una distribución de probabilidad G(z) fija cuando n tiende a infinito, independientemente de cuál sea la distribución F(x) La distribución G(z) se denomina distribución generalizada de extremos (GEV distribution).

Máximos anuales

• En la realidad:
  • n no tiende a infinito
  • Las observaciones no son independientes
  • La distribución F(x) no necesariamente es estacionaria
• A pesar de lo cual el uso de la distribución GEV a probado ser una herramienta valiosa en el análisis de extremos …
• … siempre y cuando se tenga una comprensión suficiente de los procesos físicos que subyacen a los datos analizados, de modo de aplicar la GEV “con criterio”

Máximos anuales

• El parámetro de forma (xi) determina si la distribución está acotada o no… xi = 0  Distribución Tipo I (Gumbel) no acotada xi > 0  Distribución Tipo II (Frechet o Fisher-Tippett II) con límite inferior xi < 0  Distribución Tipo III (Weibull) con límite superior

Máximos anuales

• Cálculo de cuantiles Parea calcular el cuantil de probabilidad de excedencia p ( z p ), se invierte la distribución G(z), obteniéndose: Cuando se trabaja con máximos anuales el período de retorno es Tr = 1/p