Download Yes ini sangat bagus and more Cheat Sheet Electrochemistry in PDF only on Docsity!
Buletin Ilmiah Math. Stat. dan Terapannya (Bimaster)
Volume 6 , No. 01 ( 2017 ), hal 1 – 8.
BENTUK KANONIK JORDAN DALAM MENYELESAIKAN
SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR
Umi Salmah, Mariatul Kiftiah, Fransiskus Fran
INTISARI
Bentuk kanonik Jordan merupakan matriks Jordan yang similar dengan matriks asalnya. Bentuk kanonik
Jordan dapat diaplikasikan untuk menyelesaikan sistem persamaan diferensial linear. Penelitian ini
bertujuan untuk menentukan bentuk kanonik Jordan dari suatu matriks
n
A M dan mengaplikasikan
bentuk kanonik Jordan dalam menyelesaikan sistem persamaan diferensial linear. Langkah pertama untuk
menentukan bentuk kanonik Jordan adalah menentukan persamaan karakteristik untuk mendapatkan nilai
eigen dan vektor eigen. Selanjutnya, menentukan multiplisitas aljabar dan multiplisitas geometri serta
vektor eigen tergeneralisasi. Kemudian, menentukan matriks tak singular S dan inversnya serta bentuk
kanonik Jordan
1
J S AS.
Setelah mendapatkan bentuk kanonik Jordan J, langkah untuk menyelesaikan
sistem persamaan diferensial linear
d
A
dt
y
y g adalah menentukan solusi w dengan
n
d
J
dt
w
w dan
n
J merupakan blok Jordan dari J. Langkah selanjutnya, menentukan
h
y S w dan
1
p y y
N N dt
y g
sehingga mendapatkan solusi umum sistem persamaan diferensial linear
h p
y y y. Hasil penelitian ini
menunjukkan bahwa vektor eigen tergeneralisasi dapat digunakan untuk menentukan bentuk kanonik
Jordan dan bentuk kanonik Jordan dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan diferensial
linear.
Kata Kunci: vektor eigen tergeneralisasi, sistem persamaan diferensial
PENDAHULUAN
Suatu matriks adalah jajaran empat persegi panjang dari bilangan-bilangan. Bilangan-bilangan
dalam jajaran tersebut disebut entri dari matriks. Suatu matriks n
A M dapat didiagonalisasi apabila
dimensi ruang eigen sama dengan pangkat tertinggi dari faktor polinomial karakteristik. Dimensi
ruang eigen disebut juga dengan multiplisitas geometri dan jumlah kemunculan
0
sebagai faktor
pada polinomial karakteristik disebut juga dengan multiplisitas aljabar [1].
Konsep yang digunakan untuk mendiagonalisasi suatu matriks yaitu similaritas. Suatu matriks
n
B M dikatakan similar dengan matriks
n
A M jika ada matriks tak singular
n
S M sedemikian
sehingga
1
B S AS
[3]. Jika matriks
n
A M dapat didiagonalisasi, maka matriks A tersebut similar
dengan matriks diagonal. Akan tetapi, jika matriks
n
A M
tidak dapat didiagonalisasi, maka matriks
A tersebut similar dengan matriks yang hampir diagonal atau yang disebut dengan matriks Jordan [2].
Matriks Jordan yang similar dengan matriks A disebut sebagai bentuk kanonik Jordan [3].
Salah satu cara untuk mendapatkan bentuk kanonik Jordan yaitu dengan menggunakan vektor eigen
tergeneralisasi. Vektor eigen tergeneralisasi tersebut digunakan untuk memperluas basis ruang eigen
dan memperoleh n vektor eigen yang bebas linear, sehingga multiplisitas geometri sama dengan
multiplisitas aljabarnya. Jika multiplisitas aljabar telah sama dengan multiplisitas geometri, maka
matriks tersebut dapat ditentukan bentuk kanonik Jordannya yaitu
1
J S AS
dengan S merupakan
matriks tak singular yang kolom-kolomnya terdiri dari vektor eigen tergeneralisasi. Bentuk kanonik
Jordan tersebut dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan diferensial linear.
