TD automatique avec corrigés preparation examen, Exercises of Automatic Controls

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Automatique Linéaire 1 – Travaux Dirigés

1 A ISMIN

Travaux dirigés , Automatique linéaire 1 – J.M. Dutertre – 2016

TD 1 – Introduction, modélisation, outils.

Exercice 1. 1 : Calcul de la réponse d’un 2

nd

ordre à une rampe

On considère un système régi par l’équation différentielle : Calculer la réponse de ce système à une rampe d’entrée e(t) = t.

Exercice 1.2 : Asservissement de température d’un four (

er

ordre) de

type proportionnelle dérivée.

On considère l’asservissement de température du système constitué d’un four et d’un capteur de température associé, représenté figure suivante : Avec : θ c(t) tension de consigne [V] Elle représente la température de consigne désirée pour le four (par rapport à la température ambiante). θ (t) tension de mesure [V] C’est la tension image de la température intérieure du four délivrée par le capteur (exprimée par rapport à la température ambiante). p(t) puissance électrique délivrée au four [W]. ε (t) erreur entre la consigne et la mesure [V]. La loi de commande est telle que : Eq. 1 Avec Kc gain statique τ d constante de dérivation Et les équations de fonctionnement du système conduisent à :

b. Calculer la valeur de K pour obtenir m = 0,7.

2. Dans la suite de l’exercice, la consigne est un échelon unitaire et K est réglé tel que m = 0,7. a. On se place en régime permanent, déterminer l’expression de s(+ ∞ ) et calculer sa valeur. b. Exprimer ε 0 (+ ∞ ) = e(+ ∞ ) - s(+ ∞ ) , la calculer. c. Calculer la valeur du tr5%. d. Représenter l’allure de s(t).
3. Pour diminuer l’erreur de position, on augmente la valeur de K. a. Calculer la valeur de K permettant d’obtenir ε 0 (+ ∞ ) = 0,05 V. b. En déduire la nouvelle valeur du coefficient d’amortissement m. c. Calculer l’amplitude relative (en %) du premier dépassement D 1. d. Calculer la nouvelle valeur du tr5%. e. Représenter l’allure de s(t). f. Calculer u( + ). Sachant que cette grandeur de commande est maximale à l’instant t = 0 + , en déduire la dynamique nécessaire à la sortie du correcteur pour que l’asservissement fonctionne toujours en régime linéaire.

TD 2 – Stabilité des systèmes asservis.

Exercice 2.1 : Stabilité d’un système du 3

ème

ordre (Routh)

On considère un système de F.T.B.O. : Déterminer à l’aide du critère de Routh les conditions de stabilité de ce système en boucle fermée lorsqu’il est placé dans une boucle d’asservissement à retour unitaire.

Exercice 2.2 : Réglage d’un système avec deux conditions de stabilité

On considère un système de fonction de transfert en boucle ouverte : Déterminer les conditions sur K de manière à ce que le système soit caractérisé par une marge de phase supérieure à 45° et par une marge de gain supérieure à 6 dB.

Exercice 2.3 : Mise en évidence des marges sur les diagrammes de Bode

On considère un système de fonction de transfert en boucle ouverte : Déterminer la valeur de K qui assure au système une marge de gain égale à 6 dB. Calculer la marge de phase pour cette valeur de K. Tracer les diagrammes de Bode du système en boucle ouverte en y faisant apparaître ces marges.

Exercice 2.4 : Nyquist

On considère un système de fonction de transfert en boucle ouverte :

1. Tracer son diagramme de Nyquist (le tracé préalable d’un diagramme de Bode est une aide).
2. Etudier sa stabilité.

TD 3 – Correction des systèmes asservis.

Exercice 3.1 : Correction à avance de phase.

La fonction de transfert en boucle ouverte d’un système asservi s’écrit : C réel et positif

1. Tracer le diagramme de Bode asymptotique de T(p) (gain et phase) pour C = 1 , et préciser les points remarquables.
2. Le système est à retour unitaire. Calculer C = Cmax qui rend le système instable en boucle fermée.
3. Retrouver Cmax en appliquant le critère de Routh.
4. Calculer C = C 0 qui assure une marge de phase de 45°.
5. Pour une entrée indicielle d’amplitude Xc , expliciter la transformée de Laplace de la sortie Y(p) du système bouclé. En déduire la valeur de y(+ ∞ ).
6. Calculer l’erreur de traînage du système bouclé pour une entrée en rampe : xc(t) = Xc.t ( ∀ t>0).
7. On désire améliorer le comportement du système à l’aide d’un correcteur qui présente la fonction de transfert suivante : Tracer le diagramme de Bode de C(p) pour un comportement dit à avance de phase. On posera : k = α / β.
8. Donner la valeur de α permettant de corriger intégralement le pôle dominant. On impose le déphasage maximal apporté par le correcteur : ϕ max = 45°. Et, on veut obtenir au final après correction une marge de phase de 45°. Calculer les valeurs de α , β , et C = C0c permettant de remplir ces conditions.
9. Tracer dans le plan de Black les fonctions de transfert en boucle ouverte du système corrigé et non corrigé à partir des valeurs données dans le tableau suivant (elles correspondent au cas C = C 0 ) : ω (rad/s) 1 2 5 10 17,5 30 50 ⏐T(jω)⏐dB 16,3 9,9 0,22 - 9,3 - 18,4 - 28,3 - 38 Arg(T(jω)) (^) - 100 - 110 - 134 - 160 - 180 - 199 - 218 ⏐C(jω).T(jω)⏐dB (^) 16,4 10,3 2,3 - 4 - 9,8 - 16,7 - 25 Arg(C(jω).T(jω)) - 93 - 95,4 - 103,4 - 116 - 134 - 160 - 189

