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Ejemplo #
Dada la siguiente distribución de probabilidades para la variable aleatoria “x”
expuesta en la tabla siguiente:
Calcule:
a. La probabilidad de que “x” tome el valor de cero.
b. El valor esperado.
c. La desviación estándar.
d. El coeficiente de variación.
Solución
Primera parte
Se aplica el axioma de la teoría de probabilidades, en donde,
La cual se extiende por inducción a la expresión siguiente:
Ahora le asignamos variables a los valores de la tabla,
Se reemplaza a todos los valores que puede tomar la variable aleatoria, y se crea
una ecuación de primer grado con una sola incógnita.
Despejando,
P( ) ó %
n
i
i
X 1 100
1
=
1
P(X)+ + + + =
P( )+P( )+P( )+ +P( )= 1 ó 100%
1 2 3 5
X X X X
P( X) ó 10 %
1
X 0 1 2 3 4
P(X)? 2/10 4/10 2/10 1/
X
1
X
2
X
3
X
4
X
5
X 0 1 2 3 4
P(X)? 2/10 4/10 2/10 1/
La probabilidad de que la variable tome un valor igual a cero es del 10% y se
cataloga como baja.
Segunda parte
De la ecuación del valor esperado se tiene,
Se extiende por inducción matemática a los siguientes términos,
Este resultado será interpretado como el valor promedio de la variable a largo
plazo o aquel que tiene la mayor probabilidad de ocurrir.
Con el objeto de medir la dispersión, se obtiene la desviación estándar. Este valor
tiene como función, entre otras, el brindar flexibilidad a la estimación puntual
generada a través del valor esperado.
Los resultados de las operaciones de esta expresión, pueden ser resumidos en la
siguiente tabla.
Xi
Total 12/10 ó 1.
El total de la última columna representa la sumatoria que se requiere dentro del
radical de la ecuación, por lo tanto, una vez reemplazado se extrae su raíz
X
X
i
n
i 1
i
Ε Χ 2.
E(X) X i
2
i
E(X)
X
) X
E(X) P(
X
i
2
i
i
2
n
i 1
i
x
X -EX PX
σ
Con base en los datos mostrados, ¿qué marca le recomendaría a la empresa
Moreno? Asuma que ambas máquinas tienen aproximadamente el mismo costo,
por lo cual, este concepto no será utilizado en la evaluación. Sistemáticamente,
señale el criterio utilizado para evaluar y tomar la decisión recomendada.
Solución
Se define la variable aleatoria.
X
i
: vida útil de las máquinas en horas.
Para tomar la mejor decisión, se toma en cuenta tres criterios que se identifican a
través del valor esperado, desviación estándar y coeficiente de variación, los
cuales serán evaluados paralelamente para cada uno de los tipos de máquinas.
Criterio del Valor Esperado
Se aplica la ecuación del valor esperado en cada una de las vidas útiles de las
máquinas compactadoras, con el objeto de medir su vida útil promedio y
compararlas.
Cabe indicar, que este resultado será interpretado como el valor promedio de la
variable a largo plazo o aquel que tiene la mayor probabilidad de ocurrir en ambas
máquinas.
Compactadora “A”
Compactadora “B”
Si se utiliza este concepto para tomar la decisión, se recomendaría escoger la
marca “B” por poseer una mayor vida útil promedio.
Criterio de la Desviación Estándar
Este concepto tiene por objeto de medir el grado de dispersión, se obtiene la
Ε A 2000 (0.60) 3000 (0.30) 4000 (0.10)
Ε A 2500 Horas
Ε B 2000 ( 0. 50 ) 3000 ( 0. 45 ) 4000 ( 0. 05 )
Ε B 2550 Horas
Ε Χ XΡX
i
n
i 1
i
desviación estándar.
Los resultados de las operaciones para ambas máquinas se resumen a
continuación.
Compactadora “A”
En promedio, se espera que la dispersión de la variable oscile más o menos en
671 horas con respecto al valor esperado.
Compactadora “B”
En promedio, estas máquinas cuentan con una dispersión que oscila más o menos
en 671 horas con respecto al valor esperado.
Si se basa en este criterio, se recomienda a aquellas máquinas compactadoras
que presenten menor grado de dispersión. Esta característica se observa en las
máquinas “B”, por ello, se inclina la selección hacia ellas.
Criterio del Coeficiente de Variación
Este concepto es el más completo para llevar a cabo la evaluación, ya que el
mismo incorpora los dos indicadores anteriores convirtiéndolos en un indicador
descriptivo que mide su variabilidad y estabilidad.
Hay que recordar que mientras mayor sea su valor, mayor será el riesgo de
equivocación en la predicción de la variable, es decir, de la vida útil promedio
pronosticada.
2000 2500 0.60 3000 2500 0.30 4000 2500 0.
2 2 2
σ A
i
2
n
i 1
i
x
X -EX PX
σ
σ A 671 Horas
σ B 590 Horas
2000 2550 0.50 3000 2550 0.45 4000 2550 0.
2 2 2
σ B
E X
C V
σ x
x
Ejemplo #
El minisúper Condado del Rey estima que su venta diaria, en docenas, de
pastelitos de pollo puede darse en la forma siguiente:
Ventas Diarias
(docenas)
Probabilidad
El minisúper debe ordenar los pastelitos, con un día de anticipación. Cabe indicar,
que el producto viene empacado en envases de 12 unidades para su venta.
Debido a que los clientes son muy exigentes en la calidad del producto, los
pastelitos no vendidos en el día se consideran una pérdida total por ser un
producto perecedero. Si el costo de los pastelitos es de B/.1.00 por docena y su
precio de venta es de B/.3.00 por docena, ¿cuáles son las ventas promedio
esperadas? ¿Cuántas docenas debe ordenar el minisúper para maximizar su
ganancia diaria esperada?
Solución
Se define la variable aleatoria.
X
i
: número de docenas de pastelitos de pollo vendidas por día.
Se aplica la ecuación del valor esperado con el objeto de estimar las ventas más
probable o promedio.
Se deduce así, que las ventas esperadas por este minisúper ascienden a 11
docenas de pastelitos diarias.
Para cuantificar las docenas que debe ordenar el minisúper para maximizar su
ganancia diaria esperada, se deberá ajustar radicalmente el formato para plantear
el modelo.
Ε Χ XΡX
i
n
i 1
i
Ε X 10 (0.60) 11 (0.30) 12 (0.10)
Ε X 10.5 11 Docenas
Primero se define a las variables, tomando en cuenta que los costos de
oportunidad no serán incluidos por ser intangibles.
U: utilidad en Balboas.
P
x
: precio de venta por docena de pastelitos de pollo.
X: número de docenas de pastelitos de pollo vendidas por día.
Y: número de docenas de pastelitos de pollo ordenadas por día.
C
y
: costo por docena de las pastelitos de pollo.
Se formula el modelo matemático para generar las utilidades dentro de cada uno
de los niveles de operación en el minisúper.
U = Ingresos - Costos Totales
U = P
x
X - C
y
Y
U = 3X - Y
Se crea la matriz de pago de utilidades.
VENTAS
NIVEL DE OPERACIÓN
B/. 20 B/. 19 B/. 18
B/. 20 B/. 22 B/. 21
B/. 20 B/. 22 B/. 24
Por último se estima la utilidad promedio en cada nivel de operación, aplicando en
ellos, el cálculo del valor esperado en sus utilidades.
E(10) = (20)(0.60) + (20)(0.30) + (20)(0.10)
E(10) = 20.00 Balboas
E(11) = (19)(0.60) + (22)(0.30) + (22)(0.10)
E(11) = 20.20 Balboas
E(12) = (18)(0.60) + (21)(0.30) + (24)(0.10)
E(12) = 19.50 Balboas
Se aplica la ecuación del valor esperado con el objeto de estimar las ventas más
probables o promedio.
Se deduce así, que las ventas esperadas por Moisés Magallón, como promedio,
ascienden a 4600 unidades por día.
Para cuantificar el número de unidades que debe ordenar Magallón para
maximizar su ganancia diaria esperada, primero se define a las variables, en la
cual los costos de oportunidad no serán incluidos por ser intangibles.
U: utilidad en Balboas.
P
x
: precio de venta por unidad.
X: número de unidades vendidas por día.
Y: número de unidades ordenadas por día.
C
y
: costo por unidad.
P
r
: precio de recuperación por unidad no vendida.
Se formula el modelo matemático para generar las utilidades dentro de cada uno
de los niveles de operación.
U = Ingresos - Costos Totales
U = P x
X - C y
Y + Pr(Y – X)
donde debe cumplirse con la siguiente restricción para determinar las ventas
efectivas:
0 ≤ X ≤Y
La expresión queda formulada como sigue a continuación:
U = 0.50 X – (0.25 Y + 0.10 (Y - X))
Se crea la matriz de pago de utilidades.
Ε X = 4000 (0.50)+ 5000 (0.40)+ 6000 (0.10)
Ε X = 4600 unidades
Ε Χ XΡX
i
n
i 1
i
VENTAS
NIVEL DE OPERACIÓN
B/. 1000 B/. 850 B/. 700
B/. 1000 B/. 1250 B/. 1100
B/. 1000 B/. 1250 B/. 1500
Por último se estima la utilidad promedio aplicando a cada nivel de operación el
valor esperado de las utilidades.
E(4000) = (1000)(0.50) + (1000)(0.40) + (1000)(0.10)
E(4000) = 1000 Balboas
E(5000) = (850)(0.50) + (1250)(0.40) + (1250)(0.10)
E(5000) = 1050 Balboas
E(6000) = (700)(0.50) + (1100)(0.40) + (1500)(0.10)
E(6000) = 940 Balboas
Se le recomienda, a Moisés Magallón, solicitar 5000 unidades de rosas por día
para maximizar las utilidades diarias esperadas.
PRÁCTICA DE PROBLEMAS
PROBLEMA
Las ventas por hora de una máquina automática pueden ser 10, 12 y 14 cajetillas
de cigarrillos con probabilidades de 0.20, 0.50 y 0.30, respectivamente. ¿Cuál es
la venta por hora esperada para esta máquina? ¿Cuál es su desviación estándar y
coeficiente de variación?
PROBLEMA
Dos cuadrillas de trabajadores llevan a cabo una tarea similar. Los tiempos para
ejecutarlas, en horas, se han resumido en la tabla siguiente:
Cuadrilla #1 Cuadrilla #
DEMANDA PROBABILIDAD
a. Si la empresa basa sus órdenes en el valor esperado de la demanda mensual,
¿cuál será la cantidad ordenada?
b. Suponga que cada unidad cuesta 50 Balboas y se venden a 120 Balboas,
¿cuánto ganará o perderá la empresa en un mes si coloca una orden basada
en el valor esperado y la demanda real es de 300 unidades?
c. ¿Cuánto ganará o perderá si la demanda real cambia a 300 unidades?
PROBLEMA
En el mercado de abastos, el comerciante Adriano Martínez compra 5 cajas de
plátanos verdes al precio de B/.15.00 por caja y las vende al menudeo a B/.25.
por caja. Cada caja contiene cien plátanos. El acuerdo con el distribuidor, consiste
en que después de madurarse los plátanos, las cajas no vendidas se retiran de la
estantería y el comerciante recibe un crédito del distribuidor igual a tres cuartas
partes del precio de mayoreo. A continuación, se proyecta la distribución de
probabilidades para el número de cajas que se pueden vender en este lote.
X 0 1 2 3 4 5
P(X) 2/20 3/20 5/20 4/20 4/20 2/
Se requiere
a. ¿Cuántas cajas de plátanos espera vender, en este pedido, antes de que sean
retirados por madurarse?
b. ¿Cuál es la utilidad esperada al ordenar 2 cajas?
c. ¿Cuántas cajas de plátanos debe ordenar Adriano a fin de maximizar sus
utilidades?
PROBLEMA
Nuely De La Cruz es la nueva asistente del Vicepresidente de ventas de la
Importadora Multi, S. A. Este ha investigado cuidadosamente los registros de las
ventas pasadas del juguete con modelo 2000-A , que pertenece a una muñeca.
Las ventas durante la mayoría del año son consideradas imperceptibles, pero
durante los meses de octubre y noviembre, que corresponden al pico de
producción de los productores por la Navidad, el modelo se ha comportado
bastante bien. Basados en los datos de los últimos cinco años, Nuely calculó la
siguiente distribución de probabilidades para las ventas anuales.
Número
de
unidades
Probabilidad
Cuando Nuely presentó sus cálculos y lo que ella pensaba que serían las ventas,
fue refutado por el Vicepresidente , que dijo: “Hija, a usted le falta mucho por
andar. Las ventas de esta muñeca han estado bajando durante los últimos tres
años. Tendremos suerte si se venden 2,500 este año”.
a. ¿Cuál fue el valor esperado de las ventas que Nuely presentó?
b. Si las muñecas se venden a B/.25.00 y cuestan hacerlas B/.10.00, ¿cuánto
habría ganado o perdido la compañía si hubiera seguido los estimativos de la
producción de Nuely, cuando solo se vendieron las 2,500 recomendadas por
el Vicepresidente?
c. ¿Qué tanto cambian las utilidades si el costo de las muñecas asciende a
B/.16.00? Asuma que las otras variables se mantienen iguales.
PROBLEMA
Los registros de una compañía de seguros para automóviles, le brindan la
siguiente información sobre accidentes a Raúl De Gracia como asesor de seguros.
La probabilidad de que un conductor asegurado tenga un accidente
automovilístico es del 15%, Si ocurre un accidente, el daño al vehículo es el 20%
de su valor en el mercado con una probabilidad del 80%, es el 60% de su valor
con una probabilidad del 12% y es una pérdida total con una probabilidad del 8%.
Para orientar a la Junta Directiva, la Gerencia le formula las siguientes preguntas:
a. ¿Qué prima debe cobrar la compañía por un auto valorado en B/. 40,000 para
que su ganancia esperada sea cero?
b. Suponga que la compañía evalúa el auto todos los años en B/. 40,000 y no
considera la depreciación, ¿qué comentarios puede hacer al respecto?
c. Ahora asuma que la verdadera probabilidad de accidente es del 10%, ¿cómo
favorece el uso del 15% a la compañía?
d. Si la compañía posee 25 autos asegurados con las mismas características del
enunciado original, ¿cuánto debe ser el valor de la prima a cobrar para
obtener una ganancia esperada, antes incurrir en gastos administrativos y
otros, de B/. 1000 por póliza?. ¿Cuál es la ganancia neta antes de impuestos