Penelitian ini bertujuan untuk menentukan bentuk kanonik Jordan dari matriks
n
A M dengan
menggunakan vektor eigen tergeneralisasi dan mengaplikasikan bentuk kanonik Jordan dalam
2 U. SALMAH, M. KIFTIAH, F. FRAN
menyelesaikan sistem persamaan diferensial linear. Matriks yang digunakan pada penelitian ini yaitu
matriks
n
A M
dan sistem persamaan diferensial yang digunakan yaitu sistem persamaan
diferensial biasa linear orde pertama dengan koefisien konstan.
Langkah pertama dalam penelitian ini adalah menentukan bahwa matriks yang digunakan
merupakan matriks
n
A M Langkah selanjutnya, menentukan persamaan karakteristik dengan
persamaan P ( ) det( I A ) 0. Dengan memfaktorkan persamaan karakteristik diperoleh nilai
eigen yang bersesuaian dengan matriks A. Kemudian mensubstitusikan nilai eigen pada persamaan
A I x = 0
diperoleh vektor eigen. Selanjutnya, menentukan multiplisitas aljabar sama dengan
multiplisitas geometri atau belum. Kemudian menentukan vektor eigen tergeneralisasi dengan
persamaan ( )
p
A I x 0 dan
1
p
A I
x 0 p 2,3,...sampai multiplisitas aljabar sama dengan
multiplisitas geometri. Setelah itu membentuk matriks tak singular S yang kolom-kolomnya terdiri
dari vektor eigen tergeneralisasi. Kemudian menentukan invers dari matriks tak singular S sehingga
didapat bentuk kanonik Jordan
1
J S AS
. Setelah mendapatkan bentuk kanonik Jordan, langkah
untuk menyelesaikan sistem persamaan diferensial linear
d
A
dt
y
y g yaitu menentukan solusi w dari
n
d
J
dt
w
w Kemudian, menentukan
h
y S w
dan
1
p y y
N N dt
y g dengan
y w
N SM sehingga
mendapatkan solusi umum sistem persamaan diferensial linear
h p
y y y.
BENTUK KANONIK JORDAN
Bentuk kanonik Jordan merupakan matriks Jordan yang similar dengan matriks asalnya. Matriks
Jordan terdiri dari blok-blok Jordan. Blok Jordan ( )
n
J merupakan matriks segitiga atas berukuran
n n dengan diagonal utama , superdiagonal bernilai 1, dan semua entri lainnya adalah 0 yang
didefinisikan sebagai berikut:
n
J
Jika n 1 pada Persamaan (1), maka
1
J ( ) artinya blok Jordan tersebut berukuran 1 1 dengan
entri nilai eigen .
Matriks Jordan
n
J M merupakan penjumlahan langsung dari blok Jordan
i
n i
J dengan ukuran
blok Jordan
i
n
dan nilai eigen
i
yang bersesuaian dengan blok Jordan dan i 1,2,..., k sebagai
berikut:
1
2
1
2
k
n
n
n k
J
J
J
J
dengan
1 2
k
n n n n
Jika setiap blok Jordan
i
n i
J pada Persamaan (2) berdimensi satu, yaitu semua 1
i
n dan k n ,
maka matriks Jordan J berbentuk matriks diagonal.
4 U. SALMAH, M. KIFTIAH, F. FRAN
Definisi 4 [ 4 ] Vektor x disebut vektor eigen tergeneralisasi jika
p
A I x 0
dan
1
p
A I
x 0
Jika p 1 , maka ( A I ) x 0 dan x 0 dengan x merupakan vektor eigen.
Pada vektor eigen tergeneralisasi terdapat rantai vektor eigen tergeneralisasi yang didefinisikan
sebagai berikut:
p
x x
1
p p
A I A I
x x = x
2
2 1
1
1 2
p p
p
A I A I
A I A I
x x = x
x x = x
Himpunan vektor
1 2
p
x x x disebut rantai vektor eigen tergeneralisasi dengan panjang p. Pada
vektor eigen tergeneralisasi terdapat ruang eigen tergeneralisasi yang dinotasikan dengan
p
E
yang
didefinisikan sebagai berikut:
p p n
E A I p
x x
Contoh 5 Menentukan bentuk kanonik Jordan dari matriks A.
