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Estat´ıstica. Curso 2023-2024 1
Bolet´ın 2. Variables aleatorias discretas y continuas
Ejercicio 1 Sea X una v. a. con la siguiente funci´on de masa de probabilidad:
xi 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5. P (X = xi) 0.16 0.25 0.28 0.18 0.10 0.
(a) Calcula las siguientes probabilidades: P (X = 4.8), P (X > 4 .8), P (X < 4 .8), P (X ≥ 4. 6 |X < 4 .9).
(b) Calcula la esperanza y la desviaci´on t´ıpica de X.
Sol.: (a) 0.18; (b) 0.13; (c) 0.69; (d) 0.8161; (e) E[X] =4.69, DT [X] = 0. 1315
Ejercicio 2 Calcula la media, la varianza y la desviaci´on t´ıpica de una variable aleatoria X cuya funci´on de distribuci´on es:
F (x) =
0 si x < 1 , 1 / 6 si 1 ≤ x < 3 , 1 / 2 si 3 ≤ x < 6 , 1 si x ≥ 6.
Sol.: E[X] = 4.17; σ X^2 = 3.80; σX = 1. 95
Ejercicio 3 Un ingeniero quiere estimar el coste total de un proyecto para hacer una oferta adecuada del mismo. Su trabajo lo valora en una parte fija de 12.000 euros y otra variable de 300 euros por d´ıa trabajado. Sabe que el proyecto le llevar´a entre 7 y 11 d´ıas con la siguiente funci´on de masa de probabilidad para X=“N´umero de d´ıas que tardar´a en realizar el proyecto”
xi 7 8 9 10 11 P (X = xi) 0.10 0.20 0.30 0.30 0.
(a) ¿Cu´al es la probabilidad de que el proyecto tarde en realizarse 9 d´ıas ´o 10 d´ıas?
(b) Calcula la esperanza y la varianza de X.
(c) Determina el coste esperado del proyecto y la desviaci´on t´ıpica del mismo.
Sol: (a) 0.6; (b) E[X] = 9.1 d´ıas, σ^2 X = 1.29 d´ıas^2 ; (c) 14730 euros, 340.73 euros
Ejercicio 4 En una empresa de fabricaci´on de piezas de ordenador, se sabe que el 6% de las piezas que produce una determinada m´aquina son defectuosas.
(a) Se toma una pieza al azar. Sea la variable X tal que vale 1 si la pieza es defectuosa y 0 en caso contrario. Halla la media y la desviaci´on t´ıpica de esta variable.
(b) Si la m´aquina produce 20 piezas al d´ıa, ¿cu´al es la probabilidad de que ninguna de las piezas sean defectuosas? Calcula la probabilidad de que haya a lo sumo una pieza defectuosa. Halla el n´umero medio de piezas defectuosas que se producen en ese d´ıa, as´ı como la desviaci´on t´ıpica del n´umero de piezas defectuosas entre las 20 fabricadas.
(c) Suponiendo que la m´aquina fabrica tantas piezas como sean necesarias, calcula la probabilidad de que la primera pieza defectuosa sea la cuarta. ¿Cu´al es el n´umero esperado de piezas que se deben fabricar hasta encontrar una defectuosa?
Sol.: (a) E[X]=0.06, σX =0.23749; (b) 0.2901, 0.6605, 1.2, 1.0621; (c) 0.0498, 17 (incluyendo la pieza defectuosa)
Ejercicio 5 Un examen tipo test consiste en 10 preguntas con 4 respuestas, siendo s´olo 1 correcta. Si un estudiante contesta el examen al azar, calcula:
(a) Probabilidad de acertar 5 preguntas.
(b) Probabilidad de no acertar ninguna pregunta.
(c) Probabilidad de acertar 8 preguntas.
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(d) ¿Cu´al es el n´umero esperado y desviaci´on t´ıpica del n´umero de respuestas correctas?
Sol.: (a) 0.0584; (b) 0.0563; (c) 0.0004; (d) E[X]=2.5, σX =1.
Ejercicio 6 Un inspector de aduanas decide revisar 3 de 16 embarcaciones procedentes del pa´ıs P. Si la selecci´on es aleatoria y 5 de las embarcaciones contienen contrabando calcula las probabilidades de que el inspector de aduanas,
(a) no encuentre ninguna embarcaci´on con contrabando.
