VOLUMEN DE UNA INTEGRAL UPAO, Slides of Materials science

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MATEMÁTICA II

SEMANA 10: VOLÚMENES

MATEMÁTICA II – INGENIERÍA

1. VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN

1. 1. MÉTODO DEL DISCO

Sea 𝑦 = 𝑓 𝑥 una función continua en el

intervalo cerrado 𝑎, 𝑏 tal que 𝑓 𝑥 ≥ 0. Sea

𝑆 el sólido de revolución obtenido al rotar

alrededor del eje 𝑥 la región limitada por la

curva 𝑦 = 𝑓 𝑥 , el eje 𝑥 y las rectas 𝑥 = 𝑎 y

𝑥 = 𝑏. Entonces, el volumen de 𝑆 es dado por:

𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 2 𝑑𝑥 GRÁFICA:

1. VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN

1. 1. MÉTODO DEL DISCO

GRÁFICA: 𝑉 = lim 𝑛→∞ ෍ 𝑖= 1 𝑛 𝜋𝑓 2 (𝑐𝑖)(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖− 1 )

Estas divisiones determinan en el sólido 𝑛 discos

cuya suma se aproxima al volumen del mismo.

Teniendo en cuenta que el volumen de un disco

es 𝜋𝑅

2

𝑤, la suma de Riemann asociada a la

partición, y que da un volumen aproximado del

sólido es:

1. VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN

1. 1. MÉTODO DEL DISCO

FÓRMULA DEL VOLUMEN POR DISCOS Por tanto, recordando la definición de integral definida de Riemann se obtiene que: Si se toma el eje de revolución verticalmente, se obtiene una fórmula similar:

1. 1. 2. EJEMPLO 2 Encuentre el volumen 𝑉 del sólido formado al girar alrededor del eje 𝑥 la región acotada por las gráficas de 𝑦 = 𝑥, 𝑦 = 0 y 𝑥 = 4.

SOLUCIÓN:

0 4 ( 𝑥) 2 𝑑𝑥 = 𝜋 න 0 4 𝑥 𝑑𝑥 = 𝜋 ൨

2 0 4 = 8 𝜋 𝑢 3 GRÁFICA: 𝑦 = 𝑥 ( 4 , 2 )

1. VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN

1. 2. MÉTODO DEL ANILLO CIRCULAR

El volumen del sólido de revolución

engendrado por rotación alrededor del

eje 𝑥 de la región acotada por las

curvas 𝑦 = 𝑓 𝑥 y 𝑦 = 𝑔 𝑥

donde𝑓 𝑥 ≥ 𝑔 𝑥 ≥ 0 , y las rectas

𝑥 = 𝑎 y 𝑥 = 𝑏, es dado por la fórmula:

𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 2 − 𝑔 𝑥 2 𝑑𝑥 GRÁFICA: 𝒇(𝒙) 𝒈(𝒙)

1. 2. 2. EJEMPLO 2 Encuentre el volumen 𝑉 del sólido formado por la región que gira alrededor del eje 𝑥 acotada por las gráficas de 𝑦 = 𝑥 y y = 𝑥.

SOLUCIÓN: GRÁFICA:

𝑉 = 𝜋 න 0 1 (( 𝑥) 2 − 𝑥 2 ) 𝑑𝑥 = 𝜋 න 0 1 (𝑥 − 𝑥 2 ) 𝑑𝑥 = 𝜋 𝑥 2 2 − 𝑥 3 3 0 1 = 𝜋 1 2 − 1 3 = 𝜋 − 3 − 2 6 = 𝜋 6 𝑢^3 𝑦 = 𝑥

1. 3. EJERCICIOS Use el método del disco o del anillo para encontrar el volumen del sólido de revolución que se forma al girar la región acotada por las gráficas de las ecuaciones dadas alrededor del eje que se indica.