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Sistema de Afinación Musical de Proporciones Áurea., Study notes of Mathematics

– Sistemas regulares: Son aquellos sistemas en los que todas las quintas (o todas menos una) tienen el mismo tamaño. Por otra parte, los temperamentos se ...

Typology: Study notes

2021/2022

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UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE VALENCIA
ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR DE GANDÍA
Má ste r en Ing eni er ía Ac úst ica
Sistema de Afinación Musical de
Proporciones Áurea.
TRABAJO FINAL DE
MÁSTER
Autor:
Jaime Barberá Saiz
Director/es:
Dr. D. Serafín Pazo Carracedo
Dr. D. Joan Martínez Mora
GANDIA, 2012
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UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE VALENCIA

E S C U E L A P O L I T É C N I C A S U P E R I O R D E G A N D Í A

M á s t e r e n I n g e n i e r í a A c ú s t i c a

Sistema de Afinación Musical de

Proporciones Áurea.

TRABAJO FINAL DE

MÁSTER

Autor: Jaime Barberá Saiz

Director/es: Dr. D. Serafín Pazo Carracedo Dr. D. Joan Martínez Mora

GANDIA, 2012

2 Sistema de Afinación Musical Basado en Proporciones Áreas

Sistema de Afinación Musical de

Proporciones Áureas

Autor : Jaime Barberá Saiz

Director 1 :Dr. D. Joan Martínez Mora

Director 2 : Dr. D. Serafín Pazo Carracedo

Resumen: En este Trabajo Final de Máster se va a tratar de realizar un sistema de

afinación basado en proporciones áureas. Para ello se van a realizar tres aproximaciones

una con doble temperado, a la que se le denominará bilineal, una aproximación

parabólica y otra exponencial. Para introducir el tema y justificar este TFM se van a

explicar los distintos tipos de afinación y se van a comentar algunos tipos. Una vez

generado el sistema de afinación se van a realizar una serie de cálculos para comprobar

si los sistemas son compatibles con el sistema temperado igual de 12 notas. Para

explicar estos cálculos, se va a hacer una introducción a la lógica borrosa.

Abstract: In this Thesis we will to try create a tuning system based on aureus

proportions. For this three approaches will adopted: double tempering, which will be

called bilinear, a parabolic approximation and an exponential approximation. To

introduce the topic and justify this TFM we will attempt to explain the different types of

tuning and will elaborate on some types. Once we have created the tuning system we

will perform a series of calculations to see if the systems are compatible with the 12-

note equal tempered system. To explain these calculations, we will make an

introduction to fuzzy logic

Sistema de Afinación Musical de Proporciones Áureas 1

Índice

Índice de Figuras, Gráficas y Tablas. ..................................................................................... 2.

1 Número Áureo ...................................................................................................................... 4.

1.1 Introducción. .................................................................................................................. 4. 1.2 La razón áurea. ............................................................................................................... 5. 1.3 El número áureo en la música. ........................................................................................ 5.

2 Sistemas de afinación. .......................................................................................................... 6.

2.1 Conceptos previos. ......................................................................................................... 7. 2.2 Medición de la sensación de altura. ................................................................................. 8. 2.3 Afinaciones. ................................................................................................................. 10. 2.4 Temperamentos regulares cíclicos. ............................................................................... 14. 2.5 Un número adecuado de divisiones por octava. ............................................................. 17. 2.6 Sensibilidad de percepción. .......................................................................................... 18.

3 Compatibilidad de los sistemas de afinación. .................................................................... 19.

3.1 Introducción a la lógica borrosa. ................................................................................... 19. 3.2 Conjuntos borrosos. ...................................................................................................... 20. 3.3 Números borrosos. ....................................................................................................... 21. 3.4 Comparación de sistemas. ............................................................................................ 23. 3.5 Aproximación exponencial. .......................................................................................... 24.

4 Compatibilidad de los sistemas de afinación. .................................................................... 31.

4.1 Introducción a la lógica borrosa. ................................................................................... 31. 4.2 Conjuntos borrosos. ...................................................................................................... 31. 4.3 Números borrosos. ....................................................................................................... 32. 4.4 Sistemas temperado, bilineal, parabólico y exponencial. ............................................... 34.

5 Futuras investigaciones. ..................................................................................................... 41.

6 Referencias bibliográficas. ................................................................................................. 42.

Sistema de Afinación Musical de Proporciones Áureas 3

Tabla 3.- Aproximación parabólica. ..................................................................................... 23.

Tabla 4.- Aproximación exponencial. ................................................................................... 24.

