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GRADO DECIMO
TALLER DE MATEMATICAS
1.1. IDENTIDADES Y ECUACIÓN DE LA RECTA
1.1.1. Distancia entre dos puntos y punto medio. 1.1.2. Pendiente de la recta: con dos puntos, con ángulo de inclinación. 1.1.3. Ecuación de la recta. 1.1.4. Identidades 1.1.5. Ecuaciones con identidades 1.1.6. Inecuaciones con identidades 1.1 1.Escribir la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (5,-2) y B (2,4). Sabemos que con dos puntos es suficiente para calcular la ecuación de la recta. En primer lugar procedemos a calcular la pendiente. Llamamos al punto B ( x2=2 ,y2=4) y al punto A (x1=5,y1=-2) M= (y2-y1) / (x2-x1) = 4-(-2) /2-5 = 6/-3= - Ya tenemos la pendiente m= -
Ahora sólo necesitamos un punto, por ejemplo, el A (xo=5,y0=-2) y lo sustituimos en la siguiente ecuación junto a la pendiente. (y-y0)= m. (x-xo) (y-(-2))= -2. (x-5) Y despejamos, y= -2x+10-2= -2x+ Nuestra recta es y=-2x+ 2.Escribir la ecuación paralela a la recta y=- 2x+8 y pasa por el punto (-5,1). En este problema debemos saber identificar los datos que nos ofrecen. Para escribir la ecuación de la recta, necesitábamos un punto y la pendiente. Aquí nos dan una recta que es paralela y un punto. Debemos saber que las rectas paralelas tienen la misma pendiente. Por tanto, ya tenemos la pendiente de nuestra recta, m=-2. Si sustituimos en la ecuación,donde (x0=-5, y0=1) (y-y0)= m. (x-xo)
y= 4/5x- Nuestra recta es y= 4/5x- Ángulo de inclinación y pendiente – Fórmula y Ejercicios El ángulo de inclinación de una recta o el ángulo de la pendiente de la recta es el ángulo formado por la recta y su componente horizontal. Para obtener el valor de este ángulo, tenemos que usar trigonometría, específicamente la función tangente. El ángulo puede ser positivo o negativo dependiendo en la dirección en la que sea medido. A continuación, conoceremos cómo calcular el ángulo de inclinación de una recta. Veremos su fórmula, algunas consideraciones importantes y varios ejercicios resueltos. Fórmula del ángulo de la inclinación de una recta o de su pendiente Para encontrar la fórmula del ángulo de la inclinación de una recta, vamos a usar el siguiente diagrama:
Podemos ver que el diagrama tiene un triángulo rectángulo ABC formado por los componentes horizontal y vertical de la recta. En el diagrama, θ es el ángulo formado por la recta AB y su componente horizontal. Usando trigonometría y recordando que la tangente de un ángulo es igual al lado opuesto sobre el lado adyacente, tenemos tan( θ )= ACBC. Ahora, usando el diagrama, podemos observar que ACBC = x 2 − x 1 y 2 − y 1 , lo cual es igual a la pendiente de la recta AB. Entonces, tenemos lo siguiente:
Para encontrar el ángulo θ , vamos a usar la fórmula del ángulo de inclinación de una recta: =tan −1(2− 12 −1) θ =tan−1( x 2 − x 1 y 2 − y 1 ) =tan −1(− 3 −(−5)5−(−7))=tan−1(5−(−7)− 3 −(−5)) =tan −1(−3+55+7)=tan−1(5+7−3+5) =tan −1(212)=tan−1(122) =tan −1(16)=tan−1(61) =9.46∘ θ =9.46∘ EJERCICIO 2 Encuentra el ángulo de inclinación de la recta que tiene los puntos A=(5, -4) y B=(-6, 7). Solución Podemos encontrar el ángulo θ , al usar la fórmula del ángulo de inclinación de una recta con las coordenadas de los dos puntos dados:
=tan−1(2− 1 2 −1) θ =tan−1( x 2 − x 1 y 2 − y 1 ) =tan−1(7−(−4)− 6 −5)=tan−1(− 6 − 57 −(−4)) =tan−1(7+4− 6 −5)=tan−1(− 6 −57+4) =tan−1(11−11)=tan−1(− 1111 ) =tan−1(−1)=tan−1(−1) =− 45 ∘ θ =− 45 ∘ EJERCICIO 3 Una recta pasa por los puntos A=(7, -2) y B=(3, -5). Encuentra el ángulo de la pendiente de AB. Solución Vamos a encontrar el ángulo θ usando la fórmula del ángulo de inclinación de una recta con las coordenadas de los puntos dados: =tan −1(2− 12 −1) θ =tan−1( x 2 − x 1 y 2 − y 1 ) =tan −1(− 5 −(−2)3−7)=tan−1(3− 7 − 5 −(−2)) =tan −1(−5+23−7)=tan−1(3− 7 −5+2) =tan −1(− 3 −4)=tan−1(− 4 − 3 )
Podemos encontrar el ángulo de la pendiente al usar la fórmula con las coordenadas de los puntos dados: =tan −1(2− 12 − 1) θ =tan−1( x 2 − x 1 y 2 − y 1 ) =tan −1(11− 7 − 6 −3)=tan−1(− 6 − 311 − 7 ) =tan −1(−49)=tan−1(− 94 ) =− 24 ∘ θ =− 24 ∘ EJERCICIO 6 Encuentra el ángulo formado por la recta que pasa por los puntos A=(5, -3) y B=(5, 2). Solución Para encontrar el ángulo θ , usamos las coordenadas de los puntos dados en la fórmula del ángulo de inclinación: =tan −1( 2 − 1 2 − 1) θ =tan−1( x 2 − x 1 y 2 − y 1 ) =tan −1(2−(−3)5−5)=tan−1(5− 52 −(−3)) =tan −1(− 2 − 35 −5)=tan−1(5− 5 − 2 − 3 ) =tan −1(−50)=tan−1(0− 5 ) =tan −1(infinito)=tan−1(infinito) =90∘ θ =90∘
