Download solucionario matematicas 2n batx and more Exercises Food science in PDF only on Docsity!
Comencem
ï Com síanomenen dos vectors que tenen el mateix mÚdul, la mateixa direcciÛ i sentits contraris? I el vector que resulta de fer-ne la suma?
Vectors oposats. Vector mil.
ï Dos vectors que tenen diferent direcciÛ, te- nen tambÈ diferent sentit? Justifica la teva resposta. Els sentits de dos vectors nomÈs es poden com- parar si aquests vectors tenen la mateixa direcciÛ.
ï El vector del pla Ès un representant del vector = (4, ñ5). Si les coordenades del punt A sÛn (ñ2, 4), quines sÛn les coordena- des del punt B? Resol líexercici analÌtica- ment i gr‡ficament. Anomenem B(x,y). Es compleix:
Exercicis
- Indica en cada cas com identificaries a par- tir de les seves coordenades:
a) Un punt de líeix X (x,0,0) b) Un punt de líeix Y
(0,y,0) c) Un punt de líeix Z
(0,0,z)
d) Un punt del pla XY
(x,y,0) e) Un punt del pla XZ (x,0,z) f) Un punt del pla YZ (0,y,z) x, y i z ΠIR
Dibuixa uns eixos de coordenades i repre- senta-hi els punts seg¸ents: A(5, 3, 2) B(ñ4, 6, ñ3) C(0, 0, ñ6) D(2, ñ5, 0)
Digues les coordenades dels punts se- g¸ents:
a) El punt P que es troba a líeix X a dist‡n- cia 3 de líorigen de coordenades en el sentit negatiu de líesmentat eix. P(ñ3,0,0)
b) El punt Q que es troba en el pla YZ a dis- t‡ncia 5 de líorigen de coordenades i tal que el vector forma un angle de 30∞ amb el sentit positiu de líeix Y.
c) El punt R situat en el pla XZ a dist‡ncia 4 de líorigen i tal que la recta que passa per O i per R forma un angle de 60∞ amb el sentit positiu de líeix Z.
- Donat el vector = (2, 4, 3), dibuixa en uns eixos de coordenades el seu representant
r v
R(4 sin 60∫, 0,4 cos 60∫ ) = ( 2 3,0,2)
(0,5 cos 30∫,5 sin 30∫ ) 0, , 3 2
Q
Ê ˆ
= ÁÁ ˜˜
Ë ¯
OQ
uuur
v AB x y x x y y B
= Æ - = + -
= + Æ =
- = - Æ = -
r^ uuur
r v
uuur AB
McGraw-Hill/Interamericana de EspaÒa, S.A.U. Matem‡tiques 2. Batxillerat
SOLUCIONARI Unitat 7
que tÈ per origen el punt A(3, 2, 4). Quines sÛn les coordenades de líextrem díaquest vector?
Si B(xyz), Æ (2,4,3) = = (x ñ 3, y ñ 2, z ñ 4) 2 = x ñ 3 Æ x = 5; 4 = y ñ 2 Æ y = 6; 3 = z ñ 4 Æ z = 7
Líextrem del vector Ès el punt B(5,6,7).
- Determina els components cartesians i el mÚdul de cadascun dels vectors seg¸ents:
a) amb A(ñ3, ñ1, 5) i B(2, ñ4, ñ1)
b) amb C(0, ñ4, 1) i D(ñ3, 5, ñ6)
c) amb E(1, ñ1, 3) i F(ñ2, 3, ñ1)
d) amb G(ñ6, 10, 3) i H(ñ5, 8, ñ1)
- Representant el vector = (2, ñ6, ñ1) amb origen al punt M, síobtÈ el punt N(1, 0, ñ4). Determina les coordenades de M.
Anomenem M(x,y,z). Si , es verifica: (2, ñ6, ñ1) = (1 ñx, ñy, ñ4 ñz)
Per tant: 2 = 1 ñ x Æ x = ñ ñ6 = ñy Æ y = 6 ñ1 = ñ4 ñ z Æ z = ñ M(ñ1, 6, ñ3)
Quins sÛn els components del vector nul? I el seu mÚdul?
Els vectors i sÛn equipol∑lents. Si P(0, ñ1, 3), Q(3, 4, 1) i S(ñ4, ñ2, 1), esbrina les coordenades del punt R. Anomenem R(x,y,z) Æ (3,5,ñ2) = (ñ4 ñ x, ñ2 ñ y, 1 ñ z) 3 = ñ4 ñ x Æ x = ñ 5 = ñ2 ñ y Æ y = ñ ñ2 = 1 ñ z Æ z = 3 R(ñ7,ñ7,3)
Els punts P, Q, R i S de líexercici anterior determinen un paral∑lelogram? Raonaín la resposta.
