BÁCH KHOA-ĐẠI CƯƠNG MÔN PHÁI
TÀI LIỆU MÔN HỌC
GIẢI TÍCH II
______________________________________________
Người biên soạn: Phạm Thanh Tùng
(Tự Động Hóa – ĐHBKHN)
Hà Nội, Tháng 6 năm 2021
Prepare for your exams
Study with the several resources on Docsity
Earn points to download
Earn points by helping other students or get them with a premium plan
Guidelines and tips
Prepare for your exams
Study with the several resources on Docsity
Earn points to download
Earn points by helping other students or get them with a premium plan
Community
Ask the community
Ask the community for help and clear up your study doubts
University Rankings
Discover the best universities in your country according to Docsity users
Free resources
Our save-the-student-ebooks!
Download our free guides on studying techniques, anxiety management strategies, and thesis advice from Docsity tutors
Tóm tắt Lý thuyết và hướng dẫn giải bài tập Giải tích 2, Study Guides, Projects, Research of Mathematical Analysis
Giúp bạn đọc tổng hợp kiến thức và hướng dẫn giải các dạng bài tập môn học Giải tích 2
Typology: Study Guides, Projects, Research
2020/2021
1 / 261
This page cannot be seen from the preview
Don't miss anything!
Often downloaded together
Related documents
Partial preview of the text
Download Tóm tắt Lý thuyết và hướng dẫn giải bài tập Giải tích 2 and more Study Guides, Projects, Research Mathematical Analysis in PDF only on Docsity!
BÁCH KHOA-ĐẠI CƯƠNG MÔN PHÁI
TÀI LIỆU MÔN HỌC
GIẢI TÍCH II
______________________________________________
Người biên soạn: Phạm Thanh Tùng
(Tự Động Hóa – ĐHBKHN)
Hà Nội, Tháng 6 năm 20 21
MỤC LỤC
- CHƯƠNG I: HÀM NHIỀU BIẾN SỐ
- I. Bài toán tìm giới hạn của hàm nhiều biến số:
- II. Bài toán khảo sát tính liên tục của hàm nhiều biến số:
- III. Các bài toán về đạo hàm riêng:
- Tính đạo hàm riêng của hàm bị gãy khúc:
- Tính đạo hàm riêng của hàm số hợp:
- Đạo hàm riêng cấp hai:
- Tính đạo hàm riêng của hàm số hợp gián tiếp qua hàm tích phân:
- Tính đạo hàm riêng của hàm ẩn:
- hàm ẩn rút ra từ 𝑭(𝒙, 𝒚) = 𝟎 6. Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong tại một điểm cho bởi
- Tìm điểm kì dị của đường cong:
- Một số bài tập tổng hợp:
- IV. Khảo sát tính liên tục của đạo hàm riêng:
- V. Bài toán sử dụng vi phân tính gần đúng:
- VI. Bài toán tính vi phân toàn phần:
- VII. Bài toán tìm cực trị của hàm nhiều biến (không có điều kiện):
- VII. Bài toán cực trị có điều kiện ràng buộc giữa 𝐱 và 𝐲 :
- VIII. Bài toán khai triển Taylor tại một điểm của hàm nhiều biến số:
- IX. Bài toán giá trị lớn nhất, nhỏ nhất:
- Bài toán:
- Cách làm tổng quát:
- CHƯƠNG I: CÁC ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN
- I. Trong hình học phẳng (Oxy)
- II. Trong hình học không gian (Oxyz):
- III. Bài toán liên quan đến đường cong cho dưới dạng giao tuyến của
- mặt cong:
- IV. Bài toán tìm hình bao của họ đường cong phụ thuộc vào tham số:
- Định nghĩa:
- Các bước tìm hình bao:
- V. Hàm vecto:
- CHƯƠNG II: TÍCH PHÂN BỘI
- §2.1: TÍCH PHÂN KÉP
- I. Các công thức tính cơ bản:
- Dạng 1: Miền 𝐃 là miền hình chữ nhật:
- Dạng 2: Miền D là miền có dạng hình thang cong:
- Dạng 3: Miền 𝐃 có dạng hình thang cong:
- II. Bài toán đổi thứ tự lấy tích phân:
- Bài toán:
- Phương pháp:
- III. Các phép đổi biến số trong tích phân kép:
- Phép đổi biến trong tọa độ Đề-các:
- Phép đổi biến số trong tọa độ cực:
- Phép đổi biến số trong tọa độ cực suy rộng:
- IV. Tích phân kép có miền lấy tích phân đối xứng:
- V. Tích phân kép có dấu giá trị tuyệt đối:
- VI. Dạng bài kết hợp các phương pháp đổi biến số:
- VII. Dạng bài sử dụng tọa độ cực để giải tích phân có miền 𝐃 đặc biệt:
- VIII. Bài tập tự luyện:
- §2.2: TÍCH PHÂN BỘI BA
- I. Sơ lược về tích phân bội ba:
- II. Một số dạng cơ bản:
- Dạng 1:
- Dạng 2:
- Dạng 3:
- Dạng 4:
- III. Đổi biến số trong tích phân bội ba:
- Phép đổi biến số trong tọa độ trụ:
- Phép đổi biến số trong tọa độ trụ suy rộng
- Phép đổi biến số trong tọa độ cầu:
- Phép đổi biến số trong tọa độ cầu suy rộng:
- Phép đổi biến số trong tọa độ Đề-các:
- IV. Tích phân có miền đối xứng:
- V. Một số dạng bài đặc biệt:
- Tọa độ trụ có sử dụng hình chiếu của miền 𝐕 lên 𝐎𝐱𝐳 hoặc 𝐎𝐲𝐳 :
- Đổi thứ tự lấy tích phân:
- Đổi vai trò của 𝐱, 𝐲, 𝐳................................................................................
- Dạng tổng hợp:
- miền phức tạp: 5. Sử dụng đổi biến số trong tọa độ cầu để tính các tích phân bội ba có
- VI. Bài tập tự luyện:
- §2.3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI
- I. Tính diện tích hình phẳng
- II. Tính diện tích mặt cong:
- III. Tính thể tích vật thể:
- CHƯƠNG III: TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ
- §3.1: Tích phân xác định phụ thuộc tham số
- I. Khái niệm:
- II. Các tính chất của tích phân xác định phụ thuộc tham số:
- Tính liên tục:
- Tính khả vi:
- Tính khả tích:
- III. Tích phân phụ thuộc tham số với cận biến đổi:
- Tính liên tục:
- Tính khả vi:
- Tính khả tích:
- §3.2: TÍCH PHÂN SUY RỘNG PHỤ THUỘC THAM SỐ
- I. Khái niệm:
- II. Các tính chất:
- Tính liên tục:
- Tính khả vi:
- Tính khả vi:
- III. Một số tích phân quan trọng:
- §3.3: TÍCH PHÂN EULER
- I. Hàm Gamma:
- II. Hàm Beta:
- CHƯƠNG IV: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
- §4.1: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI I
- I. Công thức tính:
- Dạng 1:
- Dạng 2:
- Dạng 3:
- Dạng 4:
- II. Ứng dụng của tích phân đường loại I:
- III. Tích phân đường loại I trong không gian 𝐎𝐱𝐲𝐳 :
- §𝟒. 𝟐: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI II
- I. Công thức tính:
- Dạng 1:
- Dạng 2:
- Dạng 3:
- II. Công thức Green:
- III. Điều kiện để tích phân không phụ thuộc vào đường đi:
- Định lí 4 mệnh đề tương đương:
- Bài toán tích phân không phụ thuộc vào đường đi:
- IV. Ứng dụng của tích phân đường loại II:
- Tính diện tích hình phẳng:
- đến vị trí B: 2. Tính công của một lực thay đổi làm dịch chuyển chất điểm từ vị trí A
- CHƯƠNG V: TÍCH PHÂN MẶT
- §5.1: TÍCH PHÂN MẶT LOẠI I
- I. Công thức tính:
- II. Ứng dụng của tích phân mặt loại I:
- §5.2: TÍCH PHÂN MẶT LOẠI II
- I.Tích phân mặt loại II:
- II.Công thức Ostrogradsky:
- III.Công thức Stoke:
- IV.Công thức liên hệ giữa tích phân mặt loại I và tích phân mặt loại II:
- CHƯƠNG VI: LÝ THUYẾT TRƯỜNG
- §6.1: TRƯỜNG VÔ HƯỚNG
- I. Định nghĩa:
- II. Đạo hàm theo hướng:
- Công thức tính:
- Tính chất:
- III. Gradient:
- §6.2: TRƯỜNG VECTO
- I. Định nghĩa:
- II. Dive, trường ống:
- III. Trường thế, hàm thế vị:
- Vecto xoáy ( 𝐫𝐨𝐭𝐅 ):
- Trường thế, hàm thế vị:
- IV. Thông lượng:
- Công thức tính:
- Các ví dụ minh họa:
- V. Lưu số (Hoàn lưu):
- Công thức tính:
- Các dạng chính:
- TÀI LIỆU THAM KHẢO:
CHƯƠNG I:
HÀM NHIỀU BIẾN SỐ
TỔNG HỢP CÁC DẠNG BÀI TRONG HÀM NHIỀU BIẾN
I. Bài toán tìm giới hạn của hàm nhiều biến số:
− Tính chất cơ bản của giới hạn:
- lim
( 𝑥,𝑦
) →
( 𝑎,𝑏
)
𝑘𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑘 lim
( 𝑥,𝑦
) →
( 𝑎,𝑏
)
- lim
(𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏)
[
)]
= lim
(𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏)
± lim
(𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏)
Tính chất thứ hai chỉ áp dụng được khi lim
(𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏)
và lim
(𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏)
hữu hạn.
Nếu hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) liên tục tại điểm (𝑥
0
0
) thì:
lim
(𝑥,𝑦)→(𝑥
0
,𝑦
0
)
0
0
− Dạng 1: Sử dụng định lí kẹp (với những bài có giới hạn bằng 0).
Định lí kẹp: {
lim
(𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏)
lim
(𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏)
⇒ lim
(𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏)
❖ Trong các bài tập, khi phán đoán được giới hạn lim
(𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏)
tiến đến 0, chúng ta sẽ sử
dụng định lí kẹp như sau:
Có: 0 ≤ |𝑓(𝑥, 𝑦)| ≤ |𝑔(𝑥, 𝑦)|. Vế trái của của |𝑓(𝑥, 𝑦)| đã được kẹp bởi số 0, nhiệm vụ sẽ là tìm
được hàm 𝑔(𝑥, 𝑦) thỏa mãn lim
(𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏)
𝑔(𝑥, 𝑦) = 0. Để làm được việc này chúng ta sẽ đánh giá,
tác động lên hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) bằng cách bớt tử, mẫu hay sử dụng bất đẳng thức Cauchy, sử dụng
|sin 𝑥|, |cos 𝑥| ≤ 1 ….. Sau khi tìm được hàm 𝑔(𝑥, 𝑦) phù hợp, sử dụng định lí kẹp
⇒ lim
(𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏)
|𝑓(𝑥, 𝑦)| = 0 ⇒ lim
(𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏)
VD1: Tính lim
(𝑥,𝑦)→( 0 , 0 )
2
sin 𝑦
2
2
Giải:
VD4: Tìm lim
(𝑥,𝑦)→( 0 , 0 )
4
4
2
2
Giải:
Dùng máy tính, dự đoán được lim
(𝑥,𝑦)→( 0 , 0 )
4
4
2
2
= 0 ⇒ dùng định lí kẹp
Ở VD này nếu để nguyên và bớt ở mẫu số như 2 VD trước thì vẫn chưa thể sử dụng định lí kẹp,
chúng ta sẽ chia
lim
(𝑥,𝑦)→( 0 , 0 )
4
4
2
2
= lim
(𝑥,𝑦)→( 0 , 0 )
4
2
2
- lim
(𝑥,𝑦)→( 0 , 0 )
4
2
2
Ta có: {
4
2
2
4
2
2
lim
(𝑥,𝑦)→( 0 , 0 )
2
⇒ lim
(𝑥,𝑦)→( 0 , 0 )
4
2
2
Định lý kẹp
Ta có:
4
2
2
4
2
2
lim
(𝑥,𝑦)→( 0 , 0 )
2
⇒ lim
(𝑥,𝑦)→( 0 , 0 )
4
2
2
Định lý kẹp
⇒ lim
(𝑥,𝑦)→( 0 , 0 )
4
4
2
2
= lim
(𝑥,𝑦)→( 0 , 0 )
4
2
2
- lim
(𝑥,𝑦)→( 0 , 0 )
4
2
2
VD5: Tính lim
( 𝑥,𝑦
) →
( 0 , 0
)
2
2
2
2
Giải:
Dùng máy tính, dự đoán được lim
(𝑥,𝑦)→( 0 , 0 )
2
2
2
2
= 0 ⇒ dùng định lí kẹp
Thấy rằng ở đây xuất hiện thừa số 𝑥𝑦, 𝑥
2
2
⇒ liên tưởng đến bất đẳng thức Cauchy.
