Docsity
Docsity

Prepare for your exams
Prepare for your exams

Study with the several resources on Docsity


Earn points to download
Earn points to download

Earn points by helping other students or get them with a premium plan


Guidelines and tips
Guidelines and tips

Yes ini sangat bagus, Cheat Sheet of Electrochemistry

Bagus sekali semoga bermanfaat ya untuk kalian

Typology: Cheat Sheet

2017/2018

Uploaded on 09/19/2021

zaki-mubarak
zaki-mubarak 🇮🇩

1 document

1 / 10

Toggle sidebar

This page cannot be seen from the preview

Don't miss anything!

bg1
Buletin Ilmiah Math. Stat. dan Terapannya (Bimaster)
Volume 6, No. 01(2017), hal 1 – 8.
1
BENTUK KANONIK JORDAN DALAM MENYELESAIKAN
SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR
Umi Salmah, Mariatul Kiftiah, Fransiskus Fran
INTISARI
Bentuk kanonik Jordan merupakan matriks Jordan yang similar dengan matriks asalnya. Bentuk kanonik
Jordan dapat diaplikasikan untuk menyelesaikan sistem persamaan diferensial linear. Penelitian ini
bertujuan untuk menentukan bentuk kanonik Jordan dari suatu matriks
n
A M
dan mengaplikasikan
bentuk kanonik Jordan dalam menyelesaikan sistem persamaan diferensial linear. Langkah pertama untuk
menentukan bentuk kanonik Jordan adalah menentukan persamaan karakteristik untuk mendapatkan nilai
eigen dan vektor eigen. Selanjutnya, menentukan multiplisitas aljabar dan multiplisitas geometri serta
vektor eigen tergeneralisasi. Kemudian, menentukan matriks tak singular S dan inversnya serta bentuk
kanonik Jordan 1
.
J S AS
Setelah mendapatkan bentuk kanonik Jordan J, langkah untuk menyelesaikan
sistem persamaan diferensial linear dA
dt
y
y g
adalah menentukan solusi w dengan
n
dJ
dt
w
w
dan
n
J
merupakan blok Jordan dari J. Langkah selanjutnya, menentukan h
S
y w
dan 1
p y y
N N dt
y g
sehingga mendapatkan solusi umum sistem persamaan diferensial linear
h p
y y y
. Hasil penelitian ini
menunjukkan bahwa vektor eigen tergeneralisasi dapat digunakan untuk menentukan bentuk kanonik
Jordan dan bentuk kanonik Jordan dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan diferensial
linear.
Kata Kunci: vektor eigen tergeneralisasi, sistem persamaan diferensial
PENDAHULUAN
Suatu matriks adalah jajaran empat persegi panjang dari bilangan-bilangan. Bilangan-bilangan
dalam jajaran tersebut disebut entri dari matriks. Suatu matriks
n
A M
dapat didiagonalisasi apabila
dimensi ruang eigen sama dengan pangkat tertinggi dari faktor polinomial karakteristik. Dimensi
ruang eigen disebut juga dengan multiplisitas geometri dan jumlah kemunculan
0
sebagai faktor
pada polinomial karakteristik disebut juga dengan multiplisitas aljabar [1].
Konsep yang digunakan untuk mendiagonalisasi suatu matriks yaitu similaritas. Suatu matriks
n
B M
dikatakan similar dengan matriks
n
A M
jika ada matriks tak singular
n
S M
sedemikian
sehingga 1
B S AS
[3]. Jika matriks
n
A M
dapat didiagonalisasi, maka matriks A tersebut similar
dengan matriks diagonal. Akan tetapi, jika matriks
n
A M
tidak dapat didiagonalisasi, maka matriks
A tersebut similar dengan matriks yang hampir diagonal atau yang disebut dengan matriks Jordan [2].
Matriks Jordan yang similar dengan matriks A disebut sebagai bentuk kanonik Jordan [3].
Salah satu cara untuk mendapatkan bentuk kanonik Jordan yaitu dengan menggunakan vektor eigen
tergeneralisasi. Vektor eigen tergeneralisasi tersebut digunakan untuk memperluas basis ruang eigen
dan memperoleh n vektor eigen yang bebas linear, sehingga multiplisitas geometri sama dengan
multiplisitas aljabarnya. Jika multiplisitas aljabar telah sama dengan multiplisitas geometri, maka
matriks tersebut dapat ditentukan bentuk kanonik Jordannya yaitu 1
J S AS
dengan S merupakan
matriks tak singular yang kolom-kolomnya terdiri dari vektor eigen tergeneralisasi. Bentuk kanonik
Jordan tersebut dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan diferensial linear.
Penelitian ini bertujuan untuk menentukan bentuk kanonik Jordan dari matriks
n
A M
dengan
menggunakan vektor eigen tergeneralisasi dan mengaplikasikan bentuk kanonik Jordan dalam
pf3
pf4
pf5
pf8
pf9
pfa