SÌ, perquË si els vectors sÛn equiva- lents, tambÈ ho sÛn els vectors. Per tant, unint mitjanÁant segments els punts P, Q, R i S síobtÈ un quadril‡ter que tÈ els costats iguals i paral∑lels dos a dos.
- Dos vectors oposats tenen el mateix mÚdul, la mateixa direcciÛ i sentits contraris. Quina relaciÛ síestableix entre els components de dos vectors oposats? Determina els com- ponents i el mÚdul del vector oposat del vector = (ñ1, 3, ñ4).
Els components respectius de dos vectors opo- sats sÛn nombres reals que tambÈ son oposats.
- Donats els punts A(2, 4, 5) i B(4, 6, t), calcu- la el valor de t sabent que | | = 3.
Líexercici tÈ dues possibles solucions.
- Considera un punt P i el vector = (2, ñ3, 5). Si les coordenades de Q sÛn (1, 2, ñ1) i el vector posiciÛ del punt P Ès equipol∑lent al vector , troba les coordenades dels punts P i R.
Les coordenades del punt P sÛn (2, ñ3, 5).
QR
uuur
QR
uuur
2 2
1 2
0 6 i 4
AB t t t t t t
= Æ - + = Æ - + =
= Æ = =
uuur
( )
2
2
AB t AB t
t t
= - Æ = + - =
uuur uuur
uuur AB
r r
r v
PR iQS
PQ iRS uuur uuur
uuur uuur
PQ =RS
uuur uuur
RS
uuur PQ
uuur
O = (0,0,0); O= 0
ur ur
v = MN
r uuuur
r v
GH = (1, - 2, - 4) Æ GH= 21
uuur uuur
GH
uuur
EF = ( 3,4,- - 4) Æ EF= 41
uuur uuur
EF
uuur
CD = ( 3,9,- - 7) Æ CD= 139
uuur uuur
CD
uuur
AB = (5, - 3, - 6) Æ AB= 70
uuur uuur
uuur AB
v
r
v = AB
r uuur
McGraw-Hill/Interamericana de EspaÒa, S.A.U. Matem‡tiques 2. Batxillerat
Demostra que el conjunt de totes les fun- cions reals que síanul∑len en el punt x 0 , amb les operacions habituals de suma de funcions i producte díun nombre real per una funciÛ, tÈ estructura díespai vectorial. ï Si f, g Œ F, (f + g) (x 0 ) = f(x 0 ) + g(x 0 ) = 0 + 0 = = 0 Æ f + g Œ F. ï Si f Œ F i l Œ IR, (lf)(x 0 ) = (lf)(x 0 ) l ∑ 0 = 0 Æ Æ lf Œ F. ï Líelement neutre 0(x) = 0 pertany a F, ja que 0(x) = 0. ï Si f Œ F, existeix líelement oposat ñf Œ F, ja que (ñf)(x 0 ) = ñf(x 0 ) = ñ0 = 0.
Considera els vectors seg¸ents:
= (2, ñ1, 3) i = (ñ1, 3, ñ2)
Troba el vector ŒŒV 3 que verifica 3 ñ 2 = =.
- Considera un vector no nul ŒŒV 3. Prova que el conjunt de vectors de V 3 de la forma k ∑ , k ŒŒ ¬¬ amb les operacions suma i pro- ducte per un nombre real tÈ estructura díes- pai vectorial. No oblidis que (V 3 , +, ∑) ja Ès un espai vectorial. Interpreta geomËtrica- ment el conjunt de vectors estudiat. a) Si k, h Œ IR,
b) Si h ΠIR,
El conjunt S est‡ format per tots els vectors que tenen la mateixa direcciÛ.
- Troba els nombres reals l 1 i l 2 que verifi-
quen la condiciÛ l 1 (2, ñ3) + l 2 (ñ1, 2) = (0, 0).
- Donats els vectors 1 = (ñ3, 1, 5), 2 = (2, ñ5,
- i 3 = (4, 0, ñ1), troba en cada cas el vec- tor que resulta de fer-ne les combinacions lineals seg¸ents: a) ñ 1 + 3 2 ñ (^3)
b) 2 1 ñ 2 ñ 3 (^3)
c) ñ2( 1 ñ2 2 ) + 4 (^3)
d) 3 1 ñ ( 2 ñ 2 3 )
- Expressa el vector = (2, ñ4, ñ1) en combi- naciÛ lineal dels vectors 1 = (1, ñ2, 3), 2 = (4, 1, 2) i 3 = (1, 0, 0).