(b) encuentre exactamente una de las embarcaciones con contrabando.
(c) encuentre exactamente cinco embarcaciones con contrabando.
Sol.: (a) 0.2946; (b) 0.49107; (c) 0
Ejercicio 7 Cierto servicio de informaci´on telef´onica funciona diariamente de 9 de la ma˜nana a 2 de la tarde, recibiendo llamadas seg´un un proceso de Poisson de media 3 por minuto. Calcula la probabilidad de que:
(a) En un minuto se reciban m´as de 2 llamadas; en un minuto se reciban entre 3 y 5 llamadas (ambos valores incluidos).
(b) Se reciban al menos 2 llamadas en 30 segundos.
(c) Se reciban menos de 3 llamadas en 2 minutos.
(d) La siguiente llamada se produzca antes de 20 segundos.
Sol.: (a) 0.5768, 0.4928; (b) 0.4422; (c) 0.062; (d) 0.
Ejercicio 8 En una poblaci´on se ha observado que el n´umero medio de muertes anuales a causa de una determinada enfermedad es 3. Asumimos que la variable aleatoria X =“n´umero de muertes anuales a causa de la enfermedad” sigue una distribuci´on de Poisson.
(a) ¿Cu´al es la probabilidad de que en el pr´oximo a˜no no haya ninguna muerte a causa de esta enfermedad?
(b) ¿Cu´al es la probabilidad de que el n´umero de muertes a causa de la enfermedad exceda al n´umero esperado de muertes?
(c) ¿Cu´al es la probabilidad de que en los pr´oximos 2 a˜nos haya m´as de 9 muertes causadas por la enfermedad?
Sol.: (a) 0.04979; (b) 0.35277; (c) 0.
Ejercicio 9 El encargado de una oficina de correos debe enviar 15 paquetes, 6 de ellos por correo a´ereo y el resto por correo terrestre. Sin embargo, en un descuido los mezcla y manda seis paquetes al azar por correo a´ereo. ¿Cu´al es la probabilidad de que en este envio hayan sido incluidos solamente tres de los paquetes que tendr´ıan que enviarse por correo a´ereo? Sol.: 0. 33566
Ejercicio 10 Calcula la media, la mediana y la varianza de la variable aleatoria X para cada uno de los siguientes casos:
(a) F (x) =
0 si x < 0
- 3 si 0 ≤ x < 2
- 8 si 2 ≤ x < 10
- 9 si 10 ≤ x < 15 1 si x ≥ 15
; (b) f (x) =
1 / 5 si 0 < x < 1 4 / 5 si 1 < x < 2 0 en otro caso
Detalla las f´ormulas utilizadas en la obtenci´on de los resultados. Sol.: a) 3.5, 2, 22.25; b) 1.3, 1.375, 0. 2433
Ejercicio 11 La duraci´on en a˜nos de la bater´ıa de cierto modelo de tel´efono m´ovil es una variable aleatoria continua con funci´on de densidad:
f (x) =
k(x − 2)^2 si 2 ≤ x ≤ 4 0 en otro caso
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(d) Si consideramos que durante un a˜no el trabajador acude al trabajo unos 220 d´ıas, ¿cu´al es la probabilidad de que el tiempo total de espera sea superior a 1000 minutos?
Sol.: (a) E[X]= 5 min, σ^2 X = 8.33 min^2 ; (b) 0.4; (c) 0.31744, (d) 0.
Ejercicio 16 Sea X la variable aleatoria “vida ´util de una m´aquina medida en a˜nos”. Si se sabe que X sigue una distribuci´on Exponencial(0.5) con funci´on de distribuci´on:
F (x) =
1 − e−^0.^5 x^ si x > 0 0 si x ≤ 0
(a) ¿Cu´al es el primer cuartil?
(b) Calcula la probabilidad de que la m´aquina dure menos de 2 a˜nos.
(c) Sabiendo que la m´aquina no se estrope´o en los dos primeros a˜nos, calcula la probabilidad de que dure menos de cuatro.
(d) Comprueba si la media y la mediana coinciden para esta distribuci´on. Da una explicaci´on de esto de forma gr´afica e intuitiva.
Sol.: (a) 0.5754; (b) 0.6322; (c) 0.6322; (d) E[X]=2 a˜nos y Mediana(X)= 1.386 a˜nos
Ejercicio 17 La duraci´on en a˜nos de los ventiladores empleados en un ordenador port´atil es una variable aleatoria X con distribuci´on exponencial con par´ametro 0.2.