En este caso, obtuvimos -5/0, lo cual es igual a infinito. Mirando a las coordenadas de x de ambos puntos, vemos que ambas son igual a 5. Esto solo sucede cuando tenemos una recta vertical. Una recta vertical es perpendicular con la h 1.1.3. Ecuación de la recta. 1.Escribir la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (5,-2) y B (2,4). Sabemos que con dos puntos es suficiente para calcular la ecuación de la recta. En primer lugar procedemos a calcular la pendiente. Llamamos al punto B ( x2=2 ,y2=4) y al punto A (x1=5,y1=-2) M= (y2-y1) / (x2-x1) = 4-(-2) /2-5 = 6/-3= - Ya tenemos la pendiente m= - Ahora sólo necesitamos un punto, por ejemplo, el A (xo=5,y0=-2) y lo sustituimos en la siguiente ecuación junto a la pendiente. (y-y0)= m. (x-xo) (y-(-2))= -2. (x-5) Y despejamos,
Tenemos que tener claro como se llaman los ejes, el de abscisas es el eje X y el de ordenadas es el Y. Por tanto, el punto de corte con los ejes son A (5,0) y B (0,-4). Ahora, resolvemos el ejercicio como en los casos anteriores. Llamamos al punto B ( x2=0 ,y2=-4) y al punto A (x1=5,y1=0) m= (y2-y1) / (x2-x1) = -4-0 /0-5 = -4/-5= (⅘) Ya tenemos la pendiente m= 4/ Ahora sólo necesitamos un punto, por ejemplo, el A (x0=5,y0=0) y lo sustituimos en la siguiente ecuación junto a la pendiente. (y-y0)= m. (x-xo) (y-0)= 4/5. (x-5) Y despejamos, y= 4/5x- Nuestra recta es y= 4/5x- .Escribir la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (5,-2) y B (2,4).
Sabemos que con dos puntos es suficiente para calcular la ecuación de la recta. En primer lugar procedemos a calcular la pendiente. Llamamos al punto B ( x2=2 ,y2=4) y al punto A (x1=5,y1=-2) M= (y2-y1) / (x2-x1) = 4-(-2) /2-5 = 6/-3= - Ya tenemos la pendiente m= - Ahora sólo necesitamos un punto, por ejemplo, el A (xo=5,y0=-2) y lo sustituimos en la siguiente ecuación junto a la pendiente. (y-y0)= m. (x-xo) (y-(-2))= -2. (x-5) Y despejamos, y= -2x+10-2= -2x+ Nuestra recta es y=-2x+ 2.Escribir la ecuación paralela a la recta y=-2x+8 y pasa por el punto (-5,1). En este problema debemos saber identificar los datos que nos ofrecen. Para escribir la ecuación de la recta, necesitábamos un punto y la pendiente. Aquí nos dan una recta que es paralela y un punto. Debemos saber que
Ya tenemos la pendiente m= 4/ Ahora sólo necesitamos un punto, por ejemplo, el A (x0=5,y0=0) y lo sustituimos en la siguiente ecuación junto a la pendiente. (y-y0)= m. (x-xo) (y-0)= 4/5. (x-5) Y despejamos, y= 4/5x- Nuestra recta es y= 4/5x- ECUACIONES DE LA RECTA Definición de recta Desde la geometría r ecta es una sucesión de puntos infinitos alineados en una misma dirección. Cuando se mira en un plano esta recta puede ser vertical, horizontal o diagonal. Definición de ecuación de la recta Es la expresión algebraica que describe todos los puntos de la recta. Al decir que describe se habla de la posición en el plano cartesiano tanto en el eje X como en el eje Y.
Ecuación general La ecuación general de la recta describe el comportamiento de todas las rectas existentes en el plano cartesiano. No importa la recta que se trace siempre va a cumplir con esta ecuación. Ecuación general de la recta Esta ecuación general de la recta nace de uno de los teoremas de la geometría euclidiana que dice: Para determinar una línea recta solo es necesario conocer dos puntos A y B. La ecuación general de esa recta de primer grado es Ax + By + C = 0 , donde A, B, C pertenecen a los números reales; A y B son diferentes de cero simultáneamente. Ecuación de la recta que pasa por un punto Para determinar la expresión algebraica de la recta que pasa por un punto es necesario conocer la tanto la pendiente ( m ) como las coordenadas del punto (la abscisa X como la ordenada Y)
La ecuación se escribe de la siguiente forma Ecuación en el plano cartesiano de la línea recta que pasa por un solo punto Ejemplo solucionado que pasa por un punto Problema: ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por el punto (1,5) y tiene una pendiente igual a 3? Solución: Se aplica la ecuación general para las ecuaciones de la recta que pasan por un punto: Conociendo la ecuación de la recta se reemplazan valores, recordemos que la pendiente es 3 y en este caso la coordenada del punto es (1,5) significa que x=1, y=5 por lo que la ecuación queda:
Se reemplazaron todos los valores conocidos, pendiente (m), abscisa (x), ordenada (y) De esta ecuación se despeja n, quedando: n es igual a 2 En conclusión la ecuación de la recta que pasa por el punto (1,5) y tiene una pendiente igual a 3 es:
