Docsity
Docsity

Prepare for your exams
Prepare for your exams

Study with the several resources on Docsity


Earn points to download
Earn points to download

Earn points by helping other students or get them with a premium plan


Guidelines and tips
Guidelines and tips

WSDWDasdsadasdasdsadsadadsadsadasd, Slides of Materials Physics

asdsadsadsadsadsadsadsadsadsadsadadasdaaasdsadsadsadsadsadsadsadsadsadsadadasdaaasdsadsadsadsadsadsadsadsadsadsadadasdaa

Typology: Slides

2017/2018

Uploaded on 03/11/2018

muhammad-iqbal-firda
muhammad-iqbal-firda 🇮🇩

1 document

1 / 24

Toggle sidebar

This page cannot be seen from the preview

Don't miss anything!

bg1
Matematika Teknik II 1
DERET LAURENT
L.H. Wiryanto
FMIPA-ITB
Jalan Ganesha 10 Bandung-Indonesia
e-mail: leo@math.itb.ac.id
Deret Taylor:
Fungsi dinyatakan ke bentuk deret pangkat.
Dalam fungsi riil
f(x) = 1
1x= 1 + x+x2+x3+···+xn+···
diuraikan dalam deret Taylor disekitar x= 0, dikenal sebagai deret McLaurin.
Ingat:uraian deret Taylor disekitar x=x0adalah
f(x) = f(x0) + f(x0)(xx0) + f′′(x0)
2! (xx0)2+···+f(n)(x0)
n!(xx0)n+···
Begitu juga dengan
f(x) = 1
2x= 1 + (x1) + (x1)2+ (x1)3+···+ (x1)n+···
diuraikan dalam deret Taylor disekitar x= 1.
Fungsi kompleks
f(z) = sin z=zz3
3! +z5
5! z7
7! ···
diuraikan dalam deret Taylor di sekitar z= 0, atau deret McLaurin.
Masalah di sini adalah bagaimana menentukan koefisien deret, khususnya fungsi
kompleks, yang akan dihubungkan dengan integral kompleks. Berikut uraiannya.
1. f(z) adalah fungsi analitik pada domain Ddan z0D
2. Clintasan tertutup berupa lingkaran yang mempunyai pusat z0dan jari-jari
r;ztitik di dalam Cdan ztitik pada C.
pf3
pf4
pf5
pf8
pf9
pfa
pfd
pfe
pff
pf12
pf13
pf14
pf15
pf16
pf17
pf18

Partial preview of the text

Download WSDWDasdsadasdasdsadsadadsadsadasd and more Slides Materials Physics in PDF only on Docsity!

Matematika Teknik II 1

DERET LAURENT

L.H. Wiryanto FMIPA-ITB Jalan Ganesha 10 Bandung-Indonesia e-mail: leo@math.itb.ac.id

Deret Taylor: Fungsi dinyatakan ke bentuk deret pangkat.

  • Dalam fungsi riil

f (x) = (^1) −^1 x = 1 + x + x^2 + x^3 + · · · + xn^ + · · ·

diuraikan dalam deret Taylor disekitar x = 0, dikenal sebagai deret McLaurin. Ingat:uraian deret Taylor disekitar x = x 0 adalah

f (x) = f (x 0 ) + f ′(x 0 )(x − x 0 ) + f^

′′(x 0 ) 2!

(x − x 0 )^2 + · · · + f^

(n)(x 0 ) n!

(x − x 0 )n^ + · · ·

  • Begitu juga dengan

f (x) = 1 2 − x

= 1 + (x − 1) + (x − 1)^2 + (x − 1)^3 + · · · + (x − 1)n^ + · · ·

diuraikan dalam deret Taylor disekitar x = 1.

  • Fungsi kompleks

f (z) = sin z = z − z

3 3! +^

z^5 5! −^

z^7 7! · · · diuraikan dalam deret Taylor di sekitar z = 0, atau deret McLaurin.

Masalah di sini adalah bagaimana menentukan koefisien deret, khususnya fungsi kompleks, yang akan dihubungkan dengan integral kompleks. Berikut uraiannya.

  1. f (z) adalah fungsi analitik pada domain D dan z 0 ∈ D
  2. C lintasan tertutup berupa lingkaran yang mempunyai pusat z 0 dan jari-jari r; z titik di dalam C dan z∗^ titik pada C.

