¡Descarga ANÁLISIS CINEMÁTICO DE MECANISMOS PLANOS POR EL MÉTODO DE LOS GRAFO y más Resúmenes en PDF de Mecánica solo en Docsity!
Scientia et Technica Año XII, No 31, Agosto de 2006 UTP. ISSN 0122-1701 115
Fecha de Recepción: 31 Enero de 2006 Fecha de Aceptación: 21 Junio de 2006
ANÁLISIS CINEMÁTICO DE MECANISMOS PLANOS POR EL MÉTODO DE LOS
GRAFOS
RESUMEN
En este artículo se presenta una simplificación metodológica para el análisis cinemático de mecanismos formados a partir de grupos de Assur de segunda clase, por el método de los grafos. Se presenta un planteamiento general del método y la solución de un mecanismo especifico.
PALABRAS CLAVES : Grafo, Contorno, Análisis cinemático, Grupos de Assur.
ABSTRACT This paper present a methodological simplification of cinematic analyses of mechanics formed for second type “assur” groups, using the graphs method. It presents a general planning of the method and a specific solution for a specific mechanism.
KEYWORDS: Graphs, Contour , Cinematic analyses, Assur Groups.
GABRIEL CALLE T.
Ingeniero Mecánico, Ph.D. Profesor Asociado Universidad Tecnológica de Pereira gcalle@utp.edu.co
ALEXANDER DIAZ A.
Ingeniero Mecánico, Esp. Profesor Asistente Universidad Tecnológica de Pereira alexdiaza@utp.edu.co
EDISON HENAO C.
Ingeniero Mecánico, M. Sc. Profesor Auxiliar. Universidad Tecnológica de Pereira edisonhenao@utp.edu.co
1. INTRODUCCIÓN
Existen varios procedimientos gráficos y analíticos para el análisis cinemático de mecanismos planos descritos ampliamente, en los diferentes textos de teoría de mecanismos y maquinas. Basados en la clasificación estructural de los grupos de Assur se pueden plantear soluciones generales para cierto grupo de mecanismos de estructura similar. Teniendo en cuenta que en la representación de mecanismos por medio de grafos, se puede agrupar una familia de mecanismos formados a partir de la síntesis estructural basada en los grupos de Assur, se puede llegar al planteamiento rápido de ecuaciones cinemáticas a partir de un grafo representativo de una familia de mecanismos específica.
En este trabajo se describe el procedimiento para el análisis cinemático de los mecanismos formados por grupos de Assur de segunda clase, con el fin de dar una herramienta que permita sistematizar el análisis de este tipo de mecanismos.
2. CONTORNOS ESTRUCTURALES
Un contorno estructural se forma al seguir, por medio de una línea ininterrumpida los eslabones y pares cinemáticos que conforman un mecanismo, regresando obligatoriamente al punto de partida. Se considera un contorno como independiente si se diferencia de los otros por lo menos en un eslabón o en un par cinemático. Se considera como número de contornos independientes de un mecanismo el número mínimo de estos en los cuales ya entran todos los pares cinemáticos y eslabones que lo conforman.
3. GRAFOS
Debido a que los mecanismos (cadenas cinemáticas) son un conjunto de eslabones unidos por medio de pares, este conjunto de pares y eslabones puede ser representado en una forma más abstracta denominada grafo. En una representación en grafo los vértices representan los eslabones y las aristas los pares cinemáticos. Las aristas pueden ser etiquetadas o coloreadas. Comúnmente el número de movilidades de un par (arista) se representa por medio de líneas paralelas, tantas como grados de movilidad tenga el par. Por medio de líneas gruesas se muestran las aristas raíz que corresponden a los pares cinemáticos que constituyen las entradas del mecanismo.
Isomorfismo de grafos
Dos grafos G 1 y G 2 se dice que son isomórficos si existe una correspondencia uno a uno entre sus vértices y ejes que preserva la incidencia. Por lo tanto poseen: el mismo número de vértices, el mismo número de ejes y el mismo grado para los vértices.
Ecuación de Euler
La ecuación de Euler permite obtener el número de contornos independientes de un mecanismo. L = e – v + 1 (1) Donde: L es el número de contornos independientes e es el número de aristas (Pares cinemáticos) v es el número de vértices (Numero de eslabones)
Nota : Se supone aquí que las cadenas cinemáticas
abiertas conforman un contorno independiente.
116 Scientia et Technica Año XII, No 31, Agosto de 2006. UTP
4. ECUACIONES DE CONTORNO
Posición
Se da por hecho que el análisis de posiciones es conocido es decir se conocen las posiciones angulares de los eslabones, y las coordenadas absolutas de los pares.
Ecuaciones de contorno para las velocidades
En la Figura 1 se muestra una cadena cinemática cerrada monocontorno con una cantidad n de eslabones. La junta Ai ; i = 1, 2, ... n es la conexión entre los eslabones ( i ) y ( i -1). El último eslabón n , está conectado al primer eslabón 0 de la cadena. En una cadena cinemática cerrada se puede hacer un recorrido desde el eslabón 0 hasta el eslabón n.
Figura 1. Cadena cinemática monocontorno
En la junta Ai hay dos puntos instantáneamente coincidentes: el punto Ai,i perteneciente al eslabón ( i ), es decir Ai,i ∈ ( i ), y el punto Ai,i - 1 perteneciente al eslabón
( i -1), es decir Ai,i -1 ∈ ( i -1). Se establece la siguiente relación entre la velocidad
v (^) Ai , i del punto Ai,i y la velocidad v^ Ai , i − 1 del punto Ai,i - 1 r v (^) Ai , i = vAi , i − 1 + vAii , Aii − (^1) (2)
donde
r v (^) Aii , Aii − 1 es la velocidad relativa de Ai,i del
eslabón ( i ), con respecto a Ai,i- 1 perteneciente al eslabón ( i -1). Usando la relación de velocidad entre dos partículas pertenecientes al mismo cuerpo ( i ) podemos escribir
v (^) Ai + 1 , i = vAi , i + ωi × AiiAii + 1
lo que es igual
vAi + 1 , i = vAi , i + ωi × AiAi + 1 (3)
Figura 2. Cuerpo i
Sustituyendo (2) en (3) obtenemos:
r v (^) Ai + 1 , i = vAi , i − 1 + ω (^) i × AiAi + 1 + vAii , Aii − 1 (4)
Aplicando la ecuación (4) a cada uno de los n eslabones de la cadena cinemática cerrada obtenemos las siguientes expresiones:
i=
r v (^) A 3 , 2 = vA 2 , 1 + ω 2 × A 2 A 3 + vA 22 , A 21
i=
r
v A 4 , 3 = vA 3 , 2 + ω 3 × A 3 A 4 + vA 33 , A 32
i νAi + 1 , i = νAi,i − 1 + ωi × Ai Ai + 1 + νrAii,Aii − 1
i=n
r
νA 0 ,n = νAn,n − 1 + ωn × An A 0 + νAnn,Ann − 1
i=
r ν (^) A 1 , 0 = νA 0 ,n + ω 0 × A 0 A 1 + νA 00 ,A 0 n
i=1 ν A 2 , 1 = νA 1 , 0 + ω 1 × A 1 A 2 + νrA 11 ,A 10
Sumando las relaciones (5) se obtiene:
[ ]
[ 1110 2221 1 000 ] 0
1 12 2 2 3 1 0 0 1
× + × + + × + + × +
−
r A ,An
r Aii,Aii
r A,A
r A,A
i i i ... ...
AA AA ... AA ... AA
ν ν ν ν
ω ω ω ω (6)
El vector Ai Ai + 1 puede ser escrito en términos de los
vectores de posición de los puntos Ai +1 y Ai :
OAi + AiAi + 1 = OAi + 1 ,^ es decir:
Ai Ai + 1 = OAi + 1 − OA i (7)
Fig. 3
Teniendo en cuenta (7) la ecuación (6) quedará
( ) ( ) ( ) ( )
1 0 1 0
1 2 1 2 3 2
× − + + × − +
× − + × − + +
−
r A ,An
r Aii,Aii
r A ,A
r A ,A
i i i
OA OA ... OA OA
OA OA OA OA ...
0 1 0 0 1110 22 21
1 2 1 1 2 3 2 2
× − × + + + +
× − × + × − × + +
−
r A ,An
r Aii,Aii
r A ,A
r A ,A ...
OA OA ...
OA OA OA OA ...
ν ν
ω ω ν ν
ω ω ω ω
118 Scientia et Technica Año XII, No 31, Agosto de 2006. UTP
Como se observa los posibles mecanismos para estas combinaciones son 14 los cuales se pueden representar con el mismo grafo, solo queda por definir si los pares A,B,C,D, son de giro o deslizamiento respectivamente.
Figura 4. Representación por grafos
Ecuaciones de velocidad
1 , 0 2 , 1 3 , 2 0 , 3
10 21 32 03
× + × + × + × +
r D
r C
r B
r A
A B C D
Ecuaciones de aceleración
2 03
2 20
2 3 , 2 0 , 3 10
1 , 0 2 , 1 3 , 2 0 , 3 1 , 0 2 , 1
10 21 32 03
× + × + × + × +
AB BC CD
A B C D
a a
a a a a a a
c D
c C
c B
c A
r D
r C
r B
r A
Donde
ω i , i − 1 = 0 , si el par cinemático que une los eslabones i
y i − 1 es de deslizamiento.
,− 1 =^0
r
ν A ii , si el par cinemático que une los eslabones i
y i − 1 es de giro.
α i , i − 1 = 0 , si el par cinemático que une los eslabones i
y i − 1 es de deslizamiento.
a rA i , i − 1 = 0 , a^ cAi , i − 1 = 0 , si el par cinemático que une los
eslabones i y i − 1 es de giro.