Ta có:
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Mà lim
(𝑥,𝑦)→( 0 , 0 )
− 2. 0 | = 0 ⇒ lim
(𝑥,𝑦)→( 0 , 0 )
2
2
2
2
VD6: Tính lim
(𝑥,𝑦)→(+∞,+∞)
2
4
4
Giải:
(𝑥, 𝑦) → (+∞, +∞), nhập 𝑥 = 10
6
6
, thu được kết quả gần đến 0 ⇒ dùng định lí kẹp
Ta có: 0 ≤ |
2
4
4
2
4
2
Mà lim
(𝑥,𝑦)→(+∞,+∞)
2
| = 0 ⇒ lim
(𝑥,𝑦)→(+∞,+∞)
2
4
4
− Dạng 2: Sử dụng cách đặt 𝑦 = 𝑘𝑥 để chứng minh sự không tồn tại của giới hạn.
Theo định nghĩa, để tìm ra sự tồn tại hữu hạn của giới hạn lim
(𝑥,𝑦)→(𝑥
0
,𝑦
0
)
ta phải chỉ ra với
mọi dãy số
𝑛
0
𝑛
0
thì lim
(𝑥,𝑦)→
( 𝑥
0
,𝑦
0
)
= 𝐿 (𝐿 hữu hạn).
Vì vậy với những bài toán không tồn tại giới hạn, ta sẽ chỉ ra có hai dãy {𝑥
𝑛
0
𝑛
0
} và
𝑛
′
0
𝑛
′
0
} sao cho lim
(𝑥,𝑦)→
( 𝑥 0
,𝑦 0
)
𝑓(𝑥, 𝑦) nhận hai giá trị khác nhau.
Chúng ta thường xét hai dãy {𝑥 → 𝑥
0
0
} và {𝑥 → 𝑥
0
0
Và để đỡ tốn thời gian trình bày ta sẽ xét tổng quát dãy {𝑥 → 𝑥
0
0
VD1: Tính lim
(𝑥,𝑦)→( 0 , 0 )
2
2
2
Giải:
Dùng máy tính bấm ra một giá trị không gần sát 0 ⇒ dự đoán giới hạn này không tồn tại.