A
Penyelesaian
- Menentukan persamaan karakteristik dari matriks A
det I A 0
det 0 0 1 1 1 0
Dengan menggunakan ekspansi kofaktor diperoleh,
Sehingga, persamaan karakteristik matriks A yaitu
3 2
P ( ) 3 3 1 0.
- Menentukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks A.
Dengan memfaktorkan persamaan karakteristik, diperoleh nilai eigen dari matriks A yaitu 1.
Untuk 1 pada persamaan
A I x = 0 diperoleh,
A I x = 0
1
2
3
x
x
x
Dengan menggunakan eliminasi Gauss-Jordan diperoleh,
1
2
3
x
x
x
Bentuk Kanonik Jordan dalam Menyelesaikan .... 5
Sehingga,
1 2 3
x 2 x x. Misalkan
2 3
x r x , s r s , , , maka
r s
r r s r s
s
x = dengan ruang eigen berdimensi 2.
- Menentukan multiplisitas aljabar dan mutiplisitas geometri dari matriks A.
3
P ( ) 1 0 , maka multiplisitas aljabar (1) 3.
Ruang eigen 2 berdimensi 2, maka multiplisitas geometri (1) 2.
- Berdasarkan langkah 3,
, maka selanjutnya menentukan vektor eigen tergeneralisasi
sebagai berikut:
2
( A I ) x = 0
1
2
3
x
x
x
x
Misalkan
1 2 3
x r x , s x , t dengan r s t , , , maka
1
2
3
x r
x s r s t r s t
x t
x dengan ruang eigen berdimensi 3.
Menurut definisi vektor eigen tergeneralisasi, ambil
2
2 1
x E
tetapi
1
2 1
x E
yaitu
T
2
x ,
maka
A λI
2 1
x x
Ambil
1
3 1
x E
tetapi
3
x bebas linear dengan
1
x yaitu
3
T
x
- Menentukan matriks tak singular S yang kolom-kolomnya terdiri dari vektor eigen tergeneralisasi
yaitu
S
- Menentukan invers dari matriks tak singular S.
S I
Dengan menggunakan operasi baris diperoleh,
1
I S
Bentuk Kanonik Jordan dalam Menyelesaikan .... 7
Persamaan tersebut diselesaikan dengan cara menyelesaikan persamaan dari bawah ke atas. Dimulai
dari persamaan terakhir yaitu:
n
n
dw
w
dt
mempunyai solusi.
t
n n
w c e
Dilanjutkan dengan
1
1
n
n n
dw
w w
dt
mempunyai solusi
1 1
t t
n n n
w c te c e
Dilanjutkan dengan
2
2 1
n
n n
dw
w w
dt
mempunyai solusi
2
2 1 2
t t t
n n n n
t
w c e c te c e
dan seterusnya. Sehingga diperoleh,
1 1
n k n k t
n k n k
c c
w t t c e k n
k k
Solusi
1 2
T
n
w w w w tersebut dapat dibentuk menjadi matriks yang diperoleh dari Persamaan (5)
dengan mensubstitusikan k 0,1, 2, , n 1 yang didefinisikan sebagai berikut yaitu w
w M c dengan
2 3 1
2 2
3
n
n
t
n
w
t t t
t
n
t t
t
n
M e
t
t
n
t
dan
1
2
n
c
c
c
c
dengan
w
M merupakan matriks fundamental dari sistem dan c merupakan vektor dengan konstanta
1 2
n
c c c
Teorema 6 [5] Fungsi
1
p y y
N N dt
y g
adalah solusi dari sistem
d
A
dt
y
y g
Contoh 7 Menyelesaikan sistem persamaan diferensial linear berikut:
1
1 2 3
3 2
1 2 3
4 3
1 2 3
t
t
t
dy
y y y e
dt
dy
y y y e
dt
dy
y y y e
dt
8 U. SALMAH, M. KIFTIAH, F. FRAN
Penyelesaian
Berdasarkan Contoh 5 , matriks tak singular S dan inversnya serta bentuk kanonik Jordan J diperoleh,
1
S S J
Langkah selanjutnya, menentukan solusi w dengan
n
d
J
dt
w
w
1
2
2
w d
J
dt w
w
w
2
2 2
t
dw
w c e
dt
1
1 2 1 2 1 1 2
t t t
dw
w w w c e w c e c te
dt
1 3
d
J w
dt
w
w
3
3 3
t
dw
w c e
dt
sehingga diperoleh,
1 2
1
2 2
3
3
t t
t
t
c e c te
w
w c e
w
c e
w.
