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Estimación del Retardo
Temporal en Radar
Omar X. Avelar & Diego I. Romero
PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES (ESI05AA)
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Occidente (ITESO)
Departamento de Electrónica, Sistemas e Informática (DESI)
ABSTRACT Para la realización de esta practica haremos uso de varios con- ceptos vistos con anterioridad, como pueden ser la convolución y las secuencias reales al mismo tiempo que aplicamos nuevos conceptos como la correlación cruzada o mejor conocida como series de Barker. En este caso mandaremos una señal real mezclada con ruido y filtraremos ese ruido por medio de las series de Barker para po- der ver donde hay correlación entre las señales. INTRODUCCION Una operación matemática muy parecida a la convolución es la correlación. Al igual que en el caso de la convolución, la correla- ción es una operación entre dos secuencias. Sin embargo, a diferencia de la convolución, el objetivo de la co- rrelación es medir el parecido que existe entre dos señales y así extraer información que dependerá de la aplicación concreta con- siderada. En esta práctica se explorará el uso de correlación para una aplicación en particular: el radar. CORRELACION CRUZADA Supóngase que tenemos dos secuencias reales x [ n ] y y [ n ] , ambas de energía finita. La correlación cruzada de las secuencias (^) x [ n ] y (^) y [ n ] es la secuencia (^) rxy [ k ] , que se define como
rxy [ k ]=∑ n =−∞
∞ x [ n ] y [ n − k ] ,^ k =0,±1,±2,... o equivalentemente, como
r xy [ k ]=∑ n =−∞
∞ x [ n k ] y [ n ] ,^ k^ =0,±1,±2,... El índice (^) k es el retardo en el tiempo. Tema: Procesamiento Digital de Señales – Pag. 1 of 6
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Occidente (ITESO), Periférico Sur Manuel Gómez Morín 8585, Tlaquepaque, Jalisco, México, C.P. 45090. Por: Omar X. Avelar & Diego I. Romero Departamento de Electrónica, Sistemas e Informática (DESI). PLANTEAMIENTO Sea xa t ^ la señal transmitida y ya t^ ^ la señal recibida en un sistema radar, donde ya t = axa t − td va t y va t ^ es ruido aleatorio aditivo. Las señales xa t y ya t (^) se muestrean en el receptor, de acuerdo con el teore- ma de muestreo, y se procesan digitalmente para determinar el retardo temporal y, a partir de el, la distancia al blanco. Las se- ñales discretas resultantes son x [ n ]= x (^) a nT y [ n ]= ya nT = axa nT − DT va nT = ax [ n − D ] v [ n ] Escribe un reporte donde documentes las siguientes actividades:
- Explica como podemos medir el retardo (^) D a partir de la correlación cruzada r^ xy [ k^ ]^.
- Sea x [ n ] la secuencia Barker de 13 puntos x [ n ]=1,1,1,1,1,−1,−1,1,1,−1,1,−1, 1 y (^) v [ n ] una secuencia aleatoria Gaussiana de media cero y varianza (^) ^2 =0.. Escribe un programa que genere la secuencia y [ n ] , 0 ≤ n ≤ 199 para^ a =0.9 y D = 20. Gráfica las señales x [ n ] y^ y [ n ] para^0 ≤ n ≤ 199.
- Calcula y gráfica la correlación cruzada r (^) xy [ k ]. Comenta la relación entre la gráfica y el retardo D.
- Repite los apartados 2 y 3 para (^) ^2 =0.1 y (^) ^2 = 1.
- Repite los apartados 2 - 4 para la señal x [ n ]=−1,1,−1,1,−1,1,−1,1,−1,1,−1, 1.
- ¿Cual de las dos señales de entrada utilizadas es la mas ade- cuada para emplearse en un sistema de radar? Justifica tu res- puesta.
- Ofrece algunas conclusiones sobre la practica realizada. DESARROLLO
- Para poder medir el retardo a partir de la correlación cruzada, teniendo (^) x [ n ] y (^) y [ n ]= ax [ n − D ] v [ n ]. Entonces al ser (^) y [ n ] una señal muy parecida a (^) x [ n ] pero retrasada por un factor de D. Al efectuar la correlación cruzada tendremos un valor máximo cuando las señales concuerden ya que sera una sumatorio del producto. Al momento de desplazar (^) k y a su vez tener el valor máximo de correlación cruzada; tendremos que k = D para nuestro sistema. Tema: Procesamiento Digital de Señales – Pag. 2 of 6
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Occidente (ITESO), Periférico Sur Manuel Gómez Morín 8585, Tlaquepaque, Jalisco, México, C.P. 45090. Por: Omar X. Avelar & Diego I. Romero Departamento de Electrónica, Sistemas e Informática (DESI). El efectuar la correlación, se obtiene lo siguiente (Fig. 3): Podemos ver que el valor máximo (11.136 en este caso) esta dado al momento que (^) k = D *[1] ya que se encontrara la su- matoria de la multiplicación de nuestra misma entrada. Rmaxxy =∑ n =−∞ ∞ x [ n ] x [ n ] v [ n ] ≈ (^) ∑ x 2 [ n ] Esta aproximación es valida cuando (^) v [ n ]≈ 0. *[1] Nota: Ya que el software de GNU Octave / MATLAB no permite tra- bajar con indices de arreglos menores a 1 se definió por software que en el index > 99 se encuentran los valores de tiempo real, p or lo que al efectuar la correlación cruzada tenemos un doble corrimiento. Esto se traduce a que las gráficas de correlación cruzada nos indican que los valores de tiempo real en el sistema se encuentran expresados para k > 199 por lo que al efectuar k = D se le debe desplazar esos 200 puntos resultando como 200 – k = D. Para una varianza de (^) ^2 =0.1 ; y para (^) ^2 =1.0 , Podemos ver claramente que a medida que aumenta la varianza de nuestro ruido nos afecta mas para poder discernir fácilmente en que momento (^) k = D. Tema: Procesamiento Digital de Señales – Pag. 4 of 6 Fig. 3 : Rxy[k]. Fig. 4 : Rxy[k]. Fig. 5 : Rxy[k].
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Occidente (ITESO), Periférico Sur Manuel Gómez Morín 8585, Tlaquepaque, Jalisco, México, C.P. 45090. Por: Omar X. Avelar & Diego I. Romero Departamento de Electrónica, Sistemas e Informática (DESI). % GNU Octave script on using lag aproximation % in a radar system [second case]. % % By: Omar X. Avelar & Diego I. Romero % Feb, 10th, 2009 % Main
Signals
Every signal starts after index=100 and have a maximum
length of 300
therefore, the real signal indexes are only 200.
clear; a = 0.9; # Output parameters D = 20 ; variance = 0.01; # Noise variance sigma = sqrt(variance);
13 Points Barker sequence
x = [-1, 1 ,- 1 ,+ 1 ,- 1 ,+ 1 ,-1,+ 1 ,- 1 ,+ 1 ,- 1 ,+ 1 ]; mlimit = 300 -length(x)- 99 ;
starts on index=100 with previous values on zero
x = [zeros( 1 , 99 ),x,zeros( 1 ,mlimit)]; noise = randn( 1 , 300 ).sigma; # Random gaussian noise % y(n) = ax(n - D) + noise(n); for n = 100 : 300 y(n) = a*x(n - D) + noise(n); endfor
Plotting
stem(x( 100 : 300 -mlimit));title ("Input");xlabel ("n"); print -dpng 'Input.png'; stem(y( 100 : 299 ));title ("Output");xlabel ("n"); print -dpng 'Output.png';
Correlation
xcorr_array = xcorr2(x,y); max(xcorr_array) stem(xcorr_array( 50 : 349 ));title ("Cross correlation");xlabel ("n"); print -dpng 'Correlation.png'; Repitiendo lo anterior con los parámetros a continuación; D = 20 ,^ a =0.9 para^0 ≤ n ≤ 199. La Fig. 6 muestra nuestra nueva secuencia de entrada alternan- te. Tema: Procesamiento Digital de Señales – Pag. 5 of 6 Fig. 6 : x[n]. Fig. 7 : y[n].