Tabla 5.- Frecuencias y comparación en cents del sistema temperado con los demás. ....... 25.

Tabla 6.- Frecuencias y comparación en cents entre las notas de cada uno de los sistemas. 27.

Tabla 7.- Comparación en cents de los diferentes sistemas entre ellos dos a dos. ............... 29.

Tabla 8.- Frecuencia de las 12 notas de los cuatro sistemas. ................................................ 34.

Tabla 9.- Cents de los cuatro sistemas. ................................................................................. 35.

Tabla 10.- Compatiblidad entre los distintos sistemas de afinación. ................................... 36.

Tabla 11.- Compatibilidad entre Temperado y Bilineal. ..................................................... 38.

Tabla 12.- Compatibilidad entre Temperado y Parabólico. ................................................ 39.

Tabla 13.- Compatibilidad entre Temperado y Parabólico. ................................................ 39.

4 Sistema de Afinación Musical Basado en Proporciones Áreas

1 El número Áureo

1.1 Introducción

Se trata de un número algebraico que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la antigüedad, no como "unidad" sino como relación o proporción. Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas, como en la naturaleza en elementos tales como caracolas, nervaduras de las hojas de algunos árboles, el grosor de las ramas, etc.

Asimismo, se atribuye un carácter estético especial a los objetos que siguen la razón áurea, así como una importancia mística. A lo largo de la historia, se le ha atribuido importancia en diversas obras de arquitectura y otras artes, aunque algunos de estos casos han sido objetables para las matemáticas y la arqueología.

El número áureo, también conocido como "número de oro" o "divina proporción", es una constante que se percibe a diario. Aparece en las proporciones de edificios, cuadros, esculturas, e incluso en el cuerpo humano. Un objeto que respeta la proporción marcada por el número áureo transmite, a quien lo observa, una sensación de belleza y armonía.

El número áureo es el punto en que las matemáticas y el arte se encuentran. Existen en matemáticas varias constantes que son definidas con una letra griega:

Pi (π = 3,14159… ) , es la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro. Phi (φ = 1,61803…), el número de oro. Matemáticamente hablando, se le puede definir como aquel número al que, tanto si se le suma uno como si se eleva al cuadrado, sale el mismo resultado.

Tienen infinitas cifras decimales y no son periódicos (sus cifras decimales no se repiten periódicamente). Todos ellos son, por tanto, números irracionales.

Se llama "Phi" en honor al escultor griego Fidias, que ya lo aplicaba en sus creaciones. El número áureo era conocido en la antigua Grecia y se utilizó para establecer las proporciones de las partes de los templos. Por ejemplo, la planta del Partenón es un rectángulo en el que la relación entre el lado menor y el lado mayor es el número áureo. Esta misma proporción está presente en las tarjetas de crédito actuales, entre otras.

Los griegos creían en la existencia de unas proporciones armoniosas para el cuerpo, que buscaban aplicar en sus esculturas. Durante el renacimiento, dichas proporciones quedaron plasmadas en este famoso dibujo de Leonardo Da Vinci: el "Homo Vitrubio", que ilustra el libro "La Divina Proporción" de Luca Pacioli, editado en 1509.

6 Sistema de Afinación Musical Basado en Proporciones Áreas

2. Sistemas de afinación

Un sistema de afinación, es cada una de las maneras de elegir los sonidos que utiliza la música.

Expresado de otra manera, un sistema de afinación es un subconjunto de que contiene las frecuencias usadas en la música. Se seleccionan las frecuencias, de todo el conjunto de sonido, que sirven para hacer música y se descartan el resto. Los seleccionados en el sistema de afinación se denominan notas musicales.

En la música occidental hay dos formas de clasificar los sistemas de afinación:

  • Afinaciones: todos los números que aparecen multiplicando a una nota patrón, llamada diapasón, son racionales. En este caso los intervalos son justos.
  • Temperamentos: en este caso aparece algún número irracional. Los intervalos son aproximados, ya que se en estos casos se varía levemente la afinación de algunos intervalos, generalmente las quintas, para conseguir ciertas ventajas armónicas. Los sistemas de afinación se pueden clasificar como:
  • Sistemas cíclicos: Presentan una disposición de las quintas de forma que no hay ninguna impracticable, sean o no iguales.
  • Sistemas regulares: Son aquellos sistemas en los que todas las quintas (o todas menos una) tienen el mismo tamaño. Por otra parte, los temperamentos se dividen en tres tipos diferentes:
  • Temperamento igual: la octava se divide en 12 partes o semitonos iguales de razón. Las quintas quedan ligeramente bajas y las terceras mayores muy altas.
  • Temperamentos irregulares: sistemas en los que más de una quinta es diferente de las demás.
  • Temperamentos mesotónicos: En sentido estricto, “de tonos medios” entre el mayor 9/8 y el menor 10/9. El origen de los temperamentos irregulares son los temperamentos regulares que se modifican para conseguir, generalmente, eliminar la quinta del lobo. Para alcanzar este objetivo no hay unas reglas generales por lo que es complicado realizar una clasificación. No obstante, J. J. Goldáraz realiza una clasificación como la que sigue.
  • Temperamentos del siglo XVI (y principios del XVII): pueden ser cíclicos o no, su misión principal es la de modificar la afinación pitagórica para acercarse a la justa entonación o distribuir la comma pitagórica.

Sistema de Afinación Musical de Proporciones Áureas 7

  • Temperamentos irregulares del siglo XVIII: parten de un temperamento mesotónico y su objetivo es cerrar el círculo de quintas para conseguir consonancias más justas en las tonalidades más usuales y más desviadas en las menos usuales.
  • Buenos temperamentos: el término bien temperado no hace referencia a un temperamento en particular. El calificativo de bueno le viene dado que permite la modulación a todas las tonalidades, no existe la quinta del lobo y por tanto es un temperamento circular. A la pregunta de si el tema de los sistemas de afinación es un de interés, se puede responder haciendo referencia a artículos aparecidos en diversas revistas científicas de matemáticas o física sobre temas relacionados con la música, Osserman (1993), Haluska (2000) y Schell (2002). Pero no únicamente en las revistas de divulgación científica se puede obtener una respuesta sino que es en las necesidades de los músicos y musicólogos donde este interés queda más patente. Este interés queda reflejado en dos grandes vías de estudio que se han establecido:
  • La búsqueda de nuevas afinaciones que aumenten las posibilidades en la creación musical.
  • La recuperación de la fidelidad a las partituras antiguas. En referencia a este último punto cabe destacar el estudio existente en relación a la obra “El Clave Bien Temperado” de J. S. Bach a fin de averiguar si el sistema de afinación constaba de 12 notas por octava o se trata de otro temperamento de los que se usaba en Alemania en aquella época.

2.1 Conceptos previos

En todo el punto anterior se ha estado hablando haciendo mención al sonido. Pero, ¿Qué es el sonido? El sonido es todo fenómeno que involucre la propagación, en forma de ondas elásticas, a través de un fluido o cualquier otro medio elástico, del movimiento generado por la vibración de un cuerpo.

Para que estas ondas elásticas sean percibidas por el oído humano, las oscilaciones que producen deben ser convertidas en ondas mecánicas en el oído y percibidas por el cerebro.

La altura, la duración, la intensidad y el timbre o color, son las cuatro cualidades más importantes del sonido.

  • Altura: permite diferenciar si un sonido es agudo, frecuencia de vibración más alta, o más grave, frecuencia de vibración más baja. De todo el espectro de vibraciones que se producen el oído humano no puede procesar todas sino que únicamente responde a excitaciones provocadas por señales sonoras que están entre los 20Hz y los 20.00 Hz.

Sistema de Afinación Musical de Proporciones Áureas 9

Ley de Weber-Fechner para la sensación de sonoridad.

Variación de la Ley de Weber-Fechner para la sensación de altura.

Para facilitar los cálculos se va a trabajar con en lugar de para ello se hace la siguiente conversión:

Donde k es una constante que determina que la diferencia estará en unas unidades u otras. Si se hace la diferencia de altura se expresa en savarts , en cambio, si esta diferencia se expresa en cents que va a ser la unidad que se va a gastar en este documento.

2.2.2 Definiciones

En este punto se van a realizar diversas definiciones generales que puedan ser aplicadas en cualquier sistema de afinación, si bien a lo largo del proceso de investigación se realizarán algunas variaciones y matizaciones sobre alguna de ellas.