La soluciÛ del sistema Ès l 1 = 1, l 2 = ñ2 i l 3 = 9.
- Donats els vectors { 1 , 2 , Ö, (^) n }, indica raonadament si sÛn certes o falses les afir- macions seg¸ents: a) Cada vector (^) i Ès combinaciÛ lineal de tots ells. Cert, perquË, per exemple:
b) El vector tambÈ Ès combinaciÛ lineal díaquests vectors.
Cert, perquË:
- Donats dos vectors no nuls de V 3 , quina condiciÛ geomËtrica síha de verificar per- quË un díells sigui combinaciÛ lineal de líal- tre? Quina relaciÛ cal que hi hagi entre els respectius components díaquests dos vec- tors? Passa el mateix amb dos vectors no nuls de V 2? Els dos vectors han de tenir la mateixa direc- ciÛ, Ès a dir, síhan de situar sobre la mateixa recta o sobre rectes parel∑leles. Els components respectius díaquests vectors han de ser proporcionals:
0 = l 1 v 1 + + l (^) n vn Æ l 1 = = l (^) n=0.
r (^) r r K K
r
n n n
v = l v + l v + + l v Æ l = l = = = l =
r r r r K K
r v
r v
r v
r v
v = v 1 - 2 v 2 + 9 v 3
r r r r
1 2 3 1 2 1 2
l l l l l l l
Ï = + +
Ô- = - +
Ì
Ô- = +
Ó
(2, - 4,^ -^1 )^ = l 1 (^1 ,^ - 2,3^ ) + l^2 ( 4,1,2^ ) + l 3 (^1 ,0,0)
v = l 1 v 1 + l 2 v 2 +l 3 v 3
r r r r
r v
r v
r v
r v
3 v 1 - (v 2 - 2 v 3 ) = 3 v 1 - v 2 + 2 v 3 = (- 3,8,10)
r r r r r r
r v
r v
r v
( ) ( )
- v - v + v = - v + v + v = = - -
r r r r r r
r v
r v
r v
2 v 1 - v 2 - 3 v 3 = (^) ( - 20,7,10)
r r r
r v
r v
r v
- v 1 + 3 v 2 - v 3 = (^) (5, - 16,5)
r r r
r v
r v
r v
r v
r v
r v
1 (^ )^2 (^ )^ (^ ) 1 1 2 1 2
l l l l l l l l
˝ =^ =
h kv ( ) = (^) (kh v ) ŒS
r r
r r r kv hv k h v S
r v
r v
( )
x w v x v w x v w
x
- = Æ = + Æ = + Æ
Ê - ˆ
Æ = Á ˜
Ë ¯
r r r r r r r r r
r
r v
w
r x
r x
r
w
r r v
McGraw-Hill/Interamericana de EspaÒa, S.A.U. Matem‡tiques 2. Batxillerat
Amb dos vectors no nuls de v 2 passa exacta- ment el mateix.
- Esbrina si sÛn linealment dependents o li- nealment independents els conjunts de vectors seg¸ents:
a) = (2, ñ1, 3) i =
linealment dependents
b) = (ñ1, 0, 2), = (2, 0, ñ4) i = (3, ñ1, 5)
linealment dependents
c) = (1, ñ2, 4), = (0, 2, 1) i = (ñ1, ñ3, 0)
El sistema no tÈ soluciÛ Æ linealment inde- pendents.
d) = (1, ñ3), = (2, 1) i = (ñ4, ñ9)
l 1 = 2; l 2 = ñ3; Æ linealment dependents.
e) = (1, 0, 0), = (0, 1, 0), = (0, 0, 1) i = (2, ñ3, 5)
l 1 = 2; l 2 = ñ3; l 3 = 5 Æ linealment depen- dents.
Existeix algun valor de k que faci que els vectors = (3, 2, 2) i = (6, ñ4, k) siguin li- nealment dependents? Justifica la respos- ta. No, perquË independentment del valor de k,
Troba p perquË els vectors seg¸ents: = (1, 2, ñ3), = (3, 0, ñ4) i = (2, 1, p) siguin linealment dependents. Per a quins valors de p aquests mateixos vectors sÛn lineal- ment independents?
Si p = ñ7/2 Æ vectors linealment dependents. Si p π ñ7/2 Æ vectors linealment independents.