Kemudian menentukan
h
y dari sistem persamaan diferensial linear dengan
h
y S w sebagai berikut:
1 2
2
3
t t
t
h
t
c e c te
S c e
c e
y w
diperoleh
h
y dari sistem persamaan diferensial linear tersebut yaitu
1 2 2 3
1 2 3
1 2
t t t t
t t t
h
t t
c e c te c e c e
c e c te c e
c e c te
y
Setelah itu, menentukan
p
y
dari sistem persamaan diferensial linear dengan
1
p y y
N N dt
y g
sebagai berikut:
1
1
p y y w w
N N dt SM SM dt
y g g
t t
t
w
t
t t t t
t t t
t t
e te
SM e
e
e te e e
e te e
e te
10 U. SALMAH, M. KIFTIAH, F. FRAN
PENUTUP
Berdasarkan pembahasan yang telah dipaparkan, maka dapat ditarik kesimpulan, yaitu:
- Dalam menentukan bentuk kanonik Jordan dengan menggunakan vektor eigen tergeneralisasi dapat
dilakukan dengan langkah menentukan persamaan karakteristik dari matriks A , sehingga diperoleh
nilai eigen dan vektor eigen. Selanjutnya, menentukan multiplisitas aljabar dan multiplisitas
geometri serta vektor eigen tergeneralisasi, kemudian menentukan matriks tak singular S dan
inversnya. Sehingga diperoleh bentuk kanonik Jordan
1
J S AS.
- Aplikasi bentuk kanonik Jordan dalam menyelesaikan sistem persamaan diferensial linear
d
A
dt
y
y g dapat dilakukan dengan cara mensubstitusikan blok Jordan
n
J pada persamaan
n
d
J
dt
w
w sehingga diperoleh solusi w. Selanjutnya, mensubstitusikan solusi w pada
persamaan ,
h
y S w kemudian menentukan
1
p y y
N N dt
y g sehingga diperoleh solusi umum
sistem persamaan diferensial linear
h p
y y y.
DAFTAR PUSTAKA
[1]. Anton, H., & Rorres, C. Aljabar Linear Elementer Versi Aplikasi Jilid 1. Kedelapan ed.
Jakarta: Erlangga; 2004.
[2]. Aprilliantiwi. Matriks Jordan dan Aplikasinya pada Sistem Linier Waktu Diskrit. Jurnal
Matematika. 2012 ; 15 (1), 1-6.
[3]. Horn, R. A., & Johnson, C. Matrix Analysis. New York: Press Syndicate of the University of
Cambridge; 1988.
[4]. Chen, C.-T. Linear System Theory and Design. Third ed. New York: Oxford University Press;
[5]. Weintraub, S. H. Jordan Canonical Form: Application to Differential Equations. San Rafael:
Morgan and Claypool, 2008.
UMI SALMAH : FMIPA Untan, Pontianak, umisalmah@student.untan.ac.id
MARIATUL KIFTIAH : FMIPA Untan, Pontianak, kiftiahmariatul@math.untan.ac.id
FRANSISKUS FRAN : FMIPA Untan, Pontianak, frandly88@gmail.com