Partial preview of the text

Download Yes ini sangat bagus and more Cheat Sheet Electrochemistry in PDF only on Docsity!

Buletin Ilmiah Math. Stat. dan Terapannya (Bimaster)

Volume 6 , No. 01 ( 2017 ), hal 1 – 8.

BENTUK KANONIK JORDAN DALAM MENYELESAIKAN

SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR

Umi Salmah, Mariatul Kiftiah, Fransiskus Fran

INTISARI

Bentuk kanonik Jordan merupakan matriks Jordan yang similar dengan matriks asalnya. Bentuk kanonik

Jordan dapat diaplikasikan untuk menyelesaikan sistem persamaan diferensial linear. Penelitian ini

bertujuan untuk menentukan bentuk kanonik Jordan dari suatu matriks

n

AM dan mengaplikasikan

bentuk kanonik Jordan dalam menyelesaikan sistem persamaan diferensial linear. Langkah pertama untuk

menentukan bentuk kanonik Jordan adalah menentukan persamaan karakteristik untuk mendapatkan nilai

eigen dan vektor eigen. Selanjutnya, menentukan multiplisitas aljabar dan multiplisitas geometri serta

vektor eigen tergeneralisasi. Kemudian, menentukan matriks tak singular S dan inversnya serta bentuk

kanonik Jordan

1

J S AS.

Setelah mendapatkan bentuk kanonik Jordan J, langkah untuk menyelesaikan

sistem persamaan diferensial linear

d

A

dt

 

y

y g adalah menentukan solusi w dengan  

n

d

J

dt

w

w dan

n

J  merupakan blok Jordan dari J. Langkah selanjutnya, menentukan

h

yS w dan

1

p y y

N N dt

y g

sehingga mendapatkan solusi umum sistem persamaan diferensial linear

h p

yyy. Hasil penelitian ini

menunjukkan bahwa vektor eigen tergeneralisasi dapat digunakan untuk menentukan bentuk kanonik

Jordan dan bentuk kanonik Jordan dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan diferensial

linear.

Kata Kunci: vektor eigen tergeneralisasi, sistem persamaan diferensial

PENDAHULUAN

Suatu matriks adalah jajaran empat persegi panjang dari bilangan-bilangan. Bilangan-bilangan

dalam jajaran tersebut disebut entri dari matriks. Suatu matriks n

AM dapat didiagonalisasi apabila

dimensi ruang eigen sama dengan pangkat tertinggi dari faktor polinomial karakteristik. Dimensi

ruang eigen disebut juga dengan multiplisitas geometri dan jumlah kemunculan

0

   sebagai faktor

pada polinomial karakteristik disebut juga dengan multiplisitas aljabar [1].

Konsep yang digunakan untuk mendiagonalisasi suatu matriks yaitu similaritas. Suatu matriks

n

BM dikatakan similar dengan matriks

n

AM jika ada matriks tak singular

n

SM sedemikian

sehingga

1

B S AS

 [3]. Jika matriks

n

AM dapat didiagonalisasi, maka matriks A tersebut similar

dengan matriks diagonal. Akan tetapi, jika matriks

n

A  M

tidak dapat didiagonalisasi, maka matriks

A tersebut similar dengan matriks yang hampir diagonal atau yang disebut dengan matriks Jordan [2].

Matriks Jordan yang similar dengan matriks A disebut sebagai bentuk kanonik Jordan [3].