- Justifica que si A, B i C sÛn tres punts de ¬¬^3 i els vectors i sÛn linealment de- pendents, aleshores aquests tres punts es- tan alineats. Esbrina si els punts A(3, ñ4, 1), B(2, ñ1, 4) i C(0, 5, 10) es troben sobre la mateixa recta.
Si els vectors i sÛn linealment depen- dents, vol dir que tenen la mateixa direcciÛ. Per tant, els punts A, B i C han díestar alineats.
Es compleix que Æ els punts A, B i
C se situen en la mateixa recta.
- Se sap que els punts P, Q i R estan alineats. Si P(1, ñ2, 3) i Q(4, 1, 5), determina les co- ordenades x i y del punt R sabent que la seva coordenada z Ès 9.
Les coordenades del punt R sÛn (10,7,9).
( )
= y - Æ y=
( )
= x - Æ x=
( 3,3,2^ ) ( 4,^1 ,4) 1 2 4 2
PQ k QR k x y
k k
= ◊ Æ = - -
= ◊ Æ =
uuur uuur
QR = (^) ( x - 4, y- 1 ,4)
uuur
PQ = (3,3,2 )
uuur
AB = BC
uuur uuur
BC = (^) ( - 2,6,6)
uuur
AB = (^) ( - 1 ,3,3)
uuur
BC
uuur AB
uuur
CD
uuur uuur AB
p = - ◊ - ◊ = - - = -
1 2
l = l =
1 2 1 1 2
p 3 4
l l l l l
Ï = +
Ô
Ì =
Ô = - -
Ó
( 2,1,^ p^ ) = l 1 (^1 ,2,^ -^3 ) + l^2 (3,0, -^4 )
u 3 = l 1 u 1 +l 2 u 2
r r r
r u 3
r u 2
r u 1
π
r v 2
r v 1
e 4 = l 1 e 1 + l 2 e 2 +l 3 e 3
r r r r
r e 4
r e 3
r e 2
r e 1
1 2 1 2
l l l l
Ï-^ =^ +
Ì
Ó-^ = -^ +
( - 4,^ -^9 )^ =^ l 1 ( -^1 ,3^ ) +l 2 ( 2,1)
d 3 = l 1 d 1 +l 2 d 2
r r r
r d 3
r d 2
r d 1
1 1 2 1 2
l l l l l
Ï-^ =
Ô
Ì-^ = -^ +
Ô = +
Ó
( -^1 ,^ - 3,0^ )^ =^ l 1 (^1 ,^ - 2,4^ ) +l 2 (0,2,1 )
c 3 = l 1 c 1 +l 2 c 2
r r r
r c 3
r c 2
r c 1
b 2 = a b 1 + b b 3 Æ a = -2, b= 0 Æ
r r r
r b 3
r b 2
r b 1
a 1 = ka 2 Æ k= - 3 Æ
r r
ÊÊ - - - - ˆˆ
ÁÁ ˜˜
ËË ¯¯
r a 2
r a 1
( 1 2 3 ) ( 1 2 3 ) 1 2 3 1 2 3
v k w v , v , v k w , w ,w v v v k w w w
= ◊ Æ = Æ
Æ = = =
r r
McGraw-Hill/Interamericana de EspaÒa, S.A.U. Matem‡tiques 2. Batxillerat
l 1 = ñ2/7, l 2 = 6/
Els vectors , i sÛn base si
- Els punts A(1, ñ2, 1), B(0, 0, ñ1), C(ñ2, ñ1, 3) i D(1, ñ1, 4) sÛn coplanaris?
Els punts A, B, C i D no sÛn coplanaris, per- quË, per exemple els vectors , i sÛn linealment independents.
El sistema no tÈ soluciÛ Æ els tres vectors sÛn linealment independents.
- En la base B = {(1, 1, ñ2), (3, ñ1, 4), (5, ñ2, 0)}, els components díun vector sÛn (2, ñ3, 0). Determina els components díaquest mateix vector en la base canÚnica i en la base Bí = {(1, 0, ñ2), (2, ñ3 ñ1), (ñ2, 1, 0)}.
La soluciÛ del sistema Ès
Per tant, els components del vector en la
base B sÛn
- Ens diuen que els components díun vector en la base B = {(1, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0, ñ1)} sÛn (2, 1, 2) i que els components díaquest
mateix vector en la base Bí = {(2, 1, 0), (0, 0, 1), (ñ1, 1, 0)} sÛn (1, 0, 2). …s aixÚ possible? Per quË? En el primer, els components del vector en la base canÚnica sÛn:
I en el segon cas, sÛn:
AixÛ no Ès possible, ja que si fos aixÌ, obtin- drÌem dues ternes de components diferents per al mateix vector en la base canÚnica, i aixÚ no tÈ cap sentit.
- Justifica cadascuna de les afirmacions se- g¸ents:
a) Si el producte escalar de dos vectors Ès positiu, líangle que formen Ès agut i si Ès negatiu, líangle Ès obt˙s.
b) Si dos vectors tenen la mateixa direcciÛ i sentit, el producte escalar díaquests dos vectors Ès igual al producte dels seus mÚduls.
c) Si dos vectors tenen la mateixa direcciÛ i sentit contrari, el producte escalar día- quests dos vectors Ès igual al producte dels seus mÚduls amb signe negatiu.
Donat el punt V(3, ñ5, 7), calcula les projec- cions ortogonals del vector = sobre els eixos de coordenades. Sobre líeix 0X, 3; sobre líeix 0Y, 5; sobre líeix 0Z, 7.
Considera el vector = (3, ñ4, 5). Calcula els angles que forma amb els sentits nega- tius dels tres eixos de coordenades. ï Angle que forma el vector (3,ñ4,5) amb el vector (ñ1,0,0)
3 cos 115,10∫ (eix X) 5 2
a a
= Æ =
r v
OV
r^ uuuur v
a b = a b cos180∫= -a b
r r^ r r^ r r g
a b = a b cos0∫=a b
r r^ r r^ r r g
Si 0 cos 0 2
a b < Æ < Æ < <
r^ r g
p a a p
Si 0 cos 0 0 2
a b > Æ > Æ < <
r^ r g p a a
v
r
v = (^) (2,1 ,0 (^) ) + (^2) (- 1 ,1,0 (^) ) =(0,3,0 )
r
v = 2 1 ( ,0,0 (^) ) (+ 0,2,0 ) + 2 0,0,( - (^1) ) = (^) (2,2, - (^2) )
r
v
r
r v
v = ÊÁ^ ˆ˜ Ë ¯
r
v
r
3
l =
2
1 l^ =
l =
1 2 3 2 3 1 2
l l l l l l l
Ï-^ =^ +^ -
Ô
Ì = -^ +
Ô- = - -
Ó
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 3
l l l
v = 2 1 ( ,1, - (^2) ) - 3 3,( - 1 ,4 (^) ) = (^) ( - 7,5, - (^16) )
r
r v
a a b a b
Ï-^ = -
Ô
Ì =^ +
Ô- = +
Ó
( -^1 ,2,^ -^2 ) =^ a^ ( - 3,1,2 +) b(0,1 ,3)
AB = (^) ( - 1 ,2, - (^2) ) AC = (^) ( - 3,1 ,2 (^) ) AD=(0,1 ,3)
uuur uuur uuur
AD
uuur AC
uuur AB
uuur
u 3 t π t ŒIR
r u 2
r u 1
r
t t
Ê ˆ
- = ◊ Á - ˜+ ◊ Æ =
Ë ¯
1 2 1 2 1 2
1 t 2
l l l l l l
Ï =^ +
Ô
Ì = -^ -
Ô- = +
Ó
( 0,2, - 1 ) = l 1 (3, - 4, t) +l 2 ( 1 ,1,2)
u 3 = l 1 u 1 +l 2 u 2
r r r
McGraw-Hill/Interamericana de EspaÒa, S.A.U. Matem‡tiques 2. Batxillerat
ï Angle que forma el vector (3,ñ4,5) amb el vector (0,ñ1,0)
ï Angle que forma el vector (3,ñ4,5) amb el vector (0,0,ñ1)
i sÛn dos vectors de mÚduls respectius 2 i 4. Sabent que formen un angle de 60∞, calcula k perquË el vector + k sigui per- pendicular a.
Se sap que els vectors = (2, ñ1) i = (w 1 , w 2 ) ŒŒ^ V 2 sÛn ortogonals. a) Quina condiciÛ verifiquen els compo- nents del vector?
b) Troba el vector sabent que el seu mÚdul Ès 5 i analitza les solucions obtingudes.