(a) ¿Cu´al es la probabilidad de que un ventilador dure m´as de 4 a˜nos?
(b) Si el fabricante solamente quiere reponer el 10 % de las unidades en el per´ıodo de garant´ıa, ¿cu´al es ese per´ıodo de garant´ıa?
Sol: (a) 0.4493; (b) 0.53 a˜nos
Ejercicio 18 Cierta empresa se dedica al montaje de piezas de recambio para ordenadores. Los empleados de la empresa trabajan de forma independiente y, adem´as, el n´umero de piezas que monta un trabajador es una variable aleatoria de Poisson de media 24 piezas cada 5 horas.
(a) Calcula la probabilidad de que un trabajador tarde m´as de 45 minutos en montar 1 pieza.
(b) Si tenemos dos trabajadores que trabajan de modo independiente, calcula la probabilidad de que, en conjunto, monten m´as de dos piezas en un per´ıodo de media hora.
(c) Si en la empresa trabajan 100 personas, calcula la probabilidad de que se monten m´as de 2500 piezas en 5 horas.
Sol.: (a) 0.0273; (b) 0.85746; (c) 0.
Ejercicio 19 Una empresa que se dedica a la producci´on de tapones de corcho para botellas dispone de dos m´aquinas de fabricaci´on. La primera m´aquina produce tapones cuyos di´ametros se distribuyen de acuerdo con una distribuci´on normal de media 3 cm y una desviaci´on t´ıpica 0.1 cm. En el caso de la segunda m´aquina, el di´ametro de los tapones se distribuye como una normal con media 3.05 cm y desviaci´on t´ıpica 0.05.
(a) Dibuja un gr´afico aproximado de las funciones de densidad del di´ametro de los tapones producidos en cada una de las m´aquinas.
(b) Para que un tap´on sea aceptado comercialmente ha de tener un di´ametro entre 2.9 y 3.1 cm. ¿Qu´e m´aquina produce m´as tapones aceptables? Calcula las probabilidades correspondientes.
(c) Si pudieras cambiar la media del di´ametro de los tapones de la segunda m´aquina, ¿qu´e valor escoger´ıas para que esa m´aquina tuviese un porcentaje m´aximo de tapones aceptables? ¿Por qu´e? ¿Cu´al ser´ıa el porcentaje de tapones aceptables en ese caso?
(d) Supongamos que los tapones producidos en la primera m´aquina se empaquetan en cajas de 10 unidades independientes.¿Cu´al es la probabilidad de que una de estas cajas haya al menos un tap´on no aceptable?
Sol.: (b) 0.6827, 0.84; (c) 3 cm, 95.45 %; (d) 0. 978
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Ejercicio 20 El peso del contenido de un determinado tipo de lata de sardinas de una conservera sigue una distribuci´on Normal con media de 250 gramos y desviaci´on t´ıpica de 5 gramos.
(a) Se consideran de peso apropiado aquellas latas cuyo contenido est´a entre 242 y 258 gramos. ¿Qu´e pro- porci´on de latas tiene un peso apropiado?
(b) ¿Por encima de que peso estar´an el 10 % de las latas que m´as pesan?
(c) Si consideramos un lote de 20 latas, ¿cu´al es la probabilidad de que como mucho haya una que no tenga el peso apropiado?
(d) En un lote de 100 latas, ¿cu´al es la probabilidad de que el contenido total sea de m´as de 25.1 kg?
Sol.: (a) 0.8904; (b) 256.4 g; (c) 0.3396; (d) 0.
Ejercicio 21 La hora de entrada al trabajo en una oficina es a las 9:00 h. La hora a la que un cierto empleado llega al trabajo sigue una distribuci´on normal de media 9.1 h y desviaci´on t´ıpica 0.05 h, dependiendo del tr´afico que se encuentra en el camino desde su casa.
(a) Calcula la probabilidad de que llegue tarde.
(b) Suponiendo que un d´ıa llega tarde, ¿cu´al es la probabilidad de que el retraso sea como mucho de un cuarto de hora?
(c) Si su jefe le observa durante cinco d´ıas, ¿cu´al ser´a la probabilidad de que llegue tarde al menos tres de ellos?
Sol.: (a) 0.97725; (b) 0.9986; (c) aproximadamente 1
Ejercicio 22 Si X sigue una distribuci´on N (μ, σ). Calcula P (X < μ + 2σ), P (|X − μ| < σ), P (|X − μ| < 2 σ) y P (|X − μ| < 3 σ). Sol.: 0.97725; 0.68269; 0.95450; 0.
Ejercicio 23 La demanda diaria de una marca de leche (en litros) es una variable aleatoria X, con distribuci´on N (3000, 350).
(a) ¿Cu´al deber´ıa ser la producci´on m´ınima diaria para satisfacer la demanda total por lo menos el 90% de las veces?
(b) Calcula la probabilidad de que la demanda total en 100 d´ıas supere los 307000 litros.
Sol.: (a) x 0. 9 =3448.543 litros, (b) 0.
Ejercicio 24 Un fabricante sabe que la proporci´on de lotes que son rechazados por sus clientes es el 20%.
(a) Calcula la probabilidad de que de un total de 10 lotes, sean rechazados exactamente 3.
(b) Calcula la probabilidad de que de un total de 500, sean rechazados 80 o m´as.
Sol.: (a) 0.2013; (b) 0.
Ejercicio 25 El n´umero de errores de impresi´on por p´agina en libro sigue una distribuci´on de Poisson de media 0.75.
(a) ¿Cu´al es la probabilidad de que una p´agina tenga m´as de un error?
(b) ¿Cu´al es la probabilidad de que en dos p´aginas haya menos de 2 errores?
(c) Calcula la probabilidad de que en las 500 p´aginas del libro haya menos de 350 errores.
Sol: (a) 0.1734; (b) 0.5578; (c) 0.
Ejercicio 26 La dureza Rockwell de un metal se determina al marcar con un punto acerado la superficie del metal y despu´es medir la profundidad del punto. Suponiendo que la dureza Rockwell de cierta aleaci´on sigue una distribuci´on N (70, 3), calcula:
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(b) De entre 10 procesos registrados de forma independiente por los operarios, ¿cu´al es la probabilidad de que en al menos 2 de ellos no se active ning´un motor?
(c) En 150 procesos independientes, ¿cu´al es la probabilidad de que en m´as del 80% de ellos se accionen menos de 3 motores?
Sol.: (a) 1.6 motores, 0.45; (b) 0.4557; (c) 0.
Ejercicio 31 En una empresa de fabricaci´on de placas solares, se sabe que el 2% de las fabricadas diariamente son defectuosas y, por lo tanto, no pueden ser puestas a la venta.
(a) Si la f´abrica produce 30 placas al d´ıa, ¿cu´al es la probabilidad de que todas puedan ser puestas a la venta?, ¿cu´al es la probabilidad de que como mucho haya una placa defectuosa?
(b) Suponiendo que la empresa fabrica tantas placas como sean necesarias, calcula la probabilidad de que la primera placa defectuosa sea la quinta fabricada. ¿Cu´al es el n´umero esperado de placas no defectuosas que se deben fabricar hasta encontrar una defectuosa?
(c) La empresa comercializa estas placas solares en lotes de 10. Si se realiza un control de calidad seleccionando 3 placas al azar de un lote espec´ıfico donde realmente hay 4 placas que no deber´ıan ser puestas a la venta, ¿cu´al ser´a la probabilidad de que no se detecte ninguna placa defectuosa de entre las seleccionadas?
Sol: (a) 0.5455, 0.8795; (b) 0.0184, 49 placas; (c) 0.
Ejercicio 32 La resistencia de cierto tipo de l´amparas producidas en una f´abrica sigue una distribuci´on Normal de media 2000 Ω y desviaci´on t´ıpica 50 Ω.
(a) Las l´amparas que presentan una resistencia fuera del intervalo (1900, 2100) se consideran defectuosas. ¿Cu´al es el porcentaje de l´amparas defectuosas producidas en esta f´abrica?
(b) ¿A partir de que valor se sit´ua la resistencia del 5% de l´amparas que presentan una mayor resistencia?
(c) Si se colocan cuatro de estas resistencias en serie funcionando de forma independiente, ¿cu´ales son la media y la desviaci´on t´ıpica de la resistencia total del sistema?
(d) Si las l´amparas se empaquetan en lotes de 20 unidades, ¿cu´al es la probabilidad de que un lote no contenga ninguna l´ampara defectuosa?
Sol: (a) 4.550 %; (b) 2082.25 Ω; (c) 8000 Ω, 100 Ω; (d) 0.
Ejercicio 33 El tiempo de vida de un motor el´ectrico sigue una distribuci´on exponencial con media cincuenta mil horas. Una f´abrica produce 200 unidades de este tipo al mes.
(a) Calcula la probabilidad de que el tiempo de vida de un motor sea superior a la media.
(b) El fabricante propone en la garant´ıa un valor para la duraci´on del motor que le garantice que ´unicamente el 10% de las unidades fabricadas no lo cumplen. ¿Cu´al es el valor que debe proporcionar como per´ıodo m´aximo de garant´ıa?
(c) Sabiendo que un motor ha superado las sesenta mil horas de duraci´on, ¿cu´al es la probabilidad de que falle antes de setenta mil?
(d) Calcula la probabilidad de que la duraci´on media de todos los motores fabricados en un mes sea superior a cincuenta y cinco mil horas. Suponemos independencia en el tiempo de vida de los motores.
Sol.: (a) 0.3679; (b) 5268 horas; (c) 0.1813; (d) 0.
Ejercicio 34 La longitud (en cm) de las piezas producidas en una f´abrica es una variable aleatoria, X, que tiene la siguiente funci´on de distribuci´on:
F (x) =
0 si x < 1 (x − 1)^2 si 1 ≤ x ≤ 2 1 si x ≥ 2
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(a) ¿Qu´e porcentaje de piezas tienen una longitud entre 1.25 y 1.75 cm?
(b) Determina el primer cuartil de la variable X e interpreta su valor.
(c) Calcula la media de la variable aleatoria X.
(d) Si disponemos de 200 piezas, calcula la probabilidad de que al menos 60 piezas midan menos de 1.5 cm.
Sol.: (a) 50 %; (b) 1.5 cm; (c) 5/3=1.6667 cm; (d) 0.
Ejercicio 35 Sea X la variable aleatoria que representa el tiempo (en horas) que funciona adecuadamente la bater´ıa de un dispositivo electr´onico entre recargas consecutivas. La funci´on de densidad de X est´a dada por
f (x) =
3 x
− (^3) si 20 ≤ x ≤ 40 0 en otro caso
(a) Calcula el tiempo medio que dura la carga de la bater´ıa antes de que precise una nueva recarga.
(b) Calcula la probabilidad de que la bater´ıa se agote antes de 24 horas despu´es de una recarga.
(c) Calcula la probabilidad de que se agote la bater´ıa antes de 36 horas despu´es de una recarga si se sabe que todav´ıa funciona al cabo de 24 horas.
(d) Si las recargas son independientes, ¿cu´al es la probabilidad de que la cuarta recarga sea la primera que dura menos de 24 horas?
Sol.: (a) E(X) = 80/3 = 26.67 h; (b) 0.4074; (c) 0.8681; (d) 0. 0848
Ejercicio 36 El n´umero de trabajos que recibe una impresora en una gran empresa sigue una distribuci´on de Poisson de media 20 trabajos cada dos horas.
(a) Calcula la probabilidad de que en media hora la impresora reciba al menos tres trabajos.
(b) Si el primer trabajo del d´ıa llega a las 9:00 de la ma˜nana, ¿cu´al es la probabilidad de que el siguiente llegue antes de las 9:25h?
(c) Se observa que el 55% de los trabajos que llegan para imprimirse son a color. En un grupo de 8 trabajos, ¿cu´al es la probabilidad de m´as de 6 sean a color?
(d) Si en la empresa hay 50 impresoras independientes cuyas cargas de trabajo siguen la misma distribuci´on que la impresora mencionada anteriormente, calcula la probabilidad de que en 2 horas se produzcan en total al menos 1050 trabajos de impresi´on en dicha empresa.
Sol.: a) 0.8753; b) 0.9845; c) 0.0632; d) (Yates) P (Z ≥ 1 .57) = 0.0582.
Ejercicio 37 Se decide instalar turbinas submarinas en un lugar donde el 95% de las ocasiones la velocidad de la corriente est´a entre 3 km/h y 10 km/h. Se sabe que la velocidad de la corriente es una variable aleatoria con distribuci´on Normal de media 6.5 km/h.
(a) Calcula la desviaci´on t´ıpica.
