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Universidad Tecnológica de México
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PROGRAMAS DE INGENIERÍA
CÁLCULO VECTORIAL
M. en D. Cesar Ricardo Arias Navarrete
Foro 1
Producto punto y cruz
Instrucciones: En esta actividad del foro 1, se les pide que resuelvan dos problemas que están enfocados a los teoremas del producto punto y cruz. Antes de resolverlos se recomienda leer con mucho cuidado, con tiempo y paciencia.
- Sean los vectores 𝒄𝒄�⃗ = 𝒊𝒊 + 𝒋𝒋 − 𝒌𝒌 y 𝒅𝒅��⃗^ =−𝒊𝒊 − 2 𝒋𝒋 + 3𝒌𝒌, determine:
a) El ángulo entre ellos. b) Si 𝒄𝒄�⃗ y 𝒅𝒅��⃗^ son vectores ortogonales o no.
Explique sus resultados.
- Dados los siguientes vectores: 𝒄𝒄�⃗^ = ( 1,2,3), 𝒅𝒅��⃗^ = ( 4,5,6) y 𝒆𝒆�⃗^ = ( 7,8,9) demuestre que las siguientes propiedades son falsas o verdaderas:
a) ( 𝒄𝒄�⃗ × 𝒅𝒅��⃗^ ) ≠ ( 𝒅𝒅��⃗^ × 𝒄𝒄�⃗ ) b) ( 𝒄𝒄�⃗ × 𝒅𝒅��⃗^ ) ∙ 𝒆𝒆�⃗ = 𝒄𝒄�⃗ ∙ ( 𝒅𝒅��⃗^ × 𝒆𝒆�⃗ ) c) ( 𝒄𝒄�⃗^ × 𝒅𝒅��⃗^ ) × 𝒆𝒆�⃗^ ≠ 𝒄𝒄�⃗^ × ( 𝒅𝒅��⃗^ × 𝒆𝒆�⃗^ )
Explique sus resultados.
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CÁLCULO VECTORIAL
M. en D. Cesar Ricardo Arias Navarrete
Ayuda teórica para el foro 1
1.- Recuerde que la definición de ángulo entre vectores tenemos que:
cos(α) =
u� ∙ v� |u�||v�|
y también
u� ∙ v� = (𝑢𝑢 1 + 𝑢𝑢 2 + 𝑢𝑢 3 )^ ∙ (𝑣𝑣 1 + 𝑣𝑣 2 + 𝑣𝑣 3 ) = 𝑢𝑢 1 𝑣𝑣 1 + 𝑢𝑢 2 𝑣𝑣 2 + +𝑢𝑢 3 𝑣𝑣 3
|u�| = �(𝑢𝑢 1 )^2 + (𝑢𝑢 2 )^2 + (𝑢𝑢 3 )^2
Además, se sabe que si dos vectores son perpendiculares si el producto escalar es nulo.
2.- Recuerde para resolver las expresiones del producto cruz tenemos que repasar como se calcula una matriz de 2X2 y 3X3 y a continuación se muestra la definición del producto punto, el producto triple escalar y vectorial.
𝑎𝑎⃗ × 𝑏𝑏�⃗^ = �
𝑏𝑏 1 𝑏𝑏 3 � 𝑗𝑗^ +^ �
𝑎𝑎⃗ ∙ (𝑏𝑏�⃗^ × 𝑐𝑐⃗) = �
𝑐𝑐 2 𝑐𝑐 3 � − 𝑎𝑎^2 �
𝑐𝑐 1 𝑐𝑐 3 �^ +^ 𝑎𝑎^3 �
𝑎𝑎⃗ × (𝑏𝑏�⃗^ × 𝑐𝑐⃗) = (𝑎𝑎⃗ ∙ 𝑐𝑐⃗) 𝑏𝑏�⃗^ - (𝑎𝑎⃗ ∙ 𝑏𝑏�⃗^ ) 𝑐𝑐⃗
Notas:
- No olvide colocar su nombre completo en el archivo, fecha y referencias que utilizó para la solución
- Recuerde revisar la rúbrica de evaluación.