Retrouver la valeur de C0c à l’aide du diagramme.

10. Quelle est la fréquence de résonance du système corrigé (pour C = C0c ) en boucle fermée? Dessiner l’allure approchée du module de la F.T.B.F. en dB (1er^ diagramme de Bode). Quel sont sa bande passante à - 3 dB , et son temps de réponse à 5%? Comparer ces valeurs à celles obtenues sans correction ( C = C 0 ).

b. Calculer C 0 afin d’obtenir une marge de phase de 45°. c. Donner l’expression de la fonction de transfert en boucle fermée et déterminer la valeur du temps de réponse à 5% à partir des abaques (pour un 2nd^ ordre). d. prend la même valeur qu’au I.d. Quel est l’effet sur la sortie d’un tel signal perturbateur? III. Correction proportionnelle et intégrale. C(p) est un correcteur proportionnel et intégral : C(p) = C 0 (1+ τ p)/ p. a. Tracer le diagramme de Bode de la fonction de transfert en boucle ouverte TBO(p) pour C 0 = 1 et. b. Calculer C 0 afin d’obtenir une pulsation de transition de 10^5 rad/s. c. Déterminer la valeur du temps de réponse à 5% lorsque l’entrée est un échelon de tension. d. prend la même valeur qu’au I.d. Quel est l’effet sur la sortie d’un tel signal perturbateur? IV. Bilan. Discuter et comparer les performances des trois correcteurs envisagés précédemment.

Exercice 3.3 : Correcteur P.I.D.

On considère le système (non corrigé) de fonction de transfert en boucle ouverte : Il est inséré dans une boucle d’asservissement à retour unitaire, comprenant un correcteur, C(p) , de type P.I.D. tel que :

4. Représenter TBO(j ω ) dans le plan de Black. On donne : ω (rad/s) 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,6 2 2, |TBO| dB 20 13 8,7 5,2 2 - 1 - 5,4 - 10,5 - 15 Arg(TBO) (degrés) - 107 - 123 - 138 - 150 - 162 - 172 - 186 - 200 - 210 On pourra également utiliser l’abaque A5.1 donnée ci-après pour tracer le lieu de Black de la FTBO.
5. Le correcteur P.I.D. est tel que K = 1 et on pose u = τ i .ω. Calculer |C(jω)|dB et Arg(C(jω)) pour u = 1 2 4 6 8 10 12 16 20 25.
6. Le P.I.D. est calculé par la méthode du pivot. On choisi comme pivot le point ω = 0,2 rad/s , en déduire τ i. Dessiner la FTBO corrigée pour K = 1 : Déterminer la valeur de K permettant d’obtenir un coefficient d’amortissement m = 0, pour le second ordre dominant équivalent.
7. Quelles sont les erreurs à l’échelon, à la rampe, et à la parabole unitaire?

Bibliographie.

"Cours d’automatique, tome 2 – Asservissement, régulation, commande analogique", Maurice Rivoire, Jean-Louis Ferrier, Ed. Eyrolles. "Electronique Tome 2 : Systèmes bouclés linéaires, de communication et de filtrage : Cours et exercices", François Manneville, Jacques Esquieu, Ed. Dunod. "Automatique: Commande des systèmes linéaires" , Philippe de Larminat, Ed. Hermes. "Feedback Control of Dynamic Systems", Franklin G.F., Powell J.D., Naemi-Emani A., Addison-Wesley. Beaucoup de liens de bonne qualité (dans tous les domaines) sur : http://pagesperso-orange.fr/xcotton/electron/coursetdocs.htm "Cours d’automatique 1 ère année", Jean-Paul Bourguet, cours cycle ISMIN.

Annexe 1 – Transformée de Laplace.

Transformée de Laplace monolatérale. Linéarité. Convolution. Fonction de transfert – H(p). Dérivation en temps. Intégration. Dérivation en p. Translation en p. Théorème du retard temporel. Théorème de la valeur initiale. Théorème de la valeur finale. Transformées de Laplace usuelles. Dirac : Échelon : Rampe :

Annexe 2 – Systèmes linéaires du second ordre.

Pulsation de résonance Pulsation de coupure Facteur de résonance Facteur de qualité Temps de montée Temps de réponse à n% ( m<0,7 ) Temps de pic Pseudo-période Dépassement Nombre d’oscillations complètes