(b) Una turbina s´olo puede utilizarse cuando la velocidad de la corriente es menor de 10 km/h. ¿Cu´al es la probabilidad de que no se pueda utilizar una turbina?
(c) Si se instalan 12 turbinas de este tipo y funcionan de forma independiente, ¿cu´al es la probabilidad de que puedan utilizarse m´as de 10 turbinas?
(d) ¿Cu´al es el primer cuartil de la velocidad de la corriente?
(e) Si se registran 100 mediciones de la velocidad de la corriente, ¿cu´al es la probabilidad de que la media muestral se sit´ue entre los valores 6.25 y 6.75 km/h?
Sol.: (a) 1.786; (b) 0.025; (c) 0.9651; (d) 5.295 km/h; (e) 0.83548.
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(c) La empresa se interesa por el grupo de clientes que tardan en pagar m´as de 15 d´ıas. Calcula la probabilidad de que uno de esos clientes pague antes de 20 d´ıas.
Sol: (a) 0.5556; (b) 14.14 d´ıas; (c) 0. 4375
Ejercicio 43 El tiempo (min) que un operario de laboratorio necesita para preparar un equipo sigue una distribuci´on uniforme en el intervalo [20, 30].
(a) Calcula su media y su desviaci´on t´ıpica.
(b) Sabiendo que al preparar un equipo el t´ecnico ya ha empleado 25 min, ¿cu´al es la probabilidad de que tarde menos de 28 min para preparar el equipo?
(c) Para incentivar su productividad se le dar´a un premio si el tiempo empleado es menor o igual a un valor. Para determinar este valor, el jefe del laboratorio quiere garantizar que el trabajador lo cumple en el 60% de los equipos. ¿Cu´al ha de ser ese valor?
Sol: (a) E[X] = 25 minutos, σX = 2.88675 minutos; (b) 3/5; (c) 26 minutos
Ejercicio 44 El n´umero de alumnos que acuden a la biblioteca de una determinada facultad en ´epoca de ex´amenes sigue una distribuci´on de Poisson de media 20 cada hora.
(a) Calcula la probabilidad de que en un cuarto de hora lleguen a lo sumo 2 alumnos. (b) Si la biblioteca abre a las 9:00 de la ma˜nana, ¿cu´al es la probabilidad de que el alumno m´as madrugador llegue antes de las 9:10h?
(c) Se sabe que el 20 % de los alumnos que van a la biblioteca reservan un libro. Si un d´ıa acuden 50 alumnos, ¿cu´al es la probabilidad de que m´as de 12 estudiantes reserven un libro?
(d) Suponiendo que se contabiliza la entrada de alumnos de manera consecutiva en la biblioteca, ¿cu´antos alumnos se han de registrar por t´ermino medio hasta que uno de ellos reserve un libro?
Sol: (a) 0.1247; (b) 0.96433; (c) 0.1894; (d) 5 alumnos.
Ejercicio 45 La vida ´util media de una m´aquina es de 5 a˜nos, con una desviaci´on t´ıpica de 1.2 a˜nos. Se ha comprobado que la vida de esta m´aquina sigue una distribuci´on normal.
(a) ¿Qu´e porcentaje de este tipo de m´aquinas tienen una duraci´on superior a 6.7 a˜nos?
(b) ¿Cu´al es el tiempo a partir del cual se sit´uan el 15 % de las m´aquinas que presentan mayores vidas ´utiles?
(c) Si se seleccionan al azar 10 m´aquinas, ¿cu´al es la probabilidad que como mucho una de ellas dure menos de 4 a˜nos?
Sol: (a) 7.78 %; (b) 6.25 a˜nos; (c) 0. 366
Ejercicio 46 El di´ametro (en μm) de ciertas part´ıculas contaminantes es una variable aletoria X con funci´on de densidad
f (x) =
2 · x−^3 si x ≥ 1 0 si x < 1 (a) Calcula la funci´on de distribuci´on de X. Representa gr´aficamente las funciones de densidad y de distri- buci´on de X.
(b) Calcula la probabilidad de que una part´ıcula tenga un di´ametro de entre 2 μm y 3 μm.
(c) Dentro del tipo de part´ıculas con un di´ametro de m´as de 2 μm, ¿qu´e porcentaje tienen un di´ametro de m´as de 4 μm?
(d) Dada una probabilidad p, encuentra la expresi´on gen´erica en funci´on de p del cuantil de orden p de la variable aleatoria X. Representa gr´aficamente la funci´on obtenida.
(e) ¿Cu´al es la mediana de X? ¿Cu´al es el di´ametro que solamente es superado por el 10% de part´ıculas con mayor di´ametro? Localiza estos valores en la gr´afica obtenida en el apartado anterior y en la de la funci´on de distribuci´on obtenida en el apartado (a).
Sol: (a) F (x) = 1 − x−^2 , para x ≥ 1; (b) 5/36 = 0.1389; (c) 1/4; (d) 1/
1 − p; (e) 1.41, 3. 16
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Ejercicio 47 La funci´on de distribuci´on de una variable aleatoria continua, X, es
F (x) =
0 si x < − 1 (x^3 + k)/ 2 si − 1 ≤ x ≤ 1 1 si x > 1
(a) Demuestra que el ´unico valor posible de k para que F sea efectivamente la funci´on de distribuci´on de una variable aleatoria continua es k = 1. Justifica tu respuesta.
(b) Sabiendo que la variable aleatoria es superior a − 0 .5, calcula la probabilidad de que sea inferior a 0.5.
(c) Calcula la media y la mediana de X.
Sol: (a) F continua =⇒ F (−1) = 0 y F (1) = 1; de cualquiera de ellas se obtiene que k = 1; (b) 0.2222; (c) Ambas valen 0
Ejercicio 48 En una planta embotelladora se llenan botellas de agua mineral. El contenido te´orico de cada botella es de 1.5 litros, pero en la pr´actica el contenido real de cada botella es una variable aleatoria con distribuci´on Normal de media 1.5 litros y desviaci´on t´ıpica 0.02 litros.
(a) Halla el porcentaje de botellas cuyo contenido se encuentra entre 1.47 y 1.53 litros.
(b) ¿Cu´al debe ser el contenido m´ınimo de una botella para estar entre el 33% de las botellas m´as llenas?
(c) En un pack de 6 botellas, ¿cu´anto vale la probabilidad de que al menos dos botellas contengan m´as de 1.51 litros?
(d) Calcula la probabilidad de que el contenido total de un pack de 6 botellas sea superior a 8.9 litros.
Sol: (a) 86.638%; (b) 1.5088 litros; (c) 0.5981; (d) 0. 97932
Ejercicio 49 Un taller dispone de dos m´aquinas que funcionan de forma independiente las 24 horas del d´ıa. La primera m´aquina presenta una tasa de fallos de 2 por d´ıa mientras que en la segunda la tasa es de 4 por d´ıa. Teniendo en cuenta que para ambas m´aquinas la distribuci´on del n´umero de fallos por d´ıa es Poisson:
(a) Calcula la probabilidad de que en un d´ıa cualquiera la primera m´aquina registre: exactamente 3 fallos; m´as de dos fallos.
(b) ¿Cu´al es la probabilidad de que la primera m´aquina sufra alg´un fallo en 12 horas? ¿Y de que sufra como m´aximo 3 fallos en 4 d´ıas?
(c) Halla la probabilidad de que en el taller se produzcan en total m´as de 3 fallos en un d´ıa. ¿Cu´al es la media y la desviaci´on t´ıpica del n´umero de fallos diarios en el taller?
(d) Calcula la probabilidad de tener que esperar al menos 20 minutos para que se produzca el primer fallo en el taller. ¿Cu´antas horas habr´a que esperar por t´ermino medio para el pr´oximo fallo en el taller? ¿Y cu´al ser´a la desviaci´on t´ıpica de dicha espera?
Sol: (a) 0.1804, 0.3233; (b) 0.6321, 0.0424; (c) 0.8488, 6, 2.4495; (d) 0.92, 4, 4
Ejercicio 50 El n´umero de veh´ıculos que llegan a una estaci´on de servicio para utilizar el lavado autom´atico sigue un proceso de Poisson de media 4 por hora. Calcula la probabilidad de que:
(a) Llegue alg´un veh´ıculo en los pr´oximos 30 minutos.
(b) El siguiente veh´ıculo tarde en llegar entre 12 y 15 minutos.
(c) Transcurra m´as de media hora entre dos llegadas consecutivas.
(d) Lleguen menos de 30 veh´ıculos en 9 horas.
Sol: (a) 0.8647; (b) 0.0814; (c) 0.1353; (d) 0. 14007