6. EJEMPLO DE APLICACIÓN
Figura 5. Mecanismo de segunda clase GGD
Analicemos el mecanismo de la figura 5 formado por un eslabón de entrada de giro y un grupo de assur de segunda clase del tipo GGD, el cual por medio del par de deslizamiento se une al eslabón de entrada. Se conocen los siguientes datos: AD = 0,100 m , CD =0,300 m. El Angulo del eslabón de entrada 1 con el eje horizontal es
45^ o
φ 1 = , se asume el origen del sistema de
coordenadas coincidente con A.
Del análisis de posición se tiene: xD = AD , y D = 0 ,
x B = xC = 0 , 256 m , y B = yC = 0 , 256 m
ω 1 = ω 10 = 10 , 472 rad / s
Figura 6. Grafo extendido
Para el análisis de velocidad se escriben las siguientes ecuaciones:
0 × ω 32 + 0 × ω 03 + ν 2 , 1 = 0
r
C D B
Efectuando la descomposición vectorial se tiene:
ω 10 k + ω 32 k + ω 03 k = 0
32 03
+ × + × +
Cos i Sen j
x i y j k x i k
r B,
r B,
C C D
Efectuando el producto y agrupando los términos de cada componente se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:
Scientia et Technica Año XII, No 31, Agosto de 2006. U.T.P (^119)
y ⋅ ω 32 + y ⋅ ω 03 + ν 2 , 1 Cosφ = 0
r C D B
− x ⋅ ω 32 − x ⋅ ω 03 + ν 2 , 1 Senφ = 0
r C D B
Reemplazando los términos conocidos ( ω 10 , φ , xC ,
y C , x D , y D ) y efectuando las operaciones necesarias
se obtienen los valores de:
ω 32 = 2 , 539 rad / s , ω 03 =− 13 , 011 rad / s ,
m s
r
νB 2 , 1 =−^0 ,^920 /
La velocidad absoluta del eslabón 3 es:
ω 30 = − ω 03 = 13 , 011 rad / s.
La velocidad de C se determina de la siguiente manera:
νC = νD + ω 30 k ×[ ( xC − xD ) i +( yC − yD ) j ]
donde ν D = 0 , por lo tanto:
νC = (− 3 , 333 i + 2 , 032 j ) m / s
La velocidad del punto B que pertenece al eslabón 1 es:
νB = νA + ω 10 k × ( xBi + yBj )
νB = (− 0 , 651 i − 0 , 651 j ) m / s
Para el análisis de aceleración se tienen las siguientes ecuaciones:
2 03
2 (^32032) , 1 2 , 1 10
× + × + + + ⋅ +
CD
C D a a AB
c B
r B
Efectuando la descomposición vectorial se tiene:
α 32 k + α 03 k = 0
[ ( ) ( )]
( ) [( ) ( )] 0
2 30
2 10
21 ,^102 , 1 2 , 1
(^32032) , 1
+ + ⋅ × +
+ × + × +
x i y j x x i y y j
Sen j Cos i Sen j
x i y j k x i k Cos i
B B C D C D
r B
r B
r B
r C C D B
a
a
Efectuando el producto y agrupando los términos de cada componente se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:
2 30
2 10
(^32032) , 1 10 2 , 1
B C D
r B
r C D B
x x x
y y a Cos Sen
2 30
2 10
(^32032) , (^1102) , 1
B C D
r B
r C D B
y y y
x x a Sen Cos
Reemplazando los términos conocidos ( ω 10 , ω 30 , ν rB 2 , 1 ,
φ , xC , yC , x D , y D , ) y efectuando las operaciones
necesarias se obtienen los valores de:
2
α 32 =− 25 , 032 rad / s ,
2
α 03 = 25 , 032 rad / s y
2
a 21 7 , 865 m / s
r
B =−
La aceleración absoluta del eslabon 3 es: 2
α 30 = − α 03 =− 25 , 032 rad / s
La aceleración de C se determina de la siguiente manera:
a C = aD + α 30 k ×[ ( xC − xD ) i +( yC − yD ) j ]
donde a D = 0 , por lo tanto:
aC = ( − 20 , 026 i − 47 , 277 j ) m / s
7. CONCLUSIONES
En este artículo se ha propuesto un método para el análisis cinemático de mecanismos planos el cual combina la clasificación estructural de los grupos de assur y la representación por medio de grafos. Este método presenta una viabilidad de análisis que permite el planteamiento general y facilita la sistematización de los grupos de assur y plantea un método general de solución que puede ser de gran apoyo en el proceso de enseñanza aprendizaje.
8. BIBLIOGRAFÍA
[1] CALLE G., DÍAZ A., QUINTERO. Curso de Teoría de Mecanismos y Máquinas. Notas de clase. UTP. 2004. http://www.geocities.com/mecanautomat. [2] ARTOBOLEVSKY I.I. Teoría de Mecanismos y Máquinas. Moscú. Nauka, 1988 -639 pag. [3] MARGHITU D.B. Analytical Elements of Mechanisms Auburn University, Alabama, 2001 - 286 [4] SMELYAGUIN A.I. Estructura de Mecanismos y Máquinas. Novosibirsk. NGTU, 2001 – 286 pag. [5] TSAI L.W. Mechanism Design: Enumeration of Kinematic Structures According to Function, CRC Press 2000 – 328 pag.