Salah satu cara untuk mendapatkan bentuk kanonik Jordan yaitu dengan menggunakan vektor eigen

tergeneralisasi. Vektor eigen tergeneralisasi tersebut digunakan untuk memperluas basis ruang eigen

dan memperoleh n vektor eigen yang bebas linear, sehingga multiplisitas geometri sama dengan

multiplisitas aljabarnya. Jika multiplisitas aljabar telah sama dengan multiplisitas geometri, maka

matriks tersebut dapat ditentukan bentuk kanonik Jordannya yaitu

1

J S AS

 dengan S merupakan

matriks tak singular yang kolom-kolomnya terdiri dari vektor eigen tergeneralisasi. Bentuk kanonik

Jordan tersebut dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan diferensial linear.

Penelitian ini bertujuan untuk menentukan bentuk kanonik Jordan dari matriks

n

AM dengan

menggunakan vektor eigen tergeneralisasi dan mengaplikasikan bentuk kanonik Jordan dalam

2 U. SALMAH, M. KIFTIAH, F. FRAN

menyelesaikan sistem persamaan diferensial linear. Matriks yang digunakan pada penelitian ini yaitu

matriks  

n

A  M

dan sistem persamaan diferensial yang digunakan yaitu sistem persamaan

diferensial biasa linear orde pertama dengan koefisien konstan.

Langkah pertama dalam penelitian ini adalah menentukan bahwa matriks yang digunakan

merupakan matriks  

n

AM Langkah selanjutnya, menentukan persamaan karakteristik dengan

persamaan P (  )  det( I  A )  0. Dengan memfaktorkan persamaan karakteristik diperoleh nilai

eigen yang bersesuaian dengan matriks A. Kemudian mensubstitusikan nilai eigen pada persamaan

AIx = 0

diperoleh vektor eigen. Selanjutnya, menentukan multiplisitas aljabar sama dengan

multiplisitas geometri atau belum. Kemudian menentukan vektor eigen tergeneralisasi dengan

persamaan ( )

p

A  I x  0 dan

1

p

A I

x0 p  2,3,...sampai multiplisitas aljabar sama dengan

multiplisitas geometri. Setelah itu membentuk matriks tak singular S yang kolom-kolomnya terdiri

dari vektor eigen tergeneralisasi. Kemudian menentukan invers dari matriks tak singular S sehingga

didapat bentuk kanonik Jordan

1

J S AS

. Setelah mendapatkan bentuk kanonik Jordan, langkah

untuk menyelesaikan sistem persamaan diferensial linear

d

A

dt

y

y g yaitu menentukan solusi w dari

 

n

d

J

dt

w

w Kemudian, menentukan

h

yS w

dan

1

p y y

N N dt

y g dengan

y w

NSM sehingga

mendapatkan solusi umum sistem persamaan diferensial linear

h p

yyy.

BENTUK KANONIK JORDAN

Bentuk kanonik Jordan merupakan matriks Jordan yang similar dengan matriks asalnya. Matriks

Jordan terdiri dari blok-blok Jordan. Blok Jordan ( )

n

J  merupakan matriks segitiga atas berukuran

n  n dengan diagonal utama  , superdiagonal bernilai 1, dan semua entri lainnya adalah 0 yang

didefinisikan sebagai berikut:

n

J

Jika n  1 pada Persamaan (1), maka

 

1

J ( )  artinya blok Jordan tersebut berukuran 1  1 dengan

entri nilai eigen .

Matriks Jordan

n

JM merupakan penjumlahan langsung dari blok Jordan  

i

n i

J  dengan ukuran

blok Jordan

i

n

dan nilai eigen

i

yang bersesuaian dengan blok Jordan dan i  1,2,..., k sebagai

berikut:

1

2

1

2

k

n

n

n k

J

J

J

J

dengan

1 2

k

nn   nn

Jika setiap blok Jordan  

i

n i

J  pada Persamaan (2) berdimensi satu, yaitu semua 1

i

n  dan k  n ,

maka matriks Jordan J berbentuk matriks diagonal.

4 U. SALMAH, M. KIFTIAH, F. FRAN

Definisi 4 [ 4 ] Vektor x disebut vektor eigen tergeneralisasi jika

p

AI x0

dan

1

p

A  I

x0

Jika p  1 , maka ( A  I ) x  0 dan x  0 dengan x merupakan vektor eigen.

Pada vektor eigen tergeneralisasi terdapat rantai vektor eigen tergeneralisasi yang didefinisikan

sebagai berikut:

p

xx

1

p p

A I A I

x   x =x

2

2 1

1

1 2

p p

p

A I A I

A I A I

 

x x = x

x x = x

Himpunan vektor

1 2

p

x x x disebut rantai vektor eigen tergeneralisasi dengan panjang p. Pada

vektor eigen tergeneralisasi terdapat ruang eigen tergeneralisasi yang dinotasikan dengan

p

E

yang

didefinisikan sebagai berikut:

p p n

E A I p

 x    x  

Contoh 5 Menentukan bentuk kanonik Jordan dari matriks A.

A

Penyelesaian

  1. Menentukan persamaan karakteristik dari matriks A

det   I  A  0

det 0 0 1 1 1 0

Dengan menggunakan ekspansi kofaktor diperoleh,

Sehingga, persamaan karakteristik matriks A yaitu

3 2

P (  )    3   3   1 0.

  1. Menentukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks A.

Dengan memfaktorkan persamaan karakteristik, diperoleh nilai eigen dari matriks A yaitu   1.

Untuk   1 pada persamaan

AI x = 0 diperoleh,

 A  I  x = 0

1

2

3

x

x

x

Dengan menggunakan eliminasi Gauss-Jordan diperoleh,

1

2

3

x

x

x

Bentuk Kanonik Jordan dalam Menyelesaikan .... 5

Sehingga,

1 2 3

x   2 xx. Misalkan

2 3

xr x ,  s r s , ,  , maka

r s

r r s r s

s

x = dengan ruang eigen berdimensi 2.

  1. Menentukan multiplisitas aljabar dan mutiplisitas geometri dari matriks A.

 

3

P ( )   1  0 , maka multiplisitas aljabar (1) 3.

Ruang eigen   2 berdimensi 2, maka multiplisitas geometri  (1)  2.

  1. Berdasarkan langkah 3,

, maka selanjutnya menentukan vektor eigen tergeneralisasi

sebagai berikut:

2

( AI ) x = 0

1

2

3

x

x

x

x

Misalkan

1 2 3

x  r x ,  s x ,  t dengan r s t , ,  , maka

1

2

3

x r

x s r s t r s t

x t

x dengan ruang eigen berdimensi 3.

Menurut definisi vektor eigen tergeneralisasi, ambil

2

2 1

xE

tetapi

1

2 1

xE

yaitu  

T

2

x ,

maka

AλI  

2 1

x x

Ambil

1

3 1

xE

tetapi

3

x bebas linear dengan

1

x yaitu  

3

T

x  

  1. Menentukan matriks tak singular S yang kolom-kolomnya terdiri dari vektor eigen tergeneralisasi

yaitu

S

  1. Menentukan invers dari matriks tak singular S.

 S I 

Dengan menggunakan operasi baris diperoleh,

1

I S

Bentuk Kanonik Jordan dalam Menyelesaikan .... 7

Persamaan tersebut diselesaikan dengan cara menyelesaikan persamaan dari bawah ke atas. Dimulai

dari persamaan terakhir yaitu:

n

n

dw

w

dt

mempunyai solusi.

t

n n

w c e

Dilanjutkan dengan

1

1

n

n n

dw

w w

dt

mempunyai solusi

1 1

t t

n n n

w c te c e

 

 

Dilanjutkan dengan

2

2 1

n

n n

dw

w w

dt

 

mempunyai solusi

2

2 1 2

t t t

n n n n

t

w c e c te c e

  

  

dan seterusnya. Sehingga diperoleh,

 

1 1

n k n k t

n k n k

c c

w t t c e k n

k k

 

 

Solusi  

1 2

T

n

ww w w tersebut dapat dibentuk menjadi matriks yang diperoleh dari Persamaan (5)

dengan mensubstitusikan k  0,1, 2,  , n  1 yang didefinisikan sebagai berikut yaitu w

wM c dengan

 

 

 

2 3 1

2 2

3

n

n

t

n

w

t t t

t

n

t t

t

n

M e

t

t

n

t

dan

1

2

n

c

c

c

c

dengan

w

M merupakan matriks fundamental dari sistem dan c merupakan vektor dengan konstanta

1 2

n

c c c

Teorema 6 [5] Fungsi

1

p y y

N N dt

y g

adalah solusi dari sistem

d

A

dt

y

y g

Contoh 7 Menyelesaikan sistem persamaan diferensial linear berikut:

1

1 2 3

3 2

1 2 3

4 3

1 2 3

t

t

t

dy

y y y e

dt

dy

y y y e

dt

dy

y y y e

dt

8 U. SALMAH, M. KIFTIAH, F. FRAN

Penyelesaian

Berdasarkan Contoh 5 , matriks tak singular S dan inversnya serta bentuk kanonik Jordan J diperoleh,

1

S S J

Langkah selanjutnya, menentukan solusi w dengan

 

n

d

J

dt

w

w

 

1

2

2

w d

J

dt w

w

w

2

2 2

t

dw

w c e

dt

1

1 2 1 2 1 1 2

t t t

dw

w w w c e w c e c te

dt

      1 3

d

J w

dt

w

w

3

3 3

t

dw

w c e

dt

sehingga diperoleh,

1 2

1

2 2

3

3

t t

t

t

c e c te

w

w c e

w

c e

w.

Kemudian menentukan

h

y dari sistem persamaan diferensial linear dengan

h

yS w sebagai berikut:

1 2

2

3

t t

t

h

t

c e c te

S c e

c e

y w

diperoleh

h

y dari sistem persamaan diferensial linear tersebut yaitu

1 2 2 3

1 2 3

1 2

t t t t

t t t

h

t t

c e c te c e c e

c e c te c e

c e c te

y

Setelah itu, menentukan

p

y

dari sistem persamaan diferensial linear dengan

1

p y y

N N dt

y g

sebagai berikut:

 

1

1

p y y w w

N N dt SM SM dt

 

y g g

t t

t

w

t

t t t t

t t t

t t

e te

SM e

e

e te e e

e te e

e te

10 U. SALMAH, M. KIFTIAH, F. FRAN

PENUTUP

Berdasarkan pembahasan yang telah dipaparkan, maka dapat ditarik kesimpulan, yaitu:

  1. Dalam menentukan bentuk kanonik Jordan dengan menggunakan vektor eigen tergeneralisasi dapat

dilakukan dengan langkah menentukan persamaan karakteristik dari matriks A , sehingga diperoleh

nilai eigen dan vektor eigen. Selanjutnya, menentukan multiplisitas aljabar dan multiplisitas

geometri serta vektor eigen tergeneralisasi, kemudian menentukan matriks tak singular S dan

inversnya. Sehingga diperoleh bentuk kanonik Jordan

1

J S AS.

  1. Aplikasi bentuk kanonik Jordan dalam menyelesaikan sistem persamaan diferensial linear

d

A

dt

y

y g dapat dilakukan dengan cara mensubstitusikan blok Jordan  

n

J  pada persamaan

 

n

d

J

dt

w

w sehingga diperoleh solusi w. Selanjutnya, mensubstitusikan solusi w pada

persamaan ,

h

yS w kemudian menentukan

1

p y y

N N dt

y g sehingga diperoleh solusi umum

sistem persamaan diferensial linear

h p

yyy.

DAFTAR PUSTAKA

[1]. Anton, H., & Rorres, C. Aljabar Linear Elementer Versi Aplikasi Jilid 1. Kedelapan ed.

Jakarta: Erlangga; 2004.

[2]. Aprilliantiwi. Matriks Jordan dan Aplikasinya pada Sistem Linier Waktu Diskrit. Jurnal

Matematika. 2012 ; 15 (1), 1-6.

[3]. Horn, R. A., & Johnson, C. Matrix Analysis. New York: Press Syndicate of the University of

Cambridge; 1988.

[4]. Chen, C.-T. Linear System Theory and Design. Third ed. New York: Oxford University Press;

[5]. Weintraub, S. H. Jordan Canonical Form: Application to Differential Equations. San Rafael:

Morgan and Claypool, 2008.

UMI SALMAH : FMIPA Untan, Pontianak, umisalmah@student.untan.ac.id

MARIATUL KIFTIAH : FMIPA Untan, Pontianak, kiftiahmariatul@math.untan.ac.id

FRANSISKUS FRAN : FMIPA Untan, Pontianak, frandly88@gmail.com