Xét (𝑥, 𝑦) → ( 0 , 0 ) theo phương 𝑦 = 𝑘𝑥
⇒ lim
(𝑥,𝑦)→( 0 , 0 )
2
2
2
= lim
(𝑥,𝑘𝑥)→( 0 , 0 )
2
2
2
= lim
(𝑥,𝑘𝑥)→( 0 , 0 )
2
2
Với mỗi 𝑘 khác nhau, lim
(𝑥,𝑦)→( 0 , 0 )
2
2
2
tiến đến những giới hạn khác nhau
Vậy không tồn tại lim
(𝑥,𝑦)→( 0 , 0 )
2
2
2
▪ Vô cùng lớn tương đương: với 𝑢 = 𝑓(𝑥, 𝑦) → +∞
𝑢
▪ Khai triển Maclaurin với 𝑢 → 0
𝑢
2
𝑛
𝑛
sin 𝑢 = 𝑢 −
3
5
𝑛
2 𝑛+ 1
2 𝑛+ 1
cos 𝑢 = 1 −
2
4
𝑛
2 𝑛
2 𝑛
ln
2
3
𝑛− 1
𝑛
𝑛
▪ Các dạng vô định thường gặp: 0
0
∞
0
VD1: Tính lim
(𝑥,𝑦)→( 0 , 0 )
2
2
1
𝑥
2
+𝑦
2
Giải:
Do 𝑥 → 0 , 𝑦 → 0 nên 𝑥
2
2
2
2
2
2
⇒ lim
(𝑥,𝑦)→( 0 , 0 )
2
2
1
𝑥
2
+𝑦
2
là dạng vô định 1
∞
⇒ sử dụng ( 1 +
𝑢
~ 𝑒 với 𝑢 → +∞
lim
(𝑥,𝑦)→( 0 , 0 )
2
2
1
𝑥
2
+𝑦
2
= lim
(𝑥,𝑦)→( 0 , 0 )
2
2
1
𝑥
2
𝑦
2
.𝑥
2
𝑦
2
1
𝑥
2
+𝑦
2
lim
(𝑥,𝑦)→( 0 , 0 )
𝑥
2
𝑦
2
𝑥
2
+𝑦
2
Ta có: |𝑥
2
2
| ≥ | 2 𝑥𝑦| (Cauchy) ⇒
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
| ⇒ lim
( 𝑥,𝑦
) →
( 0 , 0
)
| = 0 ⇒ lim
( 𝑥,𝑦
) →
( 0 , 0
)
2
2
2
2
định lý kẹp
⇒ lim
(𝑥,𝑦)→( 0 , 0 )
2
2
1
𝑥
2
+𝑦
2
0
VD2: Tính lim
(𝑥,𝑦)→( 0 , 0 )
2
1
𝑥
2
+𝑦
2
Giải:
Do
2
2
2
2
2
→ ∞ ⇒ Dạng vô định 1
∞
lim
(𝑥,𝑦)→( 0 , 0 )
2
1
𝑥
2
+𝑦
2
= lim
(𝑥,𝑦)→( 0 , 0 )
2
1
3 𝑥
2
. 3 𝑥
2
1
𝑥
2
+𝑦
2
lim
(𝑥,𝑦)→( 0 , 0 )
3 𝑥
2
𝑥
2
+𝑦
2
Xét (𝑥, 𝑦) → ( 0 , 0 ) theo phương 𝑦 = 𝑘𝑥
⇒ lim
(𝑥,𝑦)→( 0 , 0 )
2
2
2
= lim
(𝑥,𝑘𝑥)→( 0 , 0 )
2
2
2
= lim
(𝑥,𝑘𝑥)→( 0 , 0 )
2
2
Vậy với mỗi 𝑘 khác nhau lim
(𝑥,𝑦)→( 0 , 0 )
2
2
2
tiến đến những giá trị giới hạn khác nhau.
⇒ ∄ lim
( 𝑥,𝑦
) →
( 0 , 0
)
2
2
2
⇒ ∄ lim
( 𝑥,𝑦
) →
( 0 , 0
)
2
1
𝑥
2
+𝑦
2
VD3: Tính lim
(𝑥,𝑦)→( 0 , 0 )
cos(𝑥
2
2
2
2
Giải:
Do
2
2
⇒ cos(𝑥
2
2
) − 1 = −[ 1 − cos(𝑥
2
2
)] ~
2
2
2
⇒ lim
(𝑥,𝑦)→( 0 , 0 )
cos
2
2
2
2
= lim
(𝑥,𝑦)→( 0 , 0 )
2
2
2
2
2
= lim
(𝑥,𝑦)→( 0 , 0 )
2
2
VD4: Tính giới hạn hàm số 𝑓
𝑦
𝑥
2
2
Giải:
Sử dụng khai triển Maclaurin, ta có:
𝑥
− 1 = [ 1 + 𝑥 +
2
2
] − 1 = 𝑥 +
2
2
với 𝑥 → 0
VD1: Cho hàm số 𝑓(𝑥, 𝑦) = {
𝑥. arctan (
𝑦
𝑥
2
, nếu 𝑥 ≠ 0
0 , nếu 𝑥 = 0
. Xét tính liên tục của 𝑓(𝑥, 𝑦)tại 𝐵( 0 , 1 )
Giải:
Do
< arctan (
2
⇒ 0 ≤ |𝑥. arctan (
2
Mà lim
(𝑥,𝑦)→( 0 , 1 )
⇒ lim
(𝑥,𝑦)→( 0 , 1 )
𝑥. arctan (
2
(Định lý kẹp)
⇒ 𝑓(𝑥, 𝑦) liên tục tại 𝐵( 0 , 1 ).
VD2: Cho hàm số 𝑓(𝑥, 𝑦) = {
2
2
2
2
, nếu 𝑥
2
2
𝑎 , nếu 𝑥
2
2
Tìm 𝑎 để hàm số liên tục tại (0,0)
Giải:
2
2
= 0 chỉ xảy ra khi 𝑥 = 𝑦 = 0.
Để 𝑓
liên tục tại (0,0) ⇔ lim
(𝑥,𝑦)→( 0 , 0 )
Theo Cauchy: 𝑥
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Mà lim
(𝑥,𝑦)→( 0 , 0 )
⇒ lim
(𝑥,𝑦)→( 0 , 0 )
2
2
2
2
= 0 (Kẹp)
Vậy hàm số 𝑓(𝑥, 𝑦) liên tục tại (0,0) khi và chỉ khi 𝑎 = 0
VD3: Cho hàm số 𝑓
sin (
2
2
2
) , nếu
0 , nếu
Xét tính liên tục của hàm số tại (0,0)
Giải:
Xét theo phương 𝑦 = 𝑘𝑥
⇒ lim
(𝑥,𝑦)→( 0 , 0 )
sin (
2
2
2
) = lim
(𝑥,𝑘𝑥)→( 0 , 0 )
sin (
2
2
2
2
2
2
= lim
𝑥→ 0
𝑘𝑥→ 0
sin (
2
2
) = sin (
2
2
Vậy với mỗi 𝑘 khác nhau lim
( 𝑥,𝑦
) →
( 0 , 0
)
sin (
2
2
2
) tiến đến những giá trị giới hạn khác nhau.
⇒ Không tồn tại lim
(𝑥,𝑦)→( 0 , 0 )
sin (
2
2
2
) ⇒ Hàm số gián đoạn tại
VD4: Cho hàm số 𝑓
2
2
2
, nếu
0 , nếu (𝑥, 𝑦) = 0
Khảo sát sự liên tục của hàm số 𝑓(𝑥, 𝑦)
Giải:
Với (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅
2
{( 0 , 0 )} thì hàm số 𝑓(𝑥, 𝑦) liên tục.
Xét tính liên tục của hàm số 𝑓(𝑥, 𝑦) tại (0,0).
Với (𝑥, 𝑦) → ( 0 , 0 ), xét theo phương 𝑦 = 𝑘𝑥
⇒ lim
(𝑥,𝑦)→( 0 , 0 )
2
2
2
= lim
(𝑥,𝑘𝑥)→( 0 , 0 )
2
2
2
2
2
Vậy với mỗi 𝑘 khác nhau lim
(𝑥,𝑦)→( 0 , 0 )
2
2
2
tiến đến những giá trị giới hạn khác nhau.
⇒ Không tồn tại lim
(𝑥,𝑦)→( 0 , 0 )
2
2
2
⇒ Hàm số gián đoạn tại ( 0 , 0 )
Vậy hàm số 𝑓(𝑥, 𝑦) liên tục với (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅
2
{( 0 , 0 )}, gián đoạn tại ( 0 , 0 )
III. Các bài toán về đạo hàm riêng:
Trong hàm nhiều biến số xuất hiện một khái niêm mới là đạo hàm riêng
1. Tính đạo hàm riêng của hàm bị gãy khúc:
− Cho hàm số 𝑓
nếu 𝑥 ≠ 𝑥
0
ℎ(𝑥, 𝑦) nếu 𝑥 = 𝑥
0
. Thì để tính 𝑓
𝑥
′
tại điểm (𝑥
0
0
) không thể dùng
cách tính trực tiếp thông thường mà phải dùng định nghĩa như sau:
𝑥
′
0
0
) = lim
∆𝑥→ 0
0
0
0
0
− Tương tự, cho hàm số 𝑓(𝑥, 𝑦) = {
𝑔(𝑥, 𝑦) nếu 𝑦 ≠ 𝑦
0
ℎ(𝑥, 𝑦) nếu 𝑦 = 𝑦
0
. Thì để tính 𝑓
𝑦
′
tại điểm (𝑥
0
0
) không
thể dùng cách tính trực tiếp thông thường mà phải dùng định nghĩa như sau:
𝑦
′
0
0
) = lim
∆𝑦→ 0
0
0
0
0
VD1: Cho hàm số 𝑓(𝑥, 𝑦) = {
𝑦 arctan (
2
, nếu 𝑦 ≠ 0
0 , nếu 𝑦 = 0
. Tính 𝑓
𝑦
′
Giải:
𝑦
′
( 1 , 0 ) = lim
∆𝑦→ 0
= lim
∆𝑦→ 0
∆𝑦. arctan
= lim
∆𝑦→ 0
arctan
Với ∆𝑦 → 0 ⇒
→ +∞ ⇒ arctan
⇒ lim
∆𝑦→ 0
arctan
𝑦
′
( 1 , 0 ) = lim
∆𝑦→ 0
arctan
VD2: Biết 𝑓
3
3
2
2
, nếu (𝑥, 𝑦) ≠ ( 0 , 0 )
0 , nếu (𝑥, 𝑦) = ( 0 , 0 )
, tính 𝑓
𝑥
′
và 𝑓
𝑦
′
Giải:
𝑥
′
= lim
∆𝑥→ 0
= lim
∆𝑥→ 0
3
2
= lim
∆𝑥→ 0
3
3
𝑦
′
( 0 , 0 ) = lim
∆𝑦→ 0
= lim
∆𝑥→ 0
3
2
= lim
∆𝑥→ 0
3
3
2. Tính đạo hàm riêng của hàm số hợp:
− Cho hàm số 𝑓(𝑢) với 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑦) thì {
𝑥
′
𝑢
′
𝑥
′
𝑦
′
𝑢
′
𝑦
′
− Cho hàm số 𝑓(𝑢, 𝑣) với 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑦) và 𝑣 = 𝑣(𝑥, 𝑦) thì {
𝑥
′
𝑢
′
𝑥
′
𝑣
′
𝑥
′
𝑦
′
𝑢
′
𝑦
′
𝑣
′
𝑦
′
VD1: Tính 𝐴 = 𝑦𝑧
𝑥
′
𝑦
′
, biết 𝑧 = ln
2
2
Giải:
Ta có: 𝑧
𝑢
′
2
𝑥
′
2
2
2
2
𝑦
′
2
2
𝑥
′
𝑢
′
𝑥
′
2
2
2
2
2
2
2
2
𝑦
′
𝑢
′
𝑦
′
2
2
2
2
2
2
2
2
VD2: Tính đạo hàm riêng của các hàm số hợp sau:
𝑢
2
− 2 𝑣
2
với 𝑢 = cos 𝑥 , 𝑣 =
2
2
𝑏) 𝑧 = ln(𝑢
2
2
) với 𝑢 = 𝑥𝑦, 𝑣 =
Giải:
a) Ta có {
𝑢
′
𝑢
2
− 2 𝑣
2
𝑥
′
= − sin 𝑥 , 𝑢
𝑦
′
𝑣
′
𝑢
2
− 2 𝑣
2
𝑥
′
2
2
𝑦
′
2
2
𝑥
′
𝑢
′
𝑥
′
𝑣
′
𝑥
′
𝑢
2
− 2 𝑣
2
− sin 𝑥
𝑢
2
− 2 𝑣
2
2
2
𝑥
′
= − 2 cos 𝑥. sin 𝑥. 𝑒
(cos 𝑥)
2
− 2 (𝑥
2
+𝑦
2
)
2
2
2
2
(cos 𝑥)
2
− 2 (𝑥
2
+𝑦
2
)
𝑥
′
= − sin 2 𝑥. 𝑒
(cos 𝑥)
2
− 2 (𝑥
2
+𝑦
2
)
(cos 𝑥)
2
− 2 (𝑥
2
+𝑦
2
)