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– Sistemas regulares: Son aquellos sistemas en los que todas las quintas (o todas menos una) tienen el mismo tamaño. Por otra parte, los temperamentos se ...
Typology: Study notes
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Autor: Jaime Barberá Saiz
Director/es: Dr. D. Serafín Pazo Carracedo Dr. D. Joan Martínez Mora
2 Sistema de Afinación Musical Basado en Proporciones Áreas
Sistema de Afinación Musical de Proporciones Áureas 1
Índice de Figuras, Gráficas y Tablas. ..................................................................................... 2.
1 Número Áureo ...................................................................................................................... 4.
