Docsity
Docsity

Prepare for your exams
Prepare for your exams

Study with the several resources on Docsity


Earn points to download
Earn points to download

Earn points by helping other students or get them with a premium plan


Guidelines and tips
Guidelines and tips

Step, Delta, Convolution and Laplace-Differential Equations-Exam Paper, Exams of Differential Equations

Differentiation Equations course is one of basic course of science study. Its part of Mathematics, Computer Science, Physics, Engineering. This is past exam. It helps to prepare in coming paper. It includes: Phase, Lines, Equilibrium, Linear, Differential, Equation, Aquifier, Leak, Isoclines, Plane, Slope, Pseudoperiod

Typology: Exams

2011/2012

Uploaded on 08/07/2012

puja
puja 🇮🇳

4.3

(8)

92 documents

1 / 4

Toggle sidebar

This page cannot be seen from the preview

Don't miss anything!

bg1
�����
�����
�����
���
��������
����
����
��
������
����
�����
�����
��
�����
������
������������
�����
��
���
�����
��
���
����
��������
u(t)
��
��
����
���
��������
����
��
���
t < a
���
���
t > a
�����
a
��
������
����
����
��
��
�������
����
��
����
�����
����
�����
��
��
�������
���
��������
��
���
�������
���������
���
���
���
��
��
����������
���
������
���������
��
��
�����
��
��
��
��
������
��������
����
��
����
������
��
���
���������
���������
��
t = 0
���
����
���
��������
��
t
��
u˙(t b) = δ(t b)
���
��
a < b
����
´ δ(τ a) = u(t a)
a
��������
f(t)
��
���������
��
����������
�������
��
��
���
������
����
������
���
������
���
������
�����������
���
���
����
��
���
���������
f(n)(a)
���
f(n)(a+)
������
�����������
���������
��
������
�����������
��
�������
�����
����������
������������
���������
f(t)
��
���
f(t) = fr(t) + fs(t)
��
�������
��������
���
����������
���������
��
�������
��������
f(t)
���
������������
�����������
f(t)
����
�������
����
fr
(t)
���
�������
���������
��
f(t)
���������
��
�������
���
��������
����
fs
(t)
�����
���
��
�����
(f(a+) f(a))δ(t a)
���
���
��
�����
��
���
�����
��
f(t)
����
´ c f(t) dt = f(c) f(a)
��
����
��������
´ c+ f(t) dt = f(c+) f(a)
��
a a
��
���
����
��
����
�����
���
���������
����������
��
t
���
��������
��
����
���
t < 0
����
���
���������
��
���
�����������
��������
p(D)x = q(t)
����������
����
�����
�������
������������
��
����
x(t) = 0
���
t < 0
���
x
���
��
���
�����������
��
��������
���
����
�������
�������
��
������
��������
��
���
��������
p(D)
��
���
��������
w(t)
��
���
��������
p(D)w = δ(t)
����
����
�������
�����������
��
p(s) = ansn + + a0
����
· · ·
an = 0
���
x
��
���
����
p(D)x = 0
���
x(0) = · · · = x(n2)(0) = 0
���
x(n1)(0) = a
1
n
����
w(t) = u(t)x(t)
���
����
����
�������
��
���
��������
��
p(D)v = u(t)
����
����
�������
�����������
���
t > 0
����
���������
����
���
��������
��
p(D)x = 1
���
����
x(0) = = x(n1)(0) = 0
�����
u˙(t) = δ(t)
v˙ (t) = w(t)
· · ·
���
��������
��
����
�������
����������
���
������
��������
��
��
�����
�����
������
�����
����
�������
������������
���
��������
��
p(D)x = q(t)
��
�����
x(t) = w(t) q(t)
t
�����
���
��������
���������
���
����������
������
f(t) g(t) = ´ f(t τ)g(τ)
0
���
����������
�������
���
����������
���������
��
���
��������
��������
f (g h) =
(f g) h
f (ag + bh) = a(f g) + b(f h)
f g = g f
����
f(t) δ(t) = f(t)
��
��
����
���
������
��
������
�����
����
�������
��������
g(t)
����
�������
������
�����
����
�������
��������
f(t)
��
��
���
����������
�������
����
����
�������
��������
f(t) g(t)
���
�������
���������
�������
�����������
��������
�����
f(t) = 0
���
t < 0
��
��������
F (s)
��
�������
�������
s
��
�����
����
��
������
���
����
��������
��
����
���
���������
���
���
t
����������
����
L[f(t)] = sF (s)
�����
����
f(t)
�������
���
�����������
�����������
�����
���
��������
�������������
����
���������
L[δ(t)] = 1
����
�������
��������
��
s
��
�����
�������
�����
����
���
����
�������
��������
w(t)
��
p(D)
��������
L[w(t)] = 1
W (s) = L[w(t)]
��
���
��������
��������
��
��
��������
p(D)
p(s)
����
���
��������
��
p(D)x = f(t)
����
����
�������
����������
���
�������
���������
X(s) = W (s)F (s)
����
�������
��
���
�������
L[f(t) g(t)] = F (s)G(s)
��
f(t)
���
g(t)
��
���
����
������
����������
��
f(a) = g(a)
���
f(a+) =
docsity.com
pf3
pf4

Partial preview of the text

Download Step, Delta, Convolution and Laplace-Differential Equations-Exam Paper and more Exams Differential Equations in PDF only on Docsity!

����� ����� �� ����� ������ ������������ �������

��� ��� ����� �� ��� ���� �������� u(t) �� ��� ���� ������ �������� ����� �� � ��� t < −a

��� � ��� t > a� ����� a �� � �������� ������ ����� �� ���� ������� ���� ��� ���� �����

���� ������ �� ��� ��������� ������������ �� t = 0 ��� ����� ��� �������� ��

t

�� u˙ (t − b) = δ(t − b) ��� �� a < b ����

δ(τ − a) dτ = u(t − a)� a

� �������� f (t) �� ��������� �� ���������� ������� �� �� ��� �� ������ ���� ������ ����

������ ��� ������ ����������� ��� ���� ���� �� ���� ���������� f

(n)

(a−) ��� f

(n)

(a+)

������������ ��������� f (t) �� � ��� f (t) = fr(t) + fs(t) �� � ������� �������� ��� �

����������� ��������� ��� ������� �������� f (t) ��� � ������������ ����������� f

� (t)� ����

������� ���� f r

(t) ��� ������� ���������� �� f (t) ��������� �� ������� ��� �������� ����

f s

� (t) ����� �� � ��� �� ����� (f (a+) − f (a−))δ(t − a)� ��� ��� ���� ����� �� ��� �����

�� f (t)�

c

f

� (t) dt = f (c) − f (a)� ��� �� ���� ��������

c+

f

� (t) dt = f (c+) − f (a−)�� a a−

��� ��� ���� �� ���� ����� ��� ��������� ���������� �� t� ��� �������� �� �� ���� ��� t < 0 � ��

���� ��� ��������� �� ��� ����������� �������� p(D)x = q(t)� ���������� ���� ����� �������

������������ �� ���� x(t) = 0 ��� t < 0 ��� x ��� �� ���� ����������� �� ���������

��� ���� ������� �������� �� ������ �������� �� ��� �������� p(D) �� ��� �������� w(t)

�� ��� �������� p(D)w = δ(t)� ���� ���� ������� ����������� �� p(s) = a n

s

n

    • a 0

a n

= 0� � ��� x �� ���� ���� p(D)x = 0 ��� x(0) = · · · = x

(n−2) (0) = 0 ��� x

(n−1) (0) =

a

1

n

���� w(t) = u(t)x(t)� ��� ���� ���� �������� �� ��� �������� �� p(D)v = u(t) ���� ����

������� ����������� ��� t > 0 ���� ��������� ���� ��� �������� �� p(D)x = 1 ���� ����

x(0) = = x

(n−1)

· · · (0) = 0 � ����� u˙ (t) = δ(t)� v˙(t) = w(t)�

����� ���� ������� ������������ ��� �������� �� p(D)x = q(t) �� ����� �� x(t) = w(t) ∗ q(t)�

t

����� ��� �������� ��������� ��� ����������� ������� f (t) ∗ g(t) =

f (t − τ )g(τ ) dτ � 0

��� ����������� ������� ��� ���������� ��������� �� ��� �������� �������� f ∗ (g ∗ h) =

(f ∗ g) ∗ h� f ∗ (ag + bh) = a(f ∗ g) + b(f ∗ h)� f ∗ g = g ∗ f � ���� f (t) ∗ δ(t) = f (t)� �� ���

���� ��� ������ �� � ������ ����� ���� ������� �������� g(t)� ���� ������� ������ �����

���� ������� �������� f (t)�� ��� ��� � ���������� ������� ���� ���� ������� ��������

f (t) ∗ g(t)�

��� ������� ��������� ������� � ����������� �������� ����� f (t) = 0 ��� t < 0 � �� �

�������� F (s) �� � ������� �������� s� �� ����� � ����� �� ������ ��� ���� ��������� ��

����� ��� ��������� ��� ��� t����������� ���� L[f

(t)] = sF (s)� ����� ���� f

(t) ������� ���

����������� ����������� ����� ��� �������� ������������� ���� ��������� L[δ(t)] = 1 ����

�������� �������� �� s�� ����� ������� ����� ���� ��� ���� ������� �������� w(t) �� p(D)

�������� L[w(t)] =

1

� W (s) = L[w(t)] �� ��� �������� �������� �� ��� �������� p(D)� p(s)

���� ��� �������� �� p(D)x = f (t) ���� ���� ������� ���������� ��� ������� ���������

X(s) = W (s)F (s)� ���� ������� �� ��� ������� L[f (t) ∗ g(t)] = F (s)G(s)�

�� f (t) ��� g(t) ���� ��� ���� ������� ���������� ���� f (a−) = g(a−) ��� f (a+) =

g(a+) ��� ����� a ≥ 0 �

�� F (s) �� � �������� �������� ��������� �� � ���������� �� � ������������ ����������

���������� �������� �������� ��� �� ��� f (t)� ��������� �� �� ������� ��� �� �������

���� �� ��� ����������� ���� ������� ���� ���������� ��� ������ ��� ��� s������ �����

��� ���� ������� �� F (s) �� ��� ��� �� ������� ������� s �� ����� |F (s)| �������

F (s) = L[f (t)] ���������� ��� ������ �� ����������� �� ��� ��������� �� �� ��� ������ ��

���� �� ��� �������� �� f (t) ��� ����� t ������ ������ ������� ����� �������� ��� �����

t�� ��� ��������� ����� ��������� � ���� �� a + iω ����� �� ����������� ������������

���� e

at ��� ���� ���������� ����� e

at � ��� ����������� �� �������� ��������� ω�

��� �������� �������� ������� ������� �� ��� ������� ��� ����������� �������� �� p(D)z =

e

rt �� z p

= W (r)e

rt � �� ��� ���������� �������� �� p(D)x = cos(ωt) �� x p

= |W (iω)| cos(ωt−

φ)� ����� φ = −Arg (W (iω))� W (iω) �� ��� ������� ���� �� e

rt

������ �� �������� �� ���

����� �������� ��� |W (iω)| �� ��� ����� ��� ��������� �������� ����� �� �������� ��

������������ ��� ����� �� |W (s)| ���� ��� ����� ����� ��� ��������� �����

�������� ���� ����

�� ��� ω �� � �������� ��������� �� ����� � �������� ���������� ���� � ������ ���� ��

�������� ��������� ω� x¨ + 4x = sq(ωt)�

��� ����� ���� � �������� �������� �� ��� ��������� �� ω �� ���� ���� ����� �� ����

��� ��� ���� ������ �� ω ���� ����� ���� �� �� � �������� ���������

�� ��� f (t) =

⎪ ⎨

⎪ ⎩

0 ��� t < 0

1 − t ��� 0 < t < 1

t > 1

��� ������ ��� ����� �� f (t)�

��� ������ ��� ����� �� ��� ����������� ���������� f

� (t)�

��� ����� ���� � ������� ��� f

(t) �� ����� �� ���� ��� ����� ����������

�� ��� ������� ��� ����������� ������� t ∗ t

6 �

��� � ������� �������� p(D) ��� ���� ������� �������� w(t) = 2u(t)te

−t

� ���� �� ���

�������� �� p(D)x = e

−t ���� ���� ������� �����������

�� ��� ���� �� ��� ������� ��������� �� ��� �������� �� ��� �������� x¨ + 2 ˙x + 2x = 1

2 s

��� ���� �������� f (t) ��� ������� ��������� F (s) = �

(s + 1)(s

2

  • 2s + 5)

�� ��� ������ ��� ���� ������� ��� ��� �������� F (s) = �

(s + 1)(s

2

  • 2s + 5)

��� ���� �� ������� �� � �������� f (t) ����� ������� ��������� ��� ����� �� s = 2 ���

s = − 3 ± 4 i ��� ������� �����

� �

� �

� � � �

� �

���������

4 sin(3ωt) sin(5ωt)

�� ��� sq(ωt) = sin(ωt) + + + � ����� ������������� ��� ���

π 3 5

sin(ωt)

���� ���� x¨ + 4x = A sin(ωt) ��� �������� x p

= A �

4 − ω

2

4 sin(ωt) sin(3ωt) sin(5ωt)

x p

π 4 − ω

2 3(4 − 9 ω

2 ) 5(4 − 25 ω

2 )

��� ���� �������� ���� ��� ����� �� ω = 2/���� ���������

� �

� �

� �

� �

��� f

� (t) = −(u(t) − u(t − 1)) + δ(t) + δ(t − 1)�

t t

τ

7 τ

8

1 1

t

8

�� ��� t ∗ t

6

=

(t − τ )τ

6

dτ =

(tτ

6

− τ

7

) dτ =

t

� t

= t

8

0 0 0

t t (^) � � t

��� x(t) = w(t) ∗ e

−t

=

2(t − τ )e

−(t−τ )

e

−τ

dτ = e

−t

2(t − τ ) dτ = e

−t

−(t − τ )

2

= t

2

e

−t

0

0 0

�� ��� s

2

X + 2sX + 2X = � �� X = �

s s(s

2

  • 2s + 2)

2 s a b(s + 1) + c

(s + 1)(s

2

  • 2s + 5) s + 1 (s + 1)

2

  • 4

1

�� �������� a =

� b(2i) + c =

2(−1 + 2i)

= 2 + i �� b = 2

2

  • 2(−1) + 5 2 2 i

c = 2� ���� f (t) = − 2

1

e

−t

  • e

−t

2

1

cos(2t) + sin(2t) �

�� ��� ����� �� s = − 1 ��� �� s = − 1 ± 2 i�

��� e

2 t

  • e

− 3 t sin(4t)� �� ���� �������