
















Study with the several resources on Docsity
Earn points by helping other students or get them with a premium plan
Prepare for your exams
Study with the several resources on Docsity
Earn points to download
Earn points by helping other students or get them with a premium plan
Community
Ask the community for help and clear up your study doubts
Discover the best universities in your country according to Docsity users
Free resources
Download our free guides on studying techniques, anxiety management strategies, and thesis advice from Docsity tutors
asdsadsadsadsadsadsadsadsadsadsadadasdaaasdsadsadsadsadsadsadsadsadsadsadadasdaaasdsadsadsadsadsadsadsadsadsadsadadasdaa
Typology: Slides
1 / 24
This page cannot be seen from the preview
Don't miss anything!
Matematika Teknik II 1
L.H. Wiryanto FMIPA-ITB Jalan Ganesha 10 Bandung-Indonesia e-mail: leo@math.itb.ac.id
Deret Taylor: Fungsi dinyatakan ke bentuk deret pangkat.
f (x) = (^1) −^1 x = 1 + x + x^2 + x^3 + · · · + xn^ + · · ·
diuraikan dalam deret Taylor disekitar x = 0, dikenal sebagai deret McLaurin. Ingat:uraian deret Taylor disekitar x = x 0 adalah
f (x) = f (x 0 ) + f ′(x 0 )(x − x 0 ) + f^
′′(x 0 ) 2!
(x − x 0 )^2 + · · · + f^
(n)(x 0 ) n!
(x − x 0 )n^ + · · ·
f (x) = 1 2 − x
= 1 + (x − 1) + (x − 1)^2 + (x − 1)^3 + · · · + (x − 1)n^ + · · ·
diuraikan dalam deret Taylor disekitar x = 1.
f (z) = sin z = z − z
3 3! +^
z^5 5! −^
z^7 7! · · · diuraikan dalam deret Taylor di sekitar z = 0, atau deret McLaurin.
Masalah di sini adalah bagaimana menentukan koefisien deret, khususnya fungsi kompleks, yang akan dihubungkan dengan integral kompleks. Berikut uraiannya.
2 L.H. Wiryanto
z∗^ − z 0 − (z − z 0 ) =^
(z∗^ − z 0 )
( 1 − (^) zz∗−−zz^00
)
Secara geometri (^) ∣ ∣∣ ∣
z − z 0 z∗^ − z 0
∣∣ ∣∣ < 1
(^2) + q (^4) + · · ·
untuk |q| < 1, ekspresi di atas dapat ditulis dalam deret 1 z∗^ − z =^
z∗^ − z 0
[ 1 + (^) zz∗^ −−^ zz^0 0
( (^) z − z 0 z∗^ − z 0
) 2
( (^) z − z 0 z∗^ − z 0
) 3 · · ·
]
f (z∗) z∗^ − z dz
∗ (^) = 2πif (z)
Bila 1/(z∗^ − z) di dalam integral digantikan dengan deret di atas diperoleh
2 πif (z) =
∮ C
f (z∗) z∗^ − z 0
[ 1 + (^) zz∗^ −−^ zz^0 0
( (^) z − z 0 z∗^ − z 0
) 2
( (^) z − z 0 z∗^ − z 0
) 3 · · ·
] dz∗
= a 0 + a 1 (z − z 0 ) + a 2 (z − z 0 )^2 + · · · dengan a 0 =
∮ C
f (z∗) z∗^ − z 0 dz
∗
a 1 =
∮ C
f (z∗) (z∗^ − z 0 )^2 dz
∗
a 2 =
∮ C
f (z∗) (z∗^ − z 0 )^3 dz
∗ ...
an =
∮ C
f (z∗) (z∗^ − z 0 )n+1^ dz
∗ ...
4 L.H. Wiryanto
Figure 1: Sketsa daerah anulus D
f (z) = g(z) − h(z)
(lihat bab 2.2) dengan
g(z) = (^21) πi
∮ C 1
f (z∗) z∗^ − z dz
∗
h(z) = (^21) πi
∮ C 2
f (z∗) z∗^ − z dz
∗
(a) Tinjau g. z berada di dalam lintasan C 1 , seperti pada penurunan deret Taylor, karena (^) ∣ ∣∣ ∣
z − z 0 z∗^ − z 0
∣∣ ∣∣ < 1 ,
maka berlaku g(z) =
∑^ ∞ n=
an(z − z 0 )n
dengan an = 1 2 πi
∮ c 1
f (z∗) (z∗^ − z 0 )n+^
dz∗
(b) Tinjau h. z berada di luar C 2 , sehingga ∣∣ ∣∣^ z^ −^ z^0 z∗^ − z 0
∣∣ ∣∣ > 1.
Matematika Teknik II 5
Penyebut dari integran dinyatakan dalam deret 1 z∗−z =^
z∗^ − z 0 − (z − z 0 ) =^
(z − z 0 )
[ 1 − z z∗−−zz 00
]
= − (^) z −^1 z 0
[ 1 + z
∗ (^) − z 0 z − z 0 +
( (^) z∗ (^) − z 0 z − z 0
) 2
]
Sehingga
h(z) = − (^21) πi
∮ C 2
f (z∗) z − z 0
[ 1 + z
∗ (^) − z 0 z − z 0 +
( (^) z∗ (^) − z 0 z − z 0
) 2
] dz∗
b 1 z − z 0 +^
b 2 (z − z 0 )^2 +^ · · · dengan b 1 = (^21) πi
∮ C 2 f^ (z
∗)dz∗
b 2 =
2 πi
∮ C 2 (z
∗ (^) − z 0 )f (z∗)dz∗
bm = (^21) πi
∮ C 2 (z
∗ (^) − z 0 )m− (^1) f (z∗)dz∗ ...
f (z) =
∑^ ∞ n=
an(z − z 0 )n^ +
∑^ ∞ m=
bm (z − z 0 )m^
dengan an =
2 πi
∮ C
f (z∗) (z∗^ − z 0 )n+1^ dz
∗
bm = (^21) πi
∮ C^ (z
∗ (^) − z 0 )m− (^1) f (z∗)dz∗
yang disebut deret Laurent.
Matematika Teknik II 7
Untuk beberapa bm
b 1 = 1 2 πi
∮ C
(z∗)−^2 sin z∗dz∗^ = cos 0 = 1
b 2 = (^21) πi
∮ C
(z∗)−^1 sin z∗dz∗^ = 0
b 3 = (^21) πi
∮ C^ sin^ z
∗dz∗ (^) = 0
b 4 = 1 2 πi
∮ C
z∗^ sin z∗dz∗^ = 0 ...
b 1 dihitung menggunakan integral Cauchy tentang turunan pertama, b 2 menggu- nakan integral Cauchy terkait nilai fungsi di titik tidak analitik, b 3 dan seterus- nya fungsi yang diintegralkan analitik pada C dan daerah di dalamnya (teorema Cauchy). Jadi deret Laurent
z−^2 sin z =
( − (^) 3!^1 z + 5!^1 z^3 + · · ·
) +^1 z
Mengikuti cara menjawab contoh di atas terasa sangat panjang dan perhitungan integral dilakukan berulang-ulang. Sebenarnya kita dapat menjawab lebih singkat dengan hanya menguraikan sin z di sekitar nol, dan karena sin z analitik di z = 0 maka deret yang terbentuk adalah deret Taylor
sin z = z − z
3 3! +^
z^5 5! − · · ·
Selanjutnya f (z) ditinjau sebagai perkalian dari z−^2 dan sin z maka diperoleh
z−^2 sin z = z−^2
( z − z
3 3! +^
z^5 5! − · · ·
)
=^1 z − (^) 3! z + z
3 5! − · · · Cara ini terasa lebih praktis dan mudah dibandingkan sebelumnya, kita terhindar dari perhitungan integral.
Contoh 3.2. Tentukan deret dari f (z) = z^3 cosh(1/z) di sekitar z = 0.
8 L.H. Wiryanto
Jawab. Kita berhadapan dengan fungsi tidak analitik di z = 0. Jadi deret yang hendak kita bentuk adalah deret Laurent, tetapi kita coba menghindari perhitungan yang melibatkan integral. Jadi kita tinjau g(z) = cosh z yang analitik pada seluruh bidang komplek, termasuk z = 0. Kita bentuk deret Taylor-nya dengan
g(z) = cosh z → g(0) = 1
g′(z) = sinh z → g′(0) = 0
g′′(z) = cosh z → g′′(0) = 1 ... ...
sehingga
cosh z = 1 + z
2 2 +^
z^4 4! +^
z^6 6! +^ · · ·^ ,^ |z|^ <^ ∞ Kemudian gantikan z dengan 1/z, diperoleh deret
cosh^1 z = 1 + (^21) z 2 + (^) 4!^1 z 4 + (^) 6!^1 z 6 + · · · , (^) |^1 z| < ∞ ⇔ 0 < |z| < ∞
Jadi deret Laurent dari f di sekitar z = 0
z^3 cosh^1 z
= z^3
[ 1 + 1 2 z^2
4!z^4
6!z^6
]
= z^3 + z 2
4!z
6!z^3
dengan daerah konvergensi 0 < |z| < ∞.
Contoh 3.3. Tentukan deret Laurent dari f (z) = (^) z (^3) −^1 z 4
di sekitar z = 0.
Jawab. Tuliskan f (z) = 1 z^3 (1 − z) fungsi ini mempunyai 2 titik tidak analitik, z = 0 dan z = 1. Karena kita hendak membentuk deret di sekitar z = 0, bentuk deret dalam zn^ dengan n bulat. Oleh karena itu, cukup kita uraikan faktor 1/(1 − z) dari f dan perlu meninjau daerah konvergennya.
10 L.H. Wiryanto
(a)
∮ C 1
z + i z + 2 + idz,^ untuk^ C^1 :^ |z^ +^ i|^ = 0.^25
(b)
∮ C 2
z + i z + 2 + idz,^ untuk^ C^2 :^ |z^ +^ i|^ = 3
(c)
∮ C 3
z + i z + 2 + idz,^ untuk^ C^3 :^ |z^ + 2 +^ i|^ =^ ρ^ dengan 0^ < ρ <^ ∞
Jawab.
f (z) = z^ +^ i z + 2 + i
z + 2 + i
= 1 − (^) 2 + (^2 z + i)
2 (z^ +^ i)
sehingga deret Taylor dapat dibentuk dengan menguraikan bentuk f (z) ter- akhir sebagai deret geometri
f (z) = 1 −
[ 1 − 12 (z + i) +^14 (z + i)^2 − 18 (z + i)^3 + · · ·
]
=^12 (z + i) − 14 (z + i)^2 +^18 (z + i)^3 − · · ·
untuk
∣∣ ∣∣^1 2 (z^ +^ i)
∣∣ ∣∣ < 1 ⇔ |z + i| < 2
Matematika Teknik II 11
raikan menjadi deret geometri, sehingga perhitungan integral tidak dilakukan.
f (z) = 1 − 1 1 2 (z^ +^ i)^
[ 1 + (^) z^2 +i
]
= 1 − (^) z 2 + i
[ 1 − (^) z 2 + i + (^) (z +^4 i) 2 − (^) (z +^8 i) 3 + · · ·
]
= 1 − (^) z 2 + i + (^) (z +^4 i) 2 − (^) (z +^8 i) 3 + (^) (z 16 + i) 4 − · · ·
untuk
∣∣ ∣∣^2 z + i
∣∣ ∣∣ < 1 ⇔ |z + i| > 2
(a) Untuk C 1 : |z + i| = 0.25 lingkaran pusat di z = −i dan jari-jari 0. berada pada daerah konvergensi dari deret Taylor, jadi f analitik pada C dan di dalamnya, sehingga
∮ C 1
f (z)dz = 0. Bandingkan hasil integral tersebut dengan menghitung menggunakan in- tegral garis berikut ∮ C 1
z + i z + i + 2dz^ =
∫ (^2) π 0
itdt
= 0. 0625 i
∫ (^2) π 0
cos 2t + i sin 2t 0 .25 cos t + 2 + 0. 25 i sin tdt Setelah memisahkan bagian riil dan imaginer, kita dapatkan ∫ (^2) π 0
cos(2t)(0.25 cos t + 2) + 0.25 sin(2t) sin t 4 .0625 + cos t
dt = 0,
∫ (^2) π 0
(sin(2t)(0.25 cos t + 2) − 0 .25 cos(2t) sin t) 4 .0625 + cos t dt^ = 0 sehingga diperoleh hasil yang sama dengan sebelumnya. (b) Untuk C 2 : |z+i| = 3, lintasan berada pada daerah konvergensi dari deret Laurent, sehingga
∮ C 2 f^ (z)dz^ = 2πib^1.^ Sedangkan pada deret Laurent, koefisien dari 1/(z + i) adalah b 1 = −2. Jadi
∮ C^ f^ (z)dz^ =^ −^4 πi.
Matematika Teknik II 13
f (z) =
∑^ ∞ n=
an(z − z 0 )n^ +
∑^ ∞ m=
bm (z − z 0 )m
f (z) =
∑^ ∞ n=
an(z − z 0 )n^ + (^) z −b^1 z 0
f (z) = an(z − z 0 )n^ + an+1(z − z 0 )n+1^ + · · · +
∑^ ∞ m=
bm (z − z 0 )m
f (z) =
∑^ ∞ n=
an(z − z 0 )n^ +
∑^ ∞ m=
bm (z − z 0 )m
dengan b 1 =
2 πi
∮ C^ f^ (z)dz disebut residu dari f (z) di z = z 0 dan dinotasikan
b 1 = Resz=z 0 f (z).
14 L.H. Wiryanto
Rumusan menghitung residu.
f (z) = (^) z −b^1 z 0
⇔ (z − z 0 )f (z) = b 1 + a 0 (z − z 0 ) + a 1 (z − z 0 )^2 + · · · Dengan mengambil limit z → z 0 diperoleh
b 1 = Resz=z 0 f (z) = lim z→z 0 (z − z 0 )f (z) (5)
dengan p dan q analitik, p(z 0 ) 6 = 0 dan z 0 nol sederhana dari q(z), yang berarti sebagai pole sederhana dari f. Deret Taylor dari q di sekitar z 0
q(z) = (z − z 0 )q′(z 0 ) + (z^ −^ z^0 )
2 2! q
′′(z 0 ) + · · ·
= (z − z 0 )
[ q′(z 0 ) + (z^ − 2!^ z^0 )q′′(z 0 ) + · · ·
]
Bila dikembalikan ke f dan residu dari f dihitung menggunakan limit seperti sebelumnya
Resz=z 0 f (z) = lim z→z 0 (z − z 0 )p q((zz))
= lim z→z 0 (z^ −^ z^0 )p(z) (z − z 0 )
[ q′(z 0 ) + (z− 2!z 0 )q′′(z 0 ) + · · ·
]
Perhitungan limit menghasilkan
Resz=z 0 f (z) = (^) qp′((zz^0 ) 0 )^
f (z) = (^) (z −bm z 0 )m^
· · · + (^) z −b^1 z 0
a 0 + a 1 (z − z 0 ) + · · ·
⇔ (z − z 0 )mf (z) = bm + · · · + b 1 (z − z 0 )m−^1 + a 0 (z − z 0 )m^ + a 1 (z − z 0 )m+1^ + · · ·
16 L.H. Wiryanto
Figure 2: Sketsa lintasan C dan n lintasan lain di dalamnya.
Setelah kita mengenal rumus residu dan menerapkan pada beberapa fungsi, kita akan menerapkan kegunaannya dalam integral. Untuk itu kita perhatikan ∮ C
f (z)dz
dengan C lintasan tertutup yang mengitari n titik singular z 1 , z 2 , · · · , zn dari fungsi kompleks f. Menurut teorema Cauchy, kita dapat membuat n lintasan C 1 , C 2 , · · · , Cn di dalam C, yang masing-masing hanya mengitari satu titik singular seperti diilus- trasikan pada Gambar , dan menyatakan integral di atas sebagai ∮ C^ f^ (z)dz^ =
∮ C 1 f^ (z)dz^ +
∮ C 2 f^ (z)dz^ +^ · · ·^ +
∮ Cn^ f^ (z)dz
Selanjutnya tiap integral pada ruas kanan dihitung menggunakan residu, yaitu ∮ C 1
f (z)dz = 2πiResz=z 1 f (z)
∮ C 2 f^ (z)dz^ = 2πiResz=z^2 f^ (z)
... ... ∮ Cn
f (z)dz = 2πiResz=zn f (z).
Sehingga (^) ∮
C^ f^ (z)dz^ = 2πi
∑^ n j=
Resz=zj f (z) (8)
Matematika Teknik II 17
Dalam perhitungannya, di sini kita tidak perlu membentuk n buah deret Laurent dari f terkait dengan titik singgularnya untuk menghitung residu b 1 , tetapi dengan rumus yang ada kita dapat menghitung lebih praktis, kecuali f bukan jenis yang disyaratkan pada rumus.
Contoh 3.6. Hitung (^) ∮
C
9 z + i z(z^2 + 1)dz dengan lintasan C : |z| = 5
Jawab. Tiga titik singular dari f adalah z = 0, i, −i, yang ketiganya ada di dalam C dan merupakan pole sederhana. Residu masing-masing dihitung menggunakan (5)
Resz=0f (z) = lim z→ 0 z (^) z(^9 zz 2 ++ 1)^ i = i
Resz=if (z) = lim z→ 0 (z − i)
9 z + i z(z^2 + 1) =^ −^5 i
Resz=−if (z) = 4i (lihat contoh 3.5. nomer 2.)
Selanjutnya integral di atas dihitung menggunakan (8), memberikan ∮ C
9 z + i z(z^2 + 1)
dz = 2πi{i − 5 i + 4i} = 0
Terapan integral kompleks pada integral riil Pada bagian selanjutnya kita perkenalkan bagaimana menggunakan integral kom- pleks untuk menghitung integral dari fungsi riil. Dalam pembahsan di sini kita kelompokkan 3 bentuk integral riil yang dapat dihitung menggunakan integral kom- pleks.
I =
∫ (^2) π 0 F^ (cos^ θ,^ sin^ θ)dθ
dengan F merupakan fungsi rational dari cos dan sin, dan F berhingga pada selang [0, 2 π].
Matematika Teknik II 19
Figure 3: Sketsa lintasan C = [−R, R] ⋃^ S.
f (x)dx
yang telah dikenalkan untuk mengerjakan dengan memecah integral menjadi dua dan masing-masing dihitung menggunakan limit. Bila limit masing-masing ada (konver- gen), perhitungan dapat dilakukan dengan ∫ (^) ∞ −∞^ f^ (x)dx^ = lim^ R→∞
∫ (^) R −R^ f^ (x)dx
Hal ini dijamin untuk
f (x) = p r((xx))
fungsi rasional dengan q(x) 6 = 0 dan derajat dari q setidaknya 2 tingkat di atas derajat p, yaitu p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x^2 + · · · + anxn q(x) = b 0 + b 1 x + b 2 x^2 + · · · + bmxm
an dan bm tidak nol dan m ≥ n + 2. Dalam kaitannya dengan integral kompleks, kita nyatakan ∮ C^ f^ (z)dz^ =
∫ S^ f^ (z)dz^ +
∫ (^) R −R^ f^ (x)dx
dengan C merupakan lintasan tertutup yang merupakan gabungan dari selang [−R, R] dan setengah lingkaran bagian atas pusat 0 dan jari-jari R, seperti diberikan pada
20 L.H. Wiryanto
Gambar. Integral pada ruas kiri selanjutnya dihitung menggunakan metoda residu, sehingga (^) ∫ R −R
f (x)dx = 2πi
∑ Resf (z) −
∫ S
f (z)dz
Integral pada ruas kiri menjadi integral tak wajar dengan mengambil limit R → ∞, sedangkan integral sepanjang S dapat dianalisa sebagai berikut
|f (z)| < K |z|^2 untuk konstanta K.
∫ S^ f^ (z)dz
∣∣ ∣∣ < K R^2 πR^ =^
πK R
∫ S^ f^ (z)dz^ →^0
Jadi integral tak wajar dapat dihitung menggunakan ∫ (^) ∞ −∞
f (x)dx = 2πi
∑ Resf (z) (10)
tanpa harus menentukan antiturunan dari f (x).
Contoh 3.8. Hitung (^) ∫ ∞ −∞
x^2 (x^2 + 1)(x^2 + 4)
dx
Jawab. Fungsi kompleks yang berpadanan dengan integran adalah
f (z) = z
2 (z^2 + 1)(z^2 + 4) =^
z^2 (z − i)(z + i)(z − 2 i)(z + 2i)
Fungsi ini mempunyai titik singular z = i, −i, 2 i, − 2 i bertipe pole sederhana. Sedan- gkan lintasan yang kita ambil adalah setengah lingkaran bagian atas, sehingga hanya