  • Octava: en todo sistema de afinación aparece este concepto. Un sonido con frecuencia fundamental es una octava más grave que si se cumple que . Algo que es totalmente intuitivo de forma que se usa de forma natural aunque no se tengan nociones musicales.
  • Distancia entre sonidos: a esta distancia, en música, se le llama intervalo. Si los sonidos son consecutivos se denominan intervalos melódicos si son simultáneos se llaman intervalos armónicos. Hay que tener en cuenta a la hora de decidir qué distancia o intervalo es la correcta que la percepción del sonido no es lineal, algo que se ha estudiado mucho en psicoacústica y que está recogido en la Ley de Weber-Fechner como ya se ha comentado más arriba.
  • Siete notas: desde el primer milenio antes de Cristo la música estaba muy relacionada con la astrología y las matemáticas. Esto dio lugar a que una gran cantidad de fenómenos cósmicos fuesen representados por comparación entre longitudes de

10 Sistema de Afinación Musical Basado en Proporciones Áreas

cuerdas tirantes. De estas comparaciones aparecieron cuatro relaciones sobre las demás, asociadas con las cuatro estaciones del año, que tomaron nombres propio: 1/1 (unísono). 2/1 (octava). 3/2 (quinta). 4/3 (cuarta). En Occidente, a partir del siglo VI a.C., se toman siete notas fundamentales y el resto son alteraciones que en función del sistema de afinación en el que se esté trabajando significarán una cosa u otra.

  • Tonos y semitonos: son dos tipos de intervalos, quizás los más utilizados. o Tono (T): en una relación entre dos notas y se dice que es una octava más alta que si se puede obtener a partir de estas subiendo dos quintas y bajando una octava. o Semitono cromático (Sc): se obtiene subiendo siete quintas y bajando cuatro octavas. o Semitono diatónico (Sd): se obtiene subiendo cinco quintas y bajando cuatro octavas.

2.3 Afinaciones

2.3.1 Sistema de Pitágoras

Pitágoras (s. VI a. C.) enunció la ley relativa a las cuerdas al experimentar con el monocordio (instrumento de una sola cuerda).

En el Harmonikon Enchidrion (alrededor del 100 a.C.) de Nicómaco se relata cómo Pitágoras descubrió las proporciones matemáticas de la música. En él se relata cómo Pitágoras tras pasar por una herrería se sintió atraído por la sonoridad emitida por los martillazos producidos por cuatro esclavos el golpear sobre un yunque al trabajar un trozo de metal, de forma que tres de ellos emitían sonidos consonantes (agradables al oído) y el último producía una disonancia. En un principio Pitágoras creyó que esta diferencia sonora se debía a la fuerza con que golpeaba cada esclavo con el martillo e hizo que se los intercambiasen al ver que no había cambio en el sonido producido por los martillos y que el sonido disonante provenía del mismo martillo concluyó que la sonoridad no dependía de la fuerza de golpeo sino de las características del martillo. Esto entra dentro de la leyenda y, aunque no se puede afirmar con absoluta certeza, lo más probable es que Pitágoras después de una serie de experimentos, con un monocordio comprobó que al dividir la cuerda por la mitad, al dividirla en tres partes iguales y al dividirla en cuatro partes, cuando se hacía sonar estas porciones de cuerda con la cuerda original se obtenían intervalos consonantes. De hecho, para los pitagóricos estos, la octava, la quinta y la cuarta, son, junto con el unísono, los únicos intervalos consonantes.

12 Sistema de Afinación Musical Basado en Proporciones Áreas

Cuando se representan 11 quintas consecutivas de la afinación pitagórica y al resto se le llama quinta del lobo se obtiene el círculo de quintas para el sistema pitagórico (Fig. 5).

Figura 5.- Círculo de quintas del sistema pitagórico. De todo este método no se puede extraer cual es el número idóneo de notas por octava, aunque este número no es arbitrario y suele extraerse de la sucesión 7, 12, 53, 665…

2.3.2 Afinación justa: Sistema de Zarlino

Con el nombre de afinación justa o de los físicos se conocen varios sistemas de afinación que, en la práctica, añaden el intervalo 5/4 a la afinación pitagórica para representar el intervalo de tercera (Fig. 6).

Figura 6.- Intervalos consonantes para la afinación justa. La versión más antigua de la afinación justa se le atribuye a Aristoxenos de Tarento, sostenía que bastaba el oído y la experiencia para conseguir la afinación. Por estas afirmaciones sus discípulos eran considerados armonistas por oído mientras que los pitagóricos eran armonistas por cálculo. A partir de Aristoxenos y hasta los siglos XVI y XVII, la armonía que predominaba entre los teóricos era la pitagórica, mientras que los músicos combinaban la justa afinación y la pitagórica sin problemas.

Sistema de Afinación Musical de Proporciones Áureas 13

Fue en el s. XVI cuando Zarlino, mucho antes de que se conociesen los armónicos, observó que había una relación muy estrecha entre los sonidos que tenían frecuencias proporcionales a 1, 2, 3, 4…

El objetivo de Zarlino fue el de conseguir hacer las terceras mayores y menores, justas. Aunque no fue como se va a relatar a continuación la forma en que se introdujeron los cambios para conseguir su objetivo, es una manera fácil de hacerlo y entenderlo.

La mejora radica en aproxima el intervalo de quinta justa por un intervalo parecido que

se denominará quinta sintónica. El error cometido es conocido como coma sintónica.

A continuación, e igual que en la afinación pitagórica, se realiza una sucesión de quintas naturales con la salvedad que de vez en cuando en lugar de introducir una quinta natural se introduce la nueva quinta sintónica. En la siguiente figura (Fig. 7) se observa en qué lugares se sustituyen por una quinta sintónica, este lugar es muy importante pues indica que el sistema es el de Zarlino y no otros sistemas similares como el de Delezenne.

Figura 7.- Situación de la quinta sintónica de Zarlino. La distribución en una escala de siete notas, con cinco sostenidos y cinco bemoles queda como se observa en la Figura 8.

Figura 8.- Distribución de semitonos en la afinación de Zarlino. Obsérvese que en este sistema se diferencian dos tipos de tonos uno grande (9/8) y otro más pequeño (10/9), así como tres tipos de semitonos uno cromático (25/24) y dos diatónicos, uno grande (27/25) y otro pequeño (16/15) (Fig. 9).

Sistema de Afinación Musical de Proporciones Áureas 15

Figura 10.- Partición del intervalo [1, 2] en n subintervalos iguales. De esta forma multiplicando n veces el 1 por x se obtiene 2:

2.4.1 Temperamento igual (de 12 notas)

Este temperamento regular y cíclico divide la octava armónica en 12 intervalos iguales, cada intervalo equivale a un semitono. Así, se consigue el objetivo buscado eliminar la quinta del lobo y cerrar el círculo de quintas. El origen de este temperamento es anterior al s. XVII que fue cuando J. S. Bach logró su consagración a raíz de su obra “ El Clave Bien Temperado”.

A pesar de ser el sistema más pobre, armónicamente hablando, ya que elimina algunas notas naturales provenientes de la escala de armónicos, es el más utilizado dado que tiene unas ventajas teóricas y prácticas que compensan esas deficiencias armónicas.

Haciendo la distribución de semitonos que se ha hecho en los sistemas anteriores queda la siguiente figura (Fig. 11).

Figura 11.- Distribución de semitonos en el temperamento de 12 notas.

2.4.2 Sistema de Holder

William Holder (1614-1697) hizo una división de 53 partes, llamadas comas, por octava, cada tono contiene 9 comas, el semitono cromático tiene 5 y el diatónico 4. Este temperamento no deja de ser una adaptación del sistema creado por Pitágoras.

En este temperamento, si se hace la distribución de semitonos similar al del resto de sistemas, queda patente que es prácticamente la misma que en el sistema de afinación pitagórico, dado que tiene siete notas naturales, cinco notas con sostenido y cinco notas con bemol.

16 Sistema de Afinación Musical Basado en Proporciones Áreas

Fig. 12.- Distribución de notas para el temperamento de Holder

2.4.3 Ventajas y desventajas de los temperamentos regulares cíclicos

  • El Temperamento de 12 notas: en este temperamento cada una de las doce partes es un semitono temperado. Todos los semitonos son iguales, de tal forma que las notas enarmónicas coinciden. En este sistema sólo existe un tipo de tono y de quinta, desapareciendo así la quinta del lobo, estas características hacen que sea un temperamento con grandes ventajas: o Puede modularse libremente a cualquier tonalidad sin que existan intervalos impracticables. o El número de notas resulta muy apropiado para la práctica musical. Sin embargo, este temperamento también tiene algunos inconvenientes:
  • No existen intervalos justos. Como los intervalos se han obtenido mediante números irracionales, no se corresponden con la serie armónica de ninguna nota.
  • Aunque las quintas son bastante buenas, algo más cortas que las justas, las terceras mayores están muy desviadas, más altas. La desafinación de las terceras, junto con la igualdad de los semitonos fue lo que hizo que se retrasase su aplicación general. Sin embargo, hoy en día los músicos están tan acostumbrados a este temperamento que las terceras mayores originales les parecen demasiado apagadas. A la hora de valorar las propiedades de los temperamentos, se prefiere la perfección en las quintas que en las terceras.
  • El Temperamento de Holder: El sistema de Holder está considerado como un sistema de afinación muy bueno para trabajar con la afinación pitagórica. En el apartado de las ventajas, por un lado, las diferencias con el sistema pitagórico son inapreciables, sin embargo el hecho de dividir la octava en 53 comas- Holder iguales hace que sea mucho más fácil de manejar.