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En este documento, se presenta una guía detallada sobre cómo trabajar con álgebra básica, incluyendo una explicación de símbolos, términos específicos, operaciones y agrupación de símbolos, reglas de los signos y casos especiales. Este material es ideal para estudiantes de educación superior que toman un curso de álgebra básica.
Tipo: Monografías, Ensayos
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Para trabajar en álgebra son necesarios ciertos conocimientos previos sobre operatoria en Números Enteros y Números Racionales. También deben conocerse las propiedades de las potencias. Los ejercicios deben desarrollarse de acuerdo a las operatorias que se realicen. Se pueden restar o sumar términos semejantes, multiplicar expresiones algebraicas o bien simplificarlas.
Entre los símbolos algebraicos se encuentran: Números, (1, 2, 3…) Letras, y (a, b, c…) Signos que representan las diversas operaciones aritméticas. (+, -, x, ÷)
Los números son, por supuesto, constantes, pero las letras pueden representar tanto constantes como variables. Las primeras letras del alfabeto se usan para representar constantes y las últimas para variables. a, b, c, d… Constantes x, y, z… Variables
La agrupación de los símbolos algebraicos y la secuencia de las operaciones aritméticas se basan en los símbolos o signos de agrupación, que garantizan la claridad de lectura del lenguaje algebraico. Entre los símbolos de agrupación se encuentran: Paréntesis ( ), Corchetes [ ], Llaves { } y Rayas horizontales — también llamadas vínculos— que suelen usarse para representar la división y las raíces, ejemplo:
Los símbolos de las operaciones básicas son bien conocidos de la aritmética: Adición (+), Sustracción (-), Multiplicación (×) o (. ) y División (÷) o ( / ).
En el caso de la multiplicación, el signo (×) normalmente se omite o se sustituye por un punto, como en: a x b = a · b.
Es decir, si los dos números tienen el mismo signo (los dos negativos o los dos positivos), entonces su producto es un número positivo. Y si tienen signo distinto, su producto es un número negativo.
Si alguno de los dos números es 0, entonces el resultado es 0 (ni positivo ni negativo): (−3) ⋅ 0 = 0 0 ⋅ (+4) = 0
Los números que son positivos pueden escribirse sin signo y sin paréntesis: (−3) ⋅ 3 = − 9 5 ⋅ 2 = 10
Los números que son negativos y están a la izquierda pueden escribirse sin paréntesis: − 3 ⋅ 2 = − 6 − 5 ⋅ (−6) = 30
La regla es la misma para la división: 15 / 3 = 5 (−3) / (−3) = 1 (−6) / 2 = − 3 4 / (−2) = − 2
Cada expresión algebraica (y matemática) posee una estructura estrictamente jerarquizada.
Esto significa que para resolver una expresión algebraica es necesario seguir un orden establecido con el fin de garantizar que los cálculos tengan sólo un resultado.
Ese orden es el siguiente:
Los símbolos de agrupación indican el orden en que se han de realizar las operaciones: se hacen primero todas las operaciones dentro de un mismo grupo, comenzando por el más interno. Ejemplo: 2 [ 3 + (6. 5 + 2) ] 2 [ 3 + (30 +2) ] 2 [ 3 + 32 ] 2 [ 35 ] 70 Cuando hay paréntesis y corchetes, hacemos primero los paréntesis, los quitamos aplicando la regla de los signos. Después hacemos los corchetes y los quitamos aplicando la regla de los signos (recuerden que la regla de los signos se aplica solo para multiplicaciones y divisiones). Ejemplo: 2 [ 3 + (6. 5 + 2) ] 2 [ 3 + (30 +2) ] 2 [ 3 + 32 ] 2 [ 35 ] 70 Luego se efectúan las elevaciones a potencia y las raíces (potencias y raíces tienen la misma jerarquía) En seguida se resuelven las multiplicaciones y las divisiones (multiplicaciones y divisiones tienen la misma jerarquía) Finalmente se realizan las sumas y las restas (sumas y restas tienen la misma jerarquía)
Es común que muchos estudiantes consideren el signo = solo como una invitación al cálculo y no como una relación de equivalencia. Así, por ejemplo, interpretan la expresión
En términos similares a los siguientes: “a 5 se le suma 8 y al resultado (x) se le suma 3”. Por tal razón, consideran que x debe valer 13 y piensan que la expresión debería completarse así:
Una ecuación en matemática se define como una igualdad establecida entre dos expresiones, en la cual puede haber una o más incógnitas que deben ser resueltas.
Las ecuaciones sirven para resolver diferentes problemas matemáticos, geométricos, químicos, físicos o de cualquier otra índole, que tienen aplicaciones tanto en la vida cotidiana como en la investigación y desarrollo de proyectos científicos.
Las ecuaciones pueden tener una o más incógnitas, y también puede darse el caso de que no tengan ninguna solución o de que sea posible más de una solución.
Las ecuaciones están formadas por diferentes elementos. Cada ecuación tiene dos miembros, y estos se separan mediante el uso del signo igual (=). Cada miembro está conformado por términos, que corresponden a cada uno de los monomios.
Los valores de cada monomio de la ecuación pueden ser de diferente tenor. Por ejemplo: o Constantes; o Coeficientes; o Variables; o Funciones; o Vectores.
Las incógnitas, es decir, los valores que se desean encontrar, se representan con letras. Veamos un ejemplo de ecuación.
Las ecuaciones algebraicas, que son las fundamentales, se clasifican o subdividen en los diversos tipos: Ecuaciones de primer grado o ecuaciones lineales Son las que involucran una o más variables a la primera potencia y no presenta producto entre variables. Ejemplo:
Ecuaciones de segundo grado o ecuaciones cuadráticas En este tipo de ecuaciones, el término desconocido está elevado al cuadrado. Ejemplo:
Ecuaciones de tercer grado o ecuaciones cúbicas En este tipo de ecuaciones, el término desconocido está elevado al cubo. Ejemplo:
Ecuaciones de cuarto grado Aquellas en las que a, b, c y d son números que forman parte de un cuerpo que puede ser ℝ o a ℂ. Ejemplo:
