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trabajo con ejercicios de algebra lineal, vectores, solucion de problemas, elaboracion de lineas vectorianas
Tipo: Ejercicios
1 / 14
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Jhoan Orlando Hernández Cerón
Diana Katherine Trilleros
El presente trabajo responde al desarrollo de la tarea 2 del curso de algebra lineal sistemas de
ecuaciones lineales, rectas y planos. Nos propusimos explicar cada uno de los ejercicios del modo
que nos fue más entendible a nosotros. Para comprender la finalidad y la aplicación de los
Vectores, Matrices y Determinantes, se debe reconocer algunos aspectos que son fundamentales
para abordar el estudio de la Algebra Lineal, por eso se presenta a través de ejercicios prácticos.
La resolución de los ejercicios aquí expuestos está sujeta a la evaluación del lector.
Ejercicio 2 - Aplicación De Conceptos De Sistemas De Ecuaciones Lineales En La Solución
De Problemas Básicos: Para el desarrollo del ejercicio 2, debe revisar los siguientes contenidos
encontrados en el entorno de Conocimiento de la Unidad 2.
Descripción Del Ejercicio 2: Resuelva de entre los siguientes sistemas de ecuaciones lineales, el
que le corresponda según el ítem (a, b, c, d ó e) seleccionado, empleando el método de reducción
de Gauss-Jordan. Valide su resultado graficando en Geogebra* el punto de intersección de las
rectas que describen cada ecuación. Debe relacionar el pantallazo de la comprobación y todo el
procedimiento de reducción explicándolo paso a paso.
5 x − 2 y + z = 10
2 x + y − 4 z = 29
2 x + 3 y − 5 z = 31
x y z T. I
Se Plantea La Matriz, Simplificando Por Gauss Jordán:
Cancelar El Primer Coeficiente En La Fila R 2
Realizamos : R 2
2
1
|
x y z T. I
|
Cancelar El Primer Coeficiente En La Fila R 3
Realizamos : R 3
3
1
|
x y z T. I
|
Intercambiar Filas De La Matriz : R 2
3
|
x y z T. I
|
Cancelar El Primer Coeficiente En La Fila R 3
Realizamos : R 3
3
2
x y z T. I
Multiplicar La Fila De La Matriz Por La Constante : R 3
3
x y z T. I
Cancelar El Primer Coeficiente En La Fila R 2
Realizamos : R 2
2
3
x y z T. I
Cancelar El Primer Coeficiente En La Fila R 1
Realizamos : R 1
1
3
x y z T. I
Multiplicar La Fila De La Matriz Por La Constante : R 2
2
x y z T. I
Cancelar El Primer Coeficiente En La Fila R 1
Realizamos : R 1
1
2
x y z T. I
Ejercicio 3 - Aplicación De Conceptos De Rectas En R3 En La Solución De Problemas
Básicos: Para el desarrollo del ejercicio 3, debe revisar los siguientes contenidos encontrados en
el entorno de Conocimiento de la Unidad 2.
Descripción Del Ejercicio 3: Defina las ecuaciones vectoriales, paramétricas y simétricas, de las
siguientes rectas, y grafíquelas con ayuda de GeoGebra (u otras herramientas como Scilab,
Octave o Matlab).
D. Una constructora desarrolla 3 tipos de obras. El requerimiento de hormigón en el primer tipo
de ellas es de 100 ton, en el tipo 2 es de 80 ton y en el 3 de 40 ton. Por otro lado, en el primer tipo
de obra se requieren 190 varillas de acero, en el 2 se requieren 15 y en el 30 varillas. Mientras
que las obras 1 requieren 24 máquinas de carga pesada, las 2 requieren de 18 y las últimas de 25.
Si la constructora cuenta con 700 ton de hormigón, 400 varillas de acero y 300 máquinas de carga
pesada, ¿cuál será el sistema de ecuaciones que describe la capacidad actual de obras de cada tipo
de la constructora?
Ecuación General:
100 x + 80 y + 40 z = 700 ( 1 )
190 x + 15 y + 30 z = 400 ( 2 )
24 x + 18 y + 25 z = 300 ( 3 )
Ecuación 1 y 2:
100 x + 80 y + 40 z = 700 ∙ ( 3 )
190 x + 15 y + 30 z = 400 ∙ (− 4 )
300 x + 240 y + 120 z = 2100
− 760 x − 60 y − 120 z =− 1600
− 460 x + 180 y = 500
Despejamos y:
180 y = 500 + 460 x
y =
50 0 + 46 0 x
y =
25 + 23 x
Ecuación 2 y 3:
190 x + 15 y + 30 z = 400 ∙ ( 5 )
24 x + 18 y + 25 z = 300 ∙ (− 6 )
950 x + 75 y + 150 z = 2000
− 144 x − 108 y − 150 z =− 1800
806 x − 33 y = 200
Reemplazamos:
806 x − 33 ∙
25 + 23 x
806 x −
825 + 759 x
806 x −
275 + 253 x
2418 x − 275 − 253 x
2165 x − 275 = 200 ∙ ( 3 )
2165 x = 600 + 275
2165 x = 875
x =
x =
y =
500 + 460 x
y =
y =
y =
y =
y =
Ejercicio 4 - Aplicación De Conceptos De Rectas En R3 En La Solución De Problemas
Básicos: Para el desarrollo del ejercicio 4, debe revisar los siguientes contenidos encontrados en
el entorno de Conocimiento de la Unidad 2.
Descripción Del Ejercicio 4: Según su literal seleccionado, defina la ecuación vectorial,
paramétrica y simétrica de la recta, y grafíquela o compruebe con ayuda de GeoGebra (u otras
herramientas como Scilab, Octave o Matlab).
D. De la recta que pasa por los puntos
x 1
, y 1
, z
y Q (− 2 , − 4 , − 5 )
x 2
, y 2
, z
El Vector Director De La Recta Es:
⃗ v =
x 2
− x 1
, y 2
− y 1
, z 2
− z
⃗ v =( 6 +2,− 2 +4,− 3 + 5 )
⃗ v =( 8 , 2 , 2 )
1
, v 2
, v
Las Ecuaciones Paramétricas De La Recta Son:
x = x 0
y = y 0
z = z 0
Reemplazando Los Datos:
x = 6 + 8 ∝
y =− 2 + 2 ∝
z =− 3 + 2 ∝
Las Ecuaciones Simétricas Son:
x − x 0
v 1
y − y 0
v 2
z − z 0
v 3
x − 6
y −(− 2 )
z −(− 3 )
x − 6
y + 2
z + 3
La Ecuación Vectorial De La Recta:
( x , y , z )=
x 0
, y 0
, z
v 1
, v 2
, v
( x , y , z )=( 6 , − 2 , − 3 ) + ∝ ( 8 , 2 , 2 )
Solución En Geogebra:
Ejercicio 5 - Aplicación De La Teoría De Planos En La Solución De Problemas Básicos:
Para el desarrollo del ejercicio 5, debe revisar los siguientes contenidos encontrados en el
Entorno de Conocimiento de la Unidad 2.
Descripción Ejercicio 5: Solucione las siguientes problemáticas de planos en torno a su teoría y
grafíquelos con ayuda de GeoGebra (u otras herramientas como Scilab, Octave o Matlab).
D. ¿Cuál es la ecuación del plano que contiene los puntos O ( 5 , −2,3) , P ( 4 , −1,4) y Q (2,0,1)?
Desarrolle claramente el paso a paso necesario para llegar a dicha ecuación y grafique el plano
correspondiente.
Solución En Geogebra:
Al desarrollar los ejercicios se comprende la relación que tiene los vectores con las matrices,
debido a la realización de los diferentes ejercicios se pudo obtener un conocimiento teórico, que
se adquieren con las variadas lecturas realizadas y la aplicación de los mismos con los ejercicios,
el uso de los axiomas con el espacio de las operaciones y la resolución de problemas de la vida
diaria, la aplicación de estos temas en la vida diaria mejora la forma de comprender nuestro
entorno y mejorar nuestra carrera.
Guzmán A.F. (2014). Álgebra Lineal: Serie Universitaria Patria. México: Larousse -
Grupo Editorial Patria. Páginas 72 a la 90-113-123.
Gutiérrez G.I. & Robinson E.B.J. (2012). Álgebra lineal. Colombia: Universidad del
Norte. Páginas 20-27. Disponible en Entorno de conocimiento.
Zúñiga, C (2010). Módulo Algebra Lineal. Bogotá, UNAD. Páginas 164 a 182 y 208 a
https://www.youtube.com/watch?v=WmhgzYQO_eQ
https://es.khanacademy.org/math/algebra/x2f8bb11595b61c86:systems-of-equations/
x2f8bb11595b61c86:number-of-solutions-to-systems-of-equations/a/number-of-solutions-
to-system-of-equations-review