Hi ha dues solucions que sÛn dos vectors opo- sats:
- Resol les mateixes q¸estions de líexercici anterior, amb els vectors = (1, 2, ñ1) i = (w 1 , w 2 , w 3 ) ŒŒ^ V 3 i | | = 5. Comenta les dife- rËncies que has trobat en relaciÛ amb líe- xercici anterior i fes-ne una interpretaciÛ geomËtrica. Et solucionaria el problema si et diguessin que el vector es troba en el pla YZ? Per quË? Si i sÛn perpendiculares:
En aquest cas, no Ès possible determinar el vector que ens demanen, ja que el sistema:
tÈ infinites solucions. Hi ha, per tant, infinits vectors de mÚdul 5 que sÛn perpendiculars al vector. Si es troba en el pla YZ, w 1 = 0 i, per tant, sÌ que es pot determinar el vector. De la mateixa manera que en líexercici anterior, síobtenen dos vectors oposats:
Acabem
- Determina les coordenades dels punts se- g¸ents: a) El punt P que es troba a líeix Z a dist‡n- cia 5 de líorigen de coordenades en el sentit negatiu díaquest eix. P(0, 0, ñ5) b) El punt Q que es troba en el pla XY a dis- t‡ncia 6 de líorigen de coordenades i tal que el vector forma un angle de 210∞ amb el sentit positiu de líeix X.
c) El punt R situat en el pla XZ a dist‡ncia 4 de líorigen de coordenades i tal que les projeccions ortogonals del vector sobre els eixos X i Z siguin iguals. Hi ha mÈs díun punt que verifiqui aquestes condicions? Hi ha 4 punts que verifiquen la condiciÛ de líenunciat
- Els components del vector sÛn (ñ2, 4, 3). Es demana:
a) Les coordenades del seu extrem B si se situa el seu origen en el punt A(4, ñ3 , 6). Anomenem B(x,y,z)
r v
4 4 cos315∫,0,4 sin315∫ 2 2,0, 2 2
R fi
fi -
3 4 cos 225∫,0,4 sin 225∫ 2 2,0, 2 2
R fi
fi - -
2 4 cos135∫,0,4 sin135∫ 2 2,0,2 2
R fi
fi -
R 1 (4 cos 45∫,0,4 sin 45∫ ) fi( 2 2,0,2 2 )
OR
uuur
Q (6 cos 210∫,6 sin 210∫,0 ) fi (- 3 3, - 3,0)
QC
uuur
w 1 = (0, 5,2 5 ) i w 2 = (0, - 5, - 2 5 )
r r
w
r v
r w
r
1 2 3 2 2 2 1 2 3
w w w w w w
ÏÔ + - =
Ì
ÔÓ +^ +^ =
w
r
v w = 0 Æ w 1 + 2 w 2 - w 3 = 0
r r g
w
r v
r
w
r
w
r w
r r v
w 1 = ( 5,2 5 ) i w 2 = (- 5, - 2 5 )
r r
w 1 = ± 5; w 2 = ± 2 5
2 1 2 2 1 2
w w w w
ÏÔ^ =
Ì
ÔÓ +^ =
v w = 0 Æ 2 w 1 + ( - 1 ) w 2 = 0 Æ w 2 = 2 w 1
r r g
w
r
w
r r v
cos 60∫ 0 4 4 2 0 2 4 4 0 1
v k w v k
k k
+ ◊ ◊ = Æ + ◊ ◊ ◊ = Æ
Æ + = Æ = -
r r r
(v +^ kw^ ) v^ =^0 Æ^ v^ ◊^ v^ +^ kv^ ◊^ v=^0
r r r r r r r g
r v
w
r r v
w
r r v
cos 135∫ (eix Z) 5 2 2
g g
= = Æ =
cos 55,55∫ (eix Y) 5 2
b = Æ b=
McGraw-Hill/Interamericana de EspaÒa, S.A.U. Matem‡tiques 2. Batxillerat
troben tots els vectors de la forma l 1 1 + l 2 2.
- Troba t perquË el vector = (3, ñ4, 1) sigui combinaciÛ lineal dels vectors 1 = (1, 4, ñ2) i 2 = (5, 2, t). Per a quins valors de t aquests tres vectors formen una base de V 3?
La soluciÛ del sistema Ès i
Æ
PerquË els tres vectors formin una base de v 3 han de ser linealment independents, i aixÚ suc- ceeix si t π ñ17/8.
- Expressa el vector = (3, 4) en combinaciÛ lineal dels vectors 1 = (1, 0), 2 = (0, 1) i 3 = (2, 0). TÈ soluciÛ ˙nica el sistema que resul- ta? Com sÛn entre ells els vectors 1 , 2 i 3? Formen una base de^ V 2?
Aquest sistema tÈ infinites solucions. SÛn de la forma: l 1 = 3 ñ 2l 2 ; l 2 = 4; l 3 = l 3 ( l 3 Œ IR) (per a cada valor de l 3 síobtÈ una soluciÛ parti- cular del sistema). Els vectors (^) , i sÛn linealment depen- dents, per tant, no formen base de v 2.
Esbrina si els vectors 1 = (3, 5, ñ1), 2 = (1, 2, ñ1) i 3 = (0, 1, 1) sÛn base de V 3. En cas afirmatiu, troba els components del vector = (1, 3, ñ5) en aquesta base. Els tres vectors sÛn base, ja que sÛn lineal- ment independents.
Els components de en la base B = { 1 , 2 , 3 } sÛn (2, ñ1, 3). Determina els compo- nents del vector en la base Bí = { 1 , 2 , 3 } sabent que:
1 =^1 ñ^3 ,^2 = ñ^1 +^2 +^3 i^3 = 2^1 +^3 Cal expressar els vectors de la base B en com- binaciÛ lineal dels vectors de la base Bí.
- Se sap que els vectors seg¸ents: = (1, 2, ñ1) i = (b 1 , b 2 , b 3 )
sÛn perpendiculars. Si el vector es troba situat en el pla YZ i Ès unitari, trobaín els components. Interpreta les solucions obtin- gudes. El vector Ès del tipus = (0,b 2 ,b 3 )
El sistema:
te dues solucions: Hi ha dues solucions, sÛn els vectors oposats:
Donats els vectors 1 = (3, ñ4, 5) i 2 = (1, 2, ñ3), calcula la projecciÛ ortogonal de 1 so- bre 2. Anomenem OP aquesta projecciÛ:
Troba una expressiÛ que et permeti calcular les coordenades del punt mitj‡ del segment díextrems els punts A(a 1 , a 2 , a 3 ) i B(b 1 , b 2 , b 3 ).
Anomenem M(x,y) aquest punt. Es verifica:
2 1 1
v v OP v
r r g r
r v
r v
r v
r v
b 1 = (0, 5,2 5 ) i b 2 = (0, - 5, - 2 5 )
r r
b 2 = ± 5; b 3 = ± 2 5
2 3 2 2 2 3
b b b b
ÏÔ^ -^ =
Ì
ÔÓ +^ =
2 3 2 2 2 3
a b a b b b b b b
- Æ ◊ = Æ - =
= Æ + =
r r^ r r r
b
r b
r
b
r
b
r a
r
1 2 3 1 3 (^1 2 )
1 3 1 2 3
a u u u v v v v
v v v v v
a
= - + = Ê^ + ˆ+ - - +
Á ˜
Ë ¯
+ Ê^ + ˆ= - - +
Á ˜
Ë ¯
Ê ˆ
= Á - - ˜
Ë ¯
r r r r r r r r
r r r r r
r
1 1 3 3 1 3 2 1 2
u = v + v u = - v + v u = v +v
r r r r r r r r r
1 1 2 2 1 2 3 3 21 3
v u u v u u u v u u
Ï = -
Ô = - + +
Ì
Ô = +
Ó
r r r r r r r r r r
u
r u
r r u v
r u
r u
r r u v
r u
r r v
r v
r v
r v
u
r u
r u
r a
r
1 2 1 2 3 1 2 3
Ï^ =^ l + l Ô (^) = l + l + l Ì Ô- = -l - l + l Ó
(^1 ,3,^ -^5 ) = l^1 (3,5, -^1 )^ + l^2 (^1 ,2,^ -^1 )^ + l 3 (0,1 ,1)
v = l 1 v 1 + l 2 v 2 + l 3 v 3
r r r r
r v
r v
r v
r v
u 3
r u 2
r u 1
r
1 3 2
l l l
Ï =^ +
Ì
Ó =
(3,4 ) = l 1 (^1 ,0^ ) + l^2 (0,1 )^ + l 3 (2,0 )
v = l 1 u 1 + l 2 u 2 + l 3 u 3 r r r r
u
r u
r u
r
u
r u
r u
r
r v
t
2
1 l^ =
l
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 t 1 2 z
Ï = l + l Ï = l + l Ô Ô Ì- =^ l +^ l^ fi^ Ì-^ =^ l + l Ô (^) = - l + l Ô = - l + l Ó Ó
(3, - 4,1^ )^ =^ l 1 (^1 ,4,^ -^2 ) +l 2 (5,2, t)
v = l 1 v 1 +l 2 v 2
r r r
r v
r v
r v
r v
r v
McGraw-Hill/Interamericana de EspaÒa, S.A.U. Matem‡tiques 2. Batxillerat
- Les coordenades de dos vËrtexs consecu- tius díun paral∑lelogram sÛn A(2, 3, ñ1) i B(0, ñ4, ñ3). Si el centre díaquest paral∑lelo- gram es localitza en el punt P(ñ1, 2, ñ2), de- termina les coordenades dels altres dos vËrtexs i la mesura dels seus angles. Anomenem C(c 1 ,c 2 ,c 3 ) i D(d 1 ,d 2 ,d 3 ) aquests dos vËrtexs que no coneixem, de manera que els vËrtexs A, B, C i D sÛn consecutius. Ales- hores: ñ P Ès el punt mitj‡ entre A i C Æ C(ñ4,1,ñ3) ñ P Ès el punt mitj‡ entre B i D Æ D(ñ2,8,ñ1)
c 1 = 4; c 2 = 1; c 3 = ñ
d 1 = ñ2; d 2 = 8; d 3 = ñ
Per tant,
- Troba les coordenades de divisiÛ del seg- ment díextrems els punts P(3, 6, ñ3) i Q(9, ñ6, 0) en tres parts iguals. Anomenem R i S els punts les coordenades dels quals hem de determinar.
6 = 3r 1 ñ 9 Æ r 1 = 5 ñ12 = 3r 2 ñ 18 Æ r 2 = 2 3 = 3r 3 + 9 Æ r 3 = ñ
6 = 27 ñ 3s 1 Æ s 1 = 7 ñ12 = ñ18 ñ 3s 2 Æ s 2 = ñ 3 = ñ3s 3 Æ s 3 = ñ1. Els punts sÛn R(5,2,ñ2) i S(7,ñ2,ñ1).
- Demostra que el baricentre díun triangle de vËrtexs els punts A(a 1 , a 2 , a 3 ), B(b 1 , b 2 , b 3 ) i C(c 1 , c 2 , c 3 ) est‡ situat en el punt G de coor- denades:
Anomenem G(x,y,z) el baricentre. Si M Ès el punt mitj‡ del costat AB, es compleix:
3 3 3 3 2 3 3 3
a b c c z z a b z
- = - - Æ =
2 2 2 (^2 2 2 )
a b c c y y a b y
- = - - Æ =
1 1 1 (^1 2 1 )
a b c c x x a b x
- = - - Æ =
a b a b y z
( 1 ,^2 ,^3 ) 2 1 1 , 2
a b c x c y c z x y
Ê^ +
- - - = Á -
Ë
(^1 1) , 2 2 , 3 3 i 2 2 2 2
a b a b a b M GC MG
Ê + + + ˆ
Á ˜ =
Ë ¯
uuur uuuur
a b c a b c^ a^ b^ c G
ÊÊ ++^ ++^ ++^ ++ ++^ ++ ˆˆ
ÁÁ ˜˜
ËË ¯¯
PQ = 3 SQ Æ (^) ( 6, - 12,3 (^) ) = 3 9( - s 1 , - 6 - s 2 - s 3 )
uuur uuur
PQ = 3 RS Æ (^) ( 6, - 12,3 (^) ) = (^3) (r 1 - 3, r 2 - 6, r 3 + (^3) )
uuur uuur
Aà^ = C^ à ; 124∫; Bà^ =Dà;56∫
AD = (^) (- 4,5,0)
uuur
AB = (^) ( - 2, - 7, - (^2) )
uuur
à^8 35 cos 57 41 57 41
à (^) 124∫
AB AD
A
AB AD
A
= = = Æ
◊ ◊^ ◊
Æ
uuur uuur g uuur uuur
( ) 1 2 3
Ê d^ -^ +d^ -^ +^ d ˆ
( ) 1 2 3
Ê +^ c^ +c^ +^ c ˆ
a b a b a b M
Ê +^ + + ˆ
= Á ˜
Ë ¯
3 3 3 3 2 3 3 2
a b z a b z z a b z
- = - Æ = + Æ =
2 2 (^2 2 2 2 )
a b y a b y y a b y
- = - Æ = + Æ =
1 1 (^1 1 2 1 )
a b x a b x x a b x
- = - Æ = + Æ =
( x^ -^ a 1 ,^ y^ -^ a^2 ,^ z^ -^ a^3 ) =^ (b 1 -^ x b,^2 -^ y b,^3 - z)
AM =MB
uuuur uuuv
McGraw-Hill/Interamericana de EspaÒa, S.A.U. Matem‡tiques 2. Batxillerat
