Download Toán cao cấp cho kinh doanh and more Study notes Mathematical finance in PDF only on Docsity!
M MỘỘTT VVÀÀII ỨỨNNGG DDỤỤNNGG
CCỦỦAA^ PPHHƯƯƠƠNNGG^ TTRRÌÌNNHH^ VVII^ PPHHÂÂNN
Quy luật làm lạnh của Newton ( Newton’s Law of Cooling ).
Nếu có một vụ giết người xảy ra, thì nhiệt độ cơ thể của nạn nhân sẽ giảm dần từ
0
37 C (nhiệt
độ bình thường trong cơ thể) đến nhiệt độ của môi trường xung quanh. Nghĩa là nhiệt độ của
nạn nhân lạnh dần với tốc độ tỷ lệ với sự chênh lệch giữa nhiệt độ của cơ thể và nhiệt độ của
môi trường xung quanh. Đây chính là quy luật làm lạnh của Newton. Giả sử T t ( ) là nhiệt độ
của cơ thể tại thời điểm t và gọi a là nhiệt độ của môi trường xung quanh. Thì quy luật làm
lạnh của Newton sẽ là phương trình vi phân
dT
k T a
dt
Ta sẽ giải phương trình (*) như sau.
Phương trình trên tương đương :
dT
k dt
T a
Lấy tích phân bất định hai vế, ta sẽ có : ln( T a ) kt C (chú ý rằng T a )
kt C kt C
T a e e e
Đặt 0
C
A e , thì ta có :
kt
T a Ae
kt
T a Ae
Như vậy, nhiệt độ của cơ thể theo quy tắc làm lạnh Newton là
kt
T t a Ae
Bài toán 1 ( Thời gian của vụ giết người )
Một người gọi điện thoại báo với cảnh sát : đã phát hiện có một nạn nhân bị sát hại trong chính
căn nhà của nạn nhân. Cảnh sát đến hiện trường lúc 23 20
h
. Tại thời điểm đó, cảnh sát đo được
nhiệt độ cơ thể của nạn nhân là
0
31 C, và một giờ sau thì cảnh sát lại đo được nhiệt độ cơ thể
của nạn nhân là
0
30 C. Nhiệt độ căn phòng mà xác nạn nhân được tìm thấy là
0
22 C. Hãy ước
lượng thời gian mà nạn nhân bị sát hại.
Giải :
Vì nhiệt độ căn phòng là
0
22 C nên nhiệt độ cơ thể của nạn nhân sau khi bị sát hại là :
kt
T t Ae
Tại thời điểm mà cảnh sát đến hiện trường, nhiệt độ cơ thể của nạn nhân là
0
31 C nên
T (0) 31
22 A 31 A 9
Nên ( ) 22 9
kt
T t e
Sau một giờ tính từ lúc cảnh sát có mặt tại hiện trường, nhiệt độ cơ thể của nạn nhân đo được là
0
30 C nên
T (1) 30
k
e
k
e
Như vậy :
t
T t
Lúc nạn nhân vừa bị sát hại thì nhiệt độ cơ thể của nạn nhân là
0
37 C. Ta tìm t để T t ( ) 37
t
t
8
9
log 4, 34
t
Ta đổi 4, 34 sang giờ, thì 4, 34 xấp xỉ 4 giờ 20 phút. Nghĩa là vụ giết người đã xảy ra trước lúc
cảnh sát đến hiện trường khoảng 4 giờ 20 phút. Do cảnh sát đến hiện trường lúc 23 20
h
, nên
nạn nhân bị sát hại vào khoảng 19 00
h
.
Mô hình tăng trưởng ( Exponential Growth Model ).
Ta ký hiệu y t ( ) là số lượng của một đại lượng tại thời điểm t. Nếu tốc độ tăng trưởng của số
lượng tỷ lệ với số lượng, thì có phương trình vi phân
dy
k y
dx
Phương trình (**) là một phương trình vi phân cấp 1 tách biến. Với kiến thức đã biết, ta dễ dàng
tìm được nghiệm tổng quát của phương trình (**) là
kt
y t A e
Nếu k 0 , ta gọi là tăng trưởng theo quy luật hàm mũ. Nếu k 0 , ta gọi là phân rã theo quy
luật hàm mũ. Ngoài ra, công thức nghiệm nói trên cũng rất hữu ích trong khoa khảo cổ học,
được các nhà khảo cổ dùng nhiều trong việc tính tuổi của một cổ vật ( người đọc có thể tìm thấy
các ví dụ trong các sách về khảo cổ học ).
Bài toán 2 ( Tăng trưởng dân số )
Trong một thành phố, các nhà dân số học quan sát thấy rằng tốc độ tăng trưởng của dân số
thành phố tỷ lệ với cỡ của dân số tại mọi thời điểm. Cách đây hai mươi năm, dân số của thành
phố này là 125000 người. Năm nay, dân số của thành phố này là 140000 người. Sau hai mươi
năm, dân số của thành phố này sẽ là bao nhiêu?
Giải :
Gọi y t ( ) là dân số của thành phố này tại thời điểm t.
Vì tốc độ tăng trưởng của dân số thành phố tỷ lệ với cỡ của dân số tại mọi thời điểm nên
dy
k y
dx
Nghĩa là ( ).
kt
y t A e
Cách đây hai mươi năm, dân số của thành phố này là 125000 người nên y (0) 125000
A 125000
Tức là ( )^ 125000.^
kt
y t e
Năm nay, dân số của thành phố này là 140000 người nên y (20) 140000
20
- 140000
t
e
20
1,
k
e
Do đó, dân số của thành phố này tại thời điểm t là :
(^20 ) 20 ( ) 125000. 125000. 125000.(1,12)
t t
kt k
y t e e
Vậy, dân số của thành phố này sau hai mươi năm sẽ là :
40
20 y (40) 125000.(1,12) 156800
Mặt khác, ta lại có :
2
3
ct ct
ct
bc e be
y t M
be
nên hoành độ điểm uốn là nghiệm của phương
trình 1 0
ct
be
ct
e b
ln b
t
c
. Với hoành độ điểm uốn là
ln
U
b
t
c
, thì ta tìm được tung
độ điểm uốn là
U
M
y .
y ( )^ t 0 với U
t t : đồ thị lõm phía bên trái điểm uốn.
y ( )^ t 0 với U
t t : đồ thị lồ phía bên phải điểm uốn.
Đồ thị của hàm Logistic được gọi là đường cong Logistic , có dạng tổng quát như sau
y
M ( tiệm cận ngang )
U
y hàm Logistic
O
U
t t
Sau đây, chúng ta sẽ làm quen một số ứng dụng của hàm Logistic trong thực tiễn.
Bài toán 3 ( Thành viên câu lạc bộ ) :
Một câu lạc bộ có số thành viên tối đa là 800. Một năm trước, số thành viên ban đầu của câu lạc
bộ này là 50. Hiện nay, số thành viên của câu lạc bộ này là 200. Cho biết sự gia nhập của các
thành viên tuân theo quy luật Logistic. Sau ba năm kể từ bây giờ, số thành viên của câu lạc bộ
này là bao nhiêu?
Giải :
Vì số thành viên tối đa là 800 nên ta xét hàm logistic :
ct ct
M
y t
be be
Một năm trước, số thành viên ban đầu của câu lạc bộ này là 50 nên y (0) 50
1 b
1 b 16 b 15
Do đó, hàm Logistic là :
ct
y t
e
Hiện nay, số thành viên của câu lạc bộ này là 200 nên y (1) 200
c
e
c
e
c
e
Vậy, hàm hàm Logistic là :
t
y t
Do đó, sau ba năm kể từ bây giờ, số thành viên của câu lạc bộ này là
4
y
Bài toán 4 ( Lan truyền của tin đồn ) :
Các nhà xã hội học đã chứng minh được sự lan truyền của tin đồn sẽ tuân theo quy luật Logistic.
Giả sử tại một trường đại học có 45000 sinh viên. Ban đầu có 300 sinh viên biết về tin đồn X.
Sau một tuần, có 900 sinh viên biết tin đồn nay. Hỏi : sau ba tuần thì có bao nhiêu sinh viên sẽ
biết tin đồn X nói trên?
Giải :
Vì số sinh viên trong trường đại học là 45000 nên ta xét hàm logistic :
ct ct
M
y t
be be
Ban đầu có 300 sinh viên biết tin đồn, nên y (0) 300
1 b
1 b 150 b 149
Do đó, hàm Logistic là :
ct
y t
e
Sau một tuần có 900 sinh viên biết tin đồn, nên y (1) 900
c
e
c
e
c
e
Vậy, hàm hàm Logistic là :
t
y t
Do đó, sau ba tuần, số sinh viên biết tin đồn là
3
y
