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Año 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 Cajas (decenas de miles) 21.0 19.4 22.6 28.2 30.4 24.0 25.
a) Encuentre la ecuación de estimación lineal que mejor describa los datos.
b) Calcule el porcentaje de tendencia para estos datos.
c) Calcule el residuo cíclico relativo para estos datos.
d) ¿En qué año ocurrió la mayor fluctuación de la tendencia con cada medida de la variación cíclica? ¿Es
este año el mismo para ambas medidas? Explique su respuesta.
■ 15-25 Wombat Airlines, una aerolínea australiana, ha reunido datos sobre el número de pasajeros que han vola-
do en sus aeronaves durante cada los últimos 5 años:
Año 1991 1992 1993 1994 1995 Pasajeros (en decenas de miles) 3.5 4.2 3.9 3.8 3.
a) Encuentre la ecuación lineal de estimación que mejor describa los datos.
b) Calcule el porcentaje de tendencia para estos datos.
c) Calcule el residuo cíclico relativo para estos datos.
d) Con base en los datos y en los cálculos anteriores, dé un resumen de una oración acerca de la posi-
ción en que se encuentra la Wombat Airlines.
Soluciones a los ejercicios de autoevaluación
EA 15-3 Año x Y xY x^2 Yˆ
Y
ˆY^ ^ ^^100
Y
Y^ ˆ
ˆY
a) a Y
22 b
x
x
Y
Y ˆ^ 22 2 .1 x (donde 1993 0 y unidad de x 1 año)
b) Vea en la penúltima columna de la tabla el porcentaje de tendencia.
c) Vea en la última columna de la tabla el residuo cíclico relativo.
d) La fluctuación más grande (por ambos métodos) fue en 1993.
15.5 Variación estacional
Además de la tendencia secular y de la variación cíclica, una serie de tiempo incluye la variación es-
tacional. Este tipo de variación se define como un movimiento repetitivo y predecible alrededor de
la línea de tendencia en un año o menos. Con el fin de detectar la variación estacional, los interva-
los de tiempo necesitan medirse en unidades pequeñas, como días, semanas, meses o trimestres.
Tenemos tres razones principales para el estudio de la variación estacional:
1. Podemos establecer el patrón de cambios pasados. Proporciona una forma de comparar dos
intervalos de tiempo que de otro modo serían bastante disímiles. Si una escuela de capacita-
ción de pilotos desea saber si una depresión en los negocios durante el mes de diciembre es
normal, puede examinar el patrón estacional en los años anteriores y encontrar la información
que necesita.
2. Es útil proyectar los patrones pasados al futuro. En el caso de decisiones de largo alcance,
el análisis de tendencia secular puede resultar adecuado. Pero para decisiones a corto plazo, la
habilidad de pronosticar fluctuaciones estacionales a menudo es esencial. Considere una cade-
na de venta de alimentos al mayoreo que desea mantener una existencia mínima adecuada en
Tres razones para el estudio de la varia- ción estacional
Definición devaria- ción estacional
15.5 Variación estacional 691
todos sus productos. La habilidad de pronosticar patrones de corto plazo, como la demanda de
pavo en Navidad, dulces el Día del Niño o duraznos en verano, es útil para la administración
de la cadena.
3. Una vez establecido el patrón estacional existente, podemos eliminar sus efectos de la se-
rie de tiempo. Este ajuste nos permite calcular la variación cíclica que se lleva a cabo cada año.
Cuando eliminamos el efecto de la variación estacional de una serie de tiempo, hemos deses-
tacionalizado la serie.
Método de razón de promedio móvil
Con el fin de medir la variación estacional, es común usar el método de razón de promedio móvil.
Esta técnica proporciona un índice que describe el grado de variación estacional. El índice está ba-
sado en una media de 100, con el grado de estacionalidad medido por las variaciones respecto a la
base. Por ejemplo, si examinamos la estacionalidad de la renta de canoas en un hotel de veraneo, po-
dríamos encontrar que el índice del trimestre de primavera es 142. El valor 142 indica que el 142%
de las rentas trimestrales promedio ocurre en primavera. Si la administración registró 2,000 rentas de
canoas durante todo el año anterior, entonces la renta promedio por trimestre será 2,000/4 500.
Como el índice del trimestre de primavera es 142, estimamos el número de alquileres de canoas de
la forma siguiente:
El ejemplo con que abrimos el capítulo puede ilustrar el método de razón de promedio móvil. El
hotel de veraneo desea establecer el patrón estacional de demanda de cuartos por parte de sus
clientes. La administración desea mejorar el servicio al cliente y está considerando varios planes de
contratación de personal durante los periodos pico. La tabla 15-9 presenta la ocupación por trimes-
tre, es decir, el número promedio de huéspedes durante cada trimestre de los últimos cinco años.
Nos referiremos a la tabla 15-9 para exponer los seis pasos requeridos para el cálculo de un índi-
ce estacional.
1. El primer paso en el cálculo de un índice estacional consiste en calcular el total móvil de
4 trimestres para la serie de tiempo. Para hacerlo, calculamos el total de los valores para los
trimestres durante el primer año, 1991 en la tabla 15-9: 1,861 2,203 2,415 1,908
8,387. Un total móvil se asocia con el dato que ocupa el lugar medio del conjunto de valores
del cual fue calculado. Como nuestro primer total de 8,387 se calculó a partir de cuatro datos,
lo colocamos frente al punto medio de esos trimestres, de modo que queda en la columna 4 de
la tabla 15- 10, entre los renglones 1991-II y 1991-III.
1. Encontramos el siguiente total móvil eliminando el valor de 1991-I, 1,861, y agregando el
de 1992-I, 1,921. Al eliminar el primer valor y agregar el quinto, nos quedamos con cuatro trimes-
tres en el total. Los cuatro valores sumados ahora son 2,203 2,415 1,908 1,921 8,447.
Paso 1: Calcule el total móvil de 4 trimestres
Un ejemplo del método de razón de promedio móvil
Uso del método de razón de promedio móvil para medir la variación estacional
692 Capítulo 15 Series de tiempo y pronósticos
Rentaestacionalizada del trimestre de primavera
Índice del trimestre de primavera
Rentas promedio por trimestre
Serie de tiempo para la ocupación del hotel
Tabla 15-9 Número de huéspedes por trimestre Año I II III IV
1991 1,861 2,203 2,415 1, 1992 1,921 2,343 2,514 1, 1993 1,834 2,154 2,098 1, 1994 1,837 2,025 2,304 1, 1995 2,073 2,414 2,339 1,
3. Suponga que trabajamos con los datos de admisión de la sala de urgencias de un hospital,
y deseamos calcular los índices diarios. En los pasos 1 y 2, calculamos los totales móviles y los
promedios móviles de 7 días, y los promedios móviles ya quedan centrados (debido a que el
punto medio de un periodo de 7 días es el cuarto día). En este caso, el paso 3 no es necesario.
Siempre que el número de periodos para los cuales queremos obtener índices sea impar (7 días
en una semana, 3 turnos en un día), podemos omitir el paso 3. Sin embargo, cuando el número
de periodos es par (4 trimestres, 12 meses, 24 horas), entonces debemos seguir el paso 3 para
centrar los promedios móviles obtenidos en el paso 2.
4. Enseguida, calculamos el porcentaje del valor real con respecto al valor del promedio mó-
vil para cada trimestre de la serie de tiempo que tenga un elemento de promedio móvil de
4 trimestres. Este paso nos permite recuperar la componente estacional para los trimestres.
Determinamos este porcentaje dividiendo cada uno de los valores trimestrales reales de la
columna 3 de la tabla 15-10 entre los valores correspondientes del promedio móvil centrado de
4 trimestres que se encuentran en la columna 6, y luego multiplicamos el resultado por 100. Por
ejemplo, encontramos que el porcentaje correspondiente a 1991-III es:
5. Para reunir todos los porcentajes de los valores reales respecto a los valores del promedio
móvil de la columna 7 de la tabla 15-10, organícelos por trimestre. Luego calcule la media
modificada para cada trimestre. Esta media modificada se calcula descartando los valores más
alto y más bajo de cada trimestre y promediando los valores restantes. La tabla 15-11 presenta
el quinto paso y el proceso para encontrar la media modificada.
3. Los valores estacionales recuperados de los trimestres, datos en la columna 7 de la tabla
15-10, todavía contienen las componentes cíclica e irregular de la variación de la serie de tiem-
po. Al eliminar los valores más alto y más bajo de cada trimestre, reducimos las variaciones cí-
clica e irregular extremas. Cuando promediamos los valores restantes, suavizamos todavía más
estas componentes. Las variaciones cíclica e irregular tienden a ser eliminadas mediante este
proceso, de modo que la media modificada es un índice de la componente estacional. (Algunos
estadísticos prefieren utilizar la mediana en lugar de calcular la media modificada para obtener
el mismo resultado.)
Reducción de varia- ciones cíclica e irre- gular extremas
Paso 5: Reúna las repuestas del paso 4 y calcule la medida modificada
Real
Promedio móvil
Paso 4: Calcule el porcentaje del valor real respecto al valor del promedio móvil
Algunas veces, es po- sible omitir el paso 3
694 Capítulo 15 Series de tiempo y pronósticos
1,
1,
1,
2,
2,
2,
2,
2,
2,
I II III IV I II III IV I II III IV I II III IV I II III IV I II III IV
Ocupantes por trimestre
1991 1992 1993 1994 1995 1996 Tiempo
Serie de tiempo original
2,
Promedio móvil centrado del cuarto trimestre (columna 6 de la tabla 15-10)
FIGURA 15-
Uso de un prome-
dio móvil para
suavizar la serie de
tiempo original
6. El paso final que se muestra en la tabla 15-12 es un ligero ajuste de la media modificada.
Note que los cuatro índices de la tabla 15-11 dan un total de 404.1. Sin embargo, la base de un
índice es 100. Entonces, los cuatro índices trimestrales deben dar un total de 400 y su media debe
ser 100. Para corregir este error, multiplicamos cada uno de los índices trimestrales de la tabla
15-11 por una constante de ajuste. Este número se encuentra dividiendo la suma deseada de los
índices (400) entre la suma real (404.1). En este caso, el resultado es 0.9899. En la tabla 15-
se ve que multiplicar los índices por la constante de ajuste hace que den un total de 400. (En
ocasiones, incluso después de haber hecho este ajuste, la media de los índices estacionales no
es exactamente 100, debido a los errores de redondeo acumulados. Sin embargo, en este caso
la media es exactamente 100.)
Paso 6: Ajuste la media modificada
15.5 Variación estacional 695
Procedimiento seguido en el paso 5 para calcu- lar un índice estacional*
Tabla 15-11 Año^ Trimestre I^ Trimestre II^ Trimestre III^ Trimestre IV
1991 — — 114.8 89. 1992 89.0 107.4 115.3 92. 1993 88.6 108.0 106.4 92. 1994 93.5 100.6 111.7 91. 1995 094.5 109.8 .0— 0 .0— 0 182.5 215.4 226.5 183.
Media modificada:
Trimestre I: ^18 2
Trimestre II: ^21 2
Trimestre III: ^22 2
Trimestre IV: ^18 2
Total de índices 404.
Procedimiento para el paso 6
Tabla 15-12 Trimestre^ Índices desajustados^ ^ Constante de ajuste^ ^ Índice estacional
I 91.25 0.9899 90. II 107.70 0.9899 106. III 113.25 0.9899 112. IV 91.90 0.9899 ,091. Total de los índices estacionales 400.
Media de los índices ^40 4
^0
Usos del índice estacional
El método de razón del promedio móvil que acabamos de estudiar, nos permite identificar la varia-
ción estacional de una serie de tiempo. Los índices estacionales se utilizan para eliminar los efectos
de estacionalidad de una serie de tiempo. A este proceso se le denomina desestacionalización de una
serie de tiempo. Antes de poder identificar la componente de tendencia o la cíclica de una serie de
tiempo, es necesario eliminar la variación estacional. Para desestacionalizar una serie de tiempo, di-
Desestacionalización de una serie de tiempo
*Los valores eliminados están tachados con una diagonal.
Primavera Verano Otoño Invierno
1992 87 106 86 125 1993 85 110 83 127 1994 84 105 87 128 1995 88 104 88 124
Aplicaciones
■ 15-26 El dueño de la empresa The Pleasure-Glide Boat ha recopilado las siguientes cifras trimestrales del nivel
de cuentas por cobrar durante los últimos 5 años (miles de dólares):
Primavera Verano Otoño Invierno
1991 102 120 90 78 1992 110 126 95 83 1993 111 128 97 86 1994 115 135 103 91 1995 122 144 110 98
a) Calcule un promedio móvil centrado de 4 trimestres.
b) Encuentre el porcentaje de valores reales respecto al promedio móvil para cada periodo.
c) Determine los índices estacionales y los índices estacionales modificados.
■ 15-27 Marie Wiggs, directora de personal de una compañía farmacéutica registró las siguientes tasas de ausen-
tismo porcentual para cada trimestre de un periodo de 4 años:
Primavera Verano Otoño Invierno
1992 5.6 6.8 6.3 5. 1993 5.7 6.7 6.4 5. 1994 5.3 6.6 6.1 5. 1995 5.4 6.9 6.2 5.
a) Elabore un promedio móvil centrado de 4 trimestres y grafíquelo junto con los datos originales.
b) ¿Qué puede concluir acerca del ausentismo en el inciso a)?
■ 15-28 Utilice los siguientes porcentajes de promedios reales respecto a los promedios móviles que describen las
ventas estacionales de artículos deportivos en un periodo de 5 años, para calcular el índice estacional de
cada estación.
Año Béisbol Fútbol Básquetbol Jockey
1992 96 128 116 77 1993 92 131 125 69 1994 84 113 117 84 1995 97 118 126 89 1996 91 121 124 81
■ 15-29 Un fabricante importante de resortes para automóvil ha determinado los siguientes porcentajes de prome-
dio real respecto al promedio móvil que describen las necesidades trimestrales de dinero en efectivo de la
compañía para los 6 años anteriores:
Primavera Verano Otoño Invierno
1990 108 128 94 70 1991 112 132 88 68 1992 109 134 84 73 1993 110 131 90 69 1994 108 135 89 68 1995 106 129 93 72
Calcule el índice estacional para cada trimestre. Comente su comparación con los índices que calculó en
el ejercicio 15-26.
15.5 Variación estacional 697
■ 15-30 El jefe de admisiones de una universidad ha recabado las siguientes cifras correspondientes a los ingre-
sos por trimestre para los 5 años anteriores (cientos):
Primavera Verano Otoño Invierno
1991 220 203 193 84 1992 235 208 206 76 1993 236 206 209 73 1994 241 215 206 92 1995 239 221 213 115
a) Calcule un promedio móvil centrado de 4 trimestres.
b) Encuentre el porcentaje del promedio real respecto al promedio móvil para cada periodo.
c) Determine los índices estacionales y los índices estacionales modificados.
■ 15-31 El hotel Ski and Putt Resort, una combinación de montañas para esquiar y campo de golf, acaba de tabu-
lar los datos del número de clientes (en miles) que ha tenido durante cada estación en los últimos 5 años.
Calcule el índice estacional para cada trimestre. Si el hotel contrata 15 personas en el verano, ¿cuál deberá
ser el número de empleados en el invierno, suponiendo que ambos deportes tienen iguales requerimien-
tos de servicio?
Primavera Verano Otoño Invierno
1991 200 300 125 325 1992 175 250 150 375 1993 225 300 200 450 1994 200 350 225 375 1995 175 300 200 350
■ 15-32 David Curl Builders recolectó datos trimestrales del número de casas que comenzó a construir durante los
últimos 5 años.
Primavera Verano Otoño Invierno
1991 8 10 7 5 1992 9 10 7 6 1993 10 11 7 6 1994 10 12 8 7 1995 11 13 9 8
a) Calcule el índice estacional para cada trimestre.
b) Si las necesidades de capital de trabajo de la constructora tienen una relación directa con el número
de casas, ¿cuánto debe disminuir su capital de trabajo entre verano e invierno?
Solución al ejercicio de autoevaluación
EA 15-4 Año Primavera Verano Otoño Invierno
Suma modificada 172 211 173 252 Media modificada 86 105.5 86.5 126 Índice estacional 85.15 104.46 85.64 124. La suma de las medias modificadas fue 404, de manera que el factor de ajuste fue 400/404 0.9901. Los índices estacionales se obtuvieron multiplicando las medias modificadas por este factor.
698 Capítulo 15 Series de tiempo y pronósticos