2 L.H. Wiryanto

  1. Tulisakan 1 z∗^ − z =^

z∗^ − z 0 − (z − z 0 ) =^

(z∗^ − z 0 )

( 1 − (^) zz∗−−zz^00

)

Secara geometri (^) ∣ ∣∣ ∣

z − z 0 z∗^ − z 0

∣∣ ∣∣ < 1

  1. Dari deret geometri 1 1 − q = 1 +^ q^ +^ q

(^2) + q (^4) + · · ·

untuk |q| < 1, ekspresi di atas dapat ditulis dalam deret 1 z∗^ − z =^

z∗^ − z 0

[ 1 + (^) zz∗^ −−^ zz^0 0

( (^) z − z 0 z∗^ − z 0

) 2

( (^) z − z 0 z∗^ − z 0

) 3 · · ·

]

  1. Hubungan integral Cauchy berbentuk ∮ C

f (z∗) z∗^ − z dz

∗ (^) = 2πif (z)

Bila 1/(z∗^ − z) di dalam integral digantikan dengan deret di atas diperoleh

2 πif (z) =

∮ C

f (z∗) z∗^ − z 0

[ 1 + (^) zz∗^ −−^ zz^0 0

( (^) z − z 0 z∗^ − z 0

) 2

( (^) z − z 0 z∗^ − z 0

) 3 · · ·

] dz∗

= a 0 + a 1 (z − z 0 ) + a 2 (z − z 0 )^2 + · · · dengan a 0 =

∮ C

f (z∗) z∗^ − z 0 dz

a 1 =

∮ C

f (z∗) (z∗^ − z 0 )^2 dz

a 2 =

∮ C

f (z∗) (z∗^ − z 0 )^3 dz

∗ ...

an =

∮ C

f (z∗) (z∗^ − z 0 )n+1^ dz

∗ ...

4 L.H. Wiryanto

Figure 1: Sketsa daerah anulus D

  1. Menurut integral Cauchy pada anulus

f (z) = g(z) − h(z)

(lihat bab 2.2) dengan

g(z) = (^21) πi

∮ C 1

f (z∗) z∗^ − z dz

h(z) = (^21) πi

∮ C 2

f (z∗) z∗^ − z dz

(a) Tinjau g. z berada di dalam lintasan C 1 , seperti pada penurunan deret Taylor, karena (^) ∣ ∣∣ ∣

z − z 0 z∗^ − z 0

∣∣ ∣∣ < 1 ,

maka berlaku g(z) =

∑^ ∞ n=

an(z − z 0 )n

dengan an = 1 2 πi

∮ c 1

f (z∗) (z∗^ − z 0 )n+^

dz∗

(b) Tinjau h. z berada di luar C 2 , sehingga ∣∣ ∣∣^ z^ −^ z^0 z∗^ − z 0

∣∣ ∣∣ > 1.

Matematika Teknik II 5

Penyebut dari integran dinyatakan dalam deret 1 z∗−z =^

z∗^ − z 0 − (z − z 0 ) =^

(z − z 0 )

[ 1 − z z∗−−zz 00

]

= − (^) z −^1 z 0

[ 1 + z

∗ (^) − z 0 z − z 0 +

( (^) z∗ (^) − z 0 z − z 0

) 2

  • · · ·

]

Sehingga

h(z) = − (^21) πi

∮ C 2

f (z∗) z − z 0

[ 1 + z

∗ (^) − z 0 z − z 0 +

( (^) z∗ (^) − z 0 z − z 0

) 2

  • · · ·

] dz∗

b 1 z − z 0 +^

b 2 (z − z 0 )^2 +^ · · · dengan b 1 = (^21) πi

∮ C 2 f^ (z

∗)dz∗

b 2 =

2 πi

∮ C 2 (z

∗ (^) − z 0 )f (z∗)dz∗

bm = (^21) πi

∮ C 2 (z

∗ (^) − z 0 )m− (^1) f (z∗)dz∗ ...

  1. Integral pada koefisien an dan juga bm sepanjang lintasan yang berbeda. Menu- rut integral Cauchy, lintasan tersebut dapat diganti yang lain selama berada pada anulus. Oleh karena itu, pilih C 1 dan C 2 yang sama C. Sehingga deret f di sekitar z 0 (titik tidak analitik)

f (z) =

∑^ ∞ n=

an(z − z 0 )n^ +

∑^ ∞ m=

bm (z − z 0 )m^

dengan an =

2 πi

∮ C

f (z∗) (z∗^ − z 0 )n+1^ dz

bm = (^21) πi

∮ C^ (z

∗ (^) − z 0 )m− (^1) f (z∗)dz∗

yang disebut deret Laurent.

Matematika Teknik II 7

Untuk beberapa bm

b 1 = 1 2 πi

∮ C

(z∗)−^2 sin z∗dz∗^ = cos 0 = 1

b 2 = (^21) πi

∮ C

(z∗)−^1 sin z∗dz∗^ = 0

b 3 = (^21) πi

∮ C^ sin^ z

∗dz∗ (^) = 0

b 4 = 1 2 πi

∮ C

z∗^ sin z∗dz∗^ = 0 ...

b 1 dihitung menggunakan integral Cauchy tentang turunan pertama, b 2 menggu- nakan integral Cauchy terkait nilai fungsi di titik tidak analitik, b 3 dan seterus- nya fungsi yang diintegralkan analitik pada C dan daerah di dalamnya (teorema Cauchy). Jadi deret Laurent

z−^2 sin z =

( − (^) 3!^1 z + 5!^1 z^3 + · · ·

) +^1 z

Mengikuti cara menjawab contoh di atas terasa sangat panjang dan perhitungan integral dilakukan berulang-ulang. Sebenarnya kita dapat menjawab lebih singkat dengan hanya menguraikan sin z di sekitar nol, dan karena sin z analitik di z = 0 maka deret yang terbentuk adalah deret Taylor

sin z = z − z

3 3! +^

z^5 5! − · · ·

Selanjutnya f (z) ditinjau sebagai perkalian dari z−^2 dan sin z maka diperoleh

z−^2 sin z = z−^2

( z − z

3 3! +^

z^5 5! − · · ·

)

=^1 z − (^) 3! z + z

3 5! − · · · Cara ini terasa lebih praktis dan mudah dibandingkan sebelumnya, kita terhindar dari perhitungan integral.

Contoh 3.2. Tentukan deret dari f (z) = z^3 cosh(1/z) di sekitar z = 0.

8 L.H. Wiryanto

Jawab. Kita berhadapan dengan fungsi tidak analitik di z = 0. Jadi deret yang hendak kita bentuk adalah deret Laurent, tetapi kita coba menghindari perhitungan yang melibatkan integral. Jadi kita tinjau g(z) = cosh z yang analitik pada seluruh bidang komplek, termasuk z = 0. Kita bentuk deret Taylor-nya dengan

g(z) = cosh z → g(0) = 1

g′(z) = sinh z → g′(0) = 0

g′′(z) = cosh z → g′′(0) = 1 ... ...

sehingga

cosh z = 1 + z

2 2 +^

z^4 4! +^

z^6 6! +^ · · ·^ ,^ |z|^ <^ ∞ Kemudian gantikan z dengan 1/z, diperoleh deret

cosh^1 z = 1 + (^21) z 2 + (^) 4!^1 z 4 + (^) 6!^1 z 6 + · · · , (^) |^1 z| < ∞ ⇔ 0 < |z| < ∞

Jadi deret Laurent dari f di sekitar z = 0

z^3 cosh^1 z

= z^3

[ 1 + 1 2 z^2

4!z^4

6!z^6

]

= z^3 + z 2

4!z

6!z^3

dengan daerah konvergensi 0 < |z| < ∞.

Contoh 3.3. Tentukan deret Laurent dari f (z) = (^) z (^3) −^1 z 4

di sekitar z = 0.

Jawab. Tuliskan f (z) = 1 z^3 (1 − z) fungsi ini mempunyai 2 titik tidak analitik, z = 0 dan z = 1. Karena kita hendak membentuk deret di sekitar z = 0, bentuk deret dalam zn^ dengan n bulat. Oleh karena itu, cukup kita uraikan faktor 1/(1 − z) dari f dan perlu meninjau daerah konvergennya.

10 L.H. Wiryanto

  1. Tentukan uraian deret Taylor di sekitar z = −i beserta daerah konvergennya.
  2. Tentukan uraian deret Laurent di sekitar z = −i beserta daerah konvergennya.
  3. Hitung

(a)

∮ C 1

z + i z + 2 + idz,^ untuk^ C^1 :^ |z^ +^ i|^ = 0.^25

(b)

∮ C 2

z + i z + 2 + idz,^ untuk^ C^2 :^ |z^ +^ i|^ = 3

(c)

∮ C 3

z + i z + 2 + idz,^ untuk^ C^3 :^ |z^ + 2 +^ i|^ =^ ρ^ dengan 0^ < ρ <^ ∞

Jawab.

  1. Lebih dahulu kita nyatakan f (z) dalam z + i

f (z) = z^ +^ i z + 2 + i

z + 2 + i

= 1 − (^) 2 + (^2 z + i)

2 (z^ +^ i)

sehingga deret Taylor dapat dibentuk dengan menguraikan bentuk f (z) ter- akhir sebagai deret geometri

f (z) = 1 −

[ 1 − 12 (z + i) +^14 (z + i)^2 − 18 (z + i)^3 + · · ·

]

=^12 (z + i) − 14 (z + i)^2 +^18 (z + i)^3 − · · ·

untuk

∣∣ ∣∣^1 2 (z^ +^ i)

∣∣ ∣∣ < 1 ⇔ |z + i| < 2

  1. Deret Laurent dari f (z) diperoleh dengan mengubah bentuk fungsi dan mengu-

Matematika Teknik II 11

raikan menjadi deret geometri, sehingga perhitungan integral tidak dilakukan.

f (z) = 1 − 1 1 2 (z^ +^ i)^

[ 1 + (^) z^2 +i

]

= 1 − (^) z 2 + i

[ 1 − (^) z 2 + i + (^) (z +^4 i) 2 − (^) (z +^8 i) 3 + · · ·

]

= 1 − (^) z 2 + i + (^) (z +^4 i) 2 − (^) (z +^8 i) 3 + (^) (z 16 + i) 4 − · · ·

untuk

∣∣ ∣∣^2 z + i

∣∣ ∣∣ < 1 ⇔ |z + i| > 2

  1. Untuk menghitung integral, kita perlu memperhatikan keberadaan dari lin- tasan C pada daerah konvergensi dari deret Taylor atau Laurent.

(a) Untuk C 1 : |z + i| = 0.25 lingkaran pusat di z = −i dan jari-jari 0. berada pada daerah konvergensi dari deret Taylor, jadi f analitik pada C dan di dalamnya, sehingga

∮ C 1

f (z)dz = 0. Bandingkan hasil integral tersebut dengan menghitung menggunakan in- tegral garis berikut ∮ C 1

z + i z + i + 2dz^ =

∫ (^2) π 0

  1. 25 eit
  2. 25 eit^ + 2^0.^25 ie

itdt

= 0. 0625 i

∫ (^2) π 0

cos 2t + i sin 2t 0 .25 cos t + 2 + 0. 25 i sin tdt Setelah memisahkan bagian riil dan imaginer, kita dapatkan ∫ (^2) π 0

cos(2t)(0.25 cos t + 2) + 0.25 sin(2t) sin t 4 .0625 + cos t

dt = 0,

∫ (^2) π 0

(sin(2t)(0.25 cos t + 2) − 0 .25 cos(2t) sin t) 4 .0625 + cos t dt^ = 0 sehingga diperoleh hasil yang sama dengan sebelumnya. (b) Untuk C 2 : |z+i| = 3, lintasan berada pada daerah konvergensi dari deret Laurent, sehingga

∮ C 2 f^ (z)dz^ = 2πib^1.^ Sedangkan pada deret Laurent, koefisien dari 1/(z + i) adalah b 1 = −2. Jadi

∮ C^ f^ (z)dz^ =^ −^4 πi.

Matematika Teknik II 13

  1. Pole and orde.
    • Bentuk deret Laurent

f (z) =

∑^ ∞ n=

an(z − z 0 )n^ +

∑^ ∞ m=

bm (z − z 0 )m

  • Pada penjumlahan kedua: jika mempunyai suku berhingga, misalnya sampai bM /(z − z 0 )M^ dan berikutnya nol, maka titik singular z 0 dise- but pole dan M disebut orde dari pole tersebut.
  • Pole orde 1 disebut pole sederhana (simple pole), deret berbentuk

f (z) =

∑^ ∞ n=

an(z − z 0 )n^ + (^) z −b^1 z 0

  1. z = z 0 disebut titik nol dari fungsi analitik f (z) jika f (z 0 ) = 0
    • Titik nol berorde n jika f ′(z 0 ) = f ′′(z 0 ) = · · · = f (n−1)(z 0 ) = 0 dan f (n)(z 0 ) 6 = 0, sehingga deretnya

f (z) = an(z − z 0 )n^ + an+1(z − z 0 )n+1^ + · · · +

∑^ ∞ m=

bm (z − z 0 )m

  • Titik nol berorde 1 disebut titik nol sederhana (simple nol)
  • Titik nol dari fungsi analitik tidak merambat pada turunan, artinya jika f (z 0 ) = 0 untuk fungsi analitik, f ′(z 0 ) belum tentu bernilai nol.
  1. z 0 adalah nol dari fungsi analitik f (z) berorde n ⇔ z 0 pole dari 1/f (z) berorde n.
  2. f (z) analitik sepanjang lintasan tertutup C dan titik-titik di dalamnya kecuali z 0. Deret Laurent dari f

f (z) =

∑^ ∞ n=

an(z − z 0 )n^ +

∑^ ∞ m=

bm (z − z 0 )m

dengan b 1 =

2 πi

∮ C^ f^ (z)dz disebut residu dari f (z) di z = z 0 dan dinotasikan

b 1 = Resz=z 0 f (z).

14 L.H. Wiryanto

Rumusan menghitung residu.

  1. Untuk pole sederhana, kita perhatikan deret Laurent

f (z) = (^) z −b^1 z 0

  • a 0 + a 1 (z − z 0 ) + · · ·

⇔ (z − z 0 )f (z) = b 1 + a 0 (z − z 0 ) + a 1 (z − z 0 )^2 + · · · Dengan mengambil limit z → z 0 diperoleh

b 1 = Resz=z 0 f (z) = lim z→z 0 (z − z 0 )f (z) (5)

  1. Fungsi kompleks berbentuk f (z) = p q((zz))

dengan p dan q analitik, p(z 0 ) 6 = 0 dan z 0 nol sederhana dari q(z), yang berarti sebagai pole sederhana dari f. Deret Taylor dari q di sekitar z 0

q(z) = (z − z 0 )q′(z 0 ) + (z^ −^ z^0 )

2 2! q

′′(z 0 ) + · · ·

= (z − z 0 )

[ q′(z 0 ) + (z^ − 2!^ z^0 )q′′(z 0 ) + · · ·

]

Bila dikembalikan ke f dan residu dari f dihitung menggunakan limit seperti sebelumnya

Resz=z 0 f (z) = lim z→z 0 (z − z 0 )p q((zz))

= lim z→z 0 (z^ −^ z^0 )p(z) (z − z 0 )

[ q′(z 0 ) + (z− 2!z 0 )q′′(z 0 ) + · · ·

]

Perhitungan limit menghasilkan

Resz=z 0 f (z) = (^) qp′((zz^0 ) 0 )^

  1. Misal f (z) fungsi kompleks yang mempunyai pole berorde m > 1 di z = z 0 , deret Laurent dari f

f (z) = (^) (z −bm z 0 )m^

  • · · · + (^) z −b^1 z 0

  • a 0 + a 1 (z − z 0 ) + · · ·

⇔ (z − z 0 )mf (z) = bm + · · · + b 1 (z − z 0 )m−^1 + a 0 (z − z 0 )m^ + a 1 (z − z 0 )m+1^ + · · ·

16 L.H. Wiryanto

Figure 2: Sketsa lintasan C dan n lintasan lain di dalamnya.

Setelah kita mengenal rumus residu dan menerapkan pada beberapa fungsi, kita akan menerapkan kegunaannya dalam integral. Untuk itu kita perhatikan ∮ C

f (z)dz

dengan C lintasan tertutup yang mengitari n titik singular z 1 , z 2 , · · · , zn dari fungsi kompleks f. Menurut teorema Cauchy, kita dapat membuat n lintasan C 1 , C 2 , · · · , Cn di dalam C, yang masing-masing hanya mengitari satu titik singular seperti diilus- trasikan pada Gambar , dan menyatakan integral di atas sebagai ∮ C^ f^ (z)dz^ =

∮ C 1 f^ (z)dz^ +

∮ C 2 f^ (z)dz^ +^ · · ·^ +

∮ Cn^ f^ (z)dz

Selanjutnya tiap integral pada ruas kanan dihitung menggunakan residu, yaitu ∮ C 1

f (z)dz = 2πiResz=z 1 f (z)

∮ C 2 f^ (z)dz^ = 2πiResz=z^2 f^ (z)

... ... ∮ Cn

f (z)dz = 2πiResz=zn f (z).

Sehingga (^) ∮

C^ f^ (z)dz^ = 2πi

∑^ n j=

Resz=zj f (z) (8)

Matematika Teknik II 17

Dalam perhitungannya, di sini kita tidak perlu membentuk n buah deret Laurent dari f terkait dengan titik singgularnya untuk menghitung residu b 1 , tetapi dengan rumus yang ada kita dapat menghitung lebih praktis, kecuali f bukan jenis yang disyaratkan pada rumus.

Contoh 3.6. Hitung (^) ∮

C

9 z + i z(z^2 + 1)dz dengan lintasan C : |z| = 5

Jawab. Tiga titik singular dari f adalah z = 0, i, −i, yang ketiganya ada di dalam C dan merupakan pole sederhana. Residu masing-masing dihitung menggunakan (5)

Resz=0f (z) = lim z→ 0 z (^) z(^9 zz 2 ++ 1)^ i = i

Resz=if (z) = lim z→ 0 (z − i)

9 z + i z(z^2 + 1) =^ −^5 i

Resz=−if (z) = 4i (lihat contoh 3.5. nomer 2.)

Selanjutnya integral di atas dihitung menggunakan (8), memberikan ∮ C

9 z + i z(z^2 + 1)

dz = 2πi{i − 5 i + 4i} = 0

Terapan integral kompleks pada integral riil Pada bagian selanjutnya kita perkenalkan bagaimana menggunakan integral kom- pleks untuk menghitung integral dari fungsi riil. Dalam pembahsan di sini kita kelompokkan 3 bentuk integral riil yang dapat dihitung menggunakan integral kom- pleks.

  1. Integral fungsi trigonometri Integral pada kelompok ini secara umum berbentuk

I =

∫ (^2) π 0 F^ (cos^ θ,^ sin^ θ)dθ

dengan F merupakan fungsi rational dari cos dan sin, dan F berhingga pada selang [0, 2 π].

Matematika Teknik II 19

Figure 3: Sketsa lintasan C = [−R, R] ⋃^ S.

  1. Integral tak wajar Integral pada kelompok ini secara umum berbentuk ∫ (^) ∞ −∞

f (x)dx

yang telah dikenalkan untuk mengerjakan dengan memecah integral menjadi dua dan masing-masing dihitung menggunakan limit. Bila limit masing-masing ada (konver- gen), perhitungan dapat dilakukan dengan ∫ (^) ∞ −∞^ f^ (x)dx^ = lim^ R→∞

∫ (^) R −R^ f^ (x)dx

Hal ini dijamin untuk

f (x) = p r((xx))

fungsi rasional dengan q(x) 6 = 0 dan derajat dari q setidaknya 2 tingkat di atas derajat p, yaitu p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x^2 + · · · + anxn q(x) = b 0 + b 1 x + b 2 x^2 + · · · + bmxm

an dan bm tidak nol dan m ≥ n + 2. Dalam kaitannya dengan integral kompleks, kita nyatakan ∮ C^ f^ (z)dz^ =

∫ S^ f^ (z)dz^ +

∫ (^) R −R^ f^ (x)dx

dengan C merupakan lintasan tertutup yang merupakan gabungan dari selang [−R, R] dan setengah lingkaran bagian atas pusat 0 dan jari-jari R, seperti diberikan pada

20 L.H. Wiryanto

Gambar. Integral pada ruas kiri selanjutnya dihitung menggunakan metoda residu, sehingga (^) ∫ R −R

f (x)dx = 2πi

∑ Resf (z) −

∫ S

f (z)dz

Integral pada ruas kiri menjadi integral tak wajar dengan mengambil limit R → ∞, sedangkan integral sepanjang S dapat dianalisa sebagai berikut

  • S : z = Reiθ^ , 0 ≤ θ ≤ π
  • Jaminan limit ada pada fungsi rasional memberikan

|f (z)| < K |z|^2 untuk konstanta K.

  • Batas integral (^) ∣ ∣∣ ∣

∫ S^ f^ (z)dz

∣∣ ∣∣ < K R^2 πR^ =^

πK R

  • Pengambilan limit R → ∞ mengakibatkan

∫ S^ f^ (z)dz^ →^0

Jadi integral tak wajar dapat dihitung menggunakan ∫ (^) ∞ −∞

f (x)dx = 2πi

∑ Resf (z) (10)

tanpa harus menentukan antiturunan dari f (x).

Contoh 3.8. Hitung (^) ∫ ∞ −∞

x^2 (x^2 + 1)(x^2 + 4)

dx

Jawab. Fungsi kompleks yang berpadanan dengan integran adalah

f (z) = z

2 (z^2 + 1)(z^2 + 4) =^

z^2 (z − i)(z + i)(z − 2 i)(z + 2i)

Fungsi ini mempunyai titik singular z = i, −i, 2 i, − 2 i bertipe pole sederhana. Sedan- gkan lintasan yang kita ambil adalah setengah lingkaran bagian atas, sehingga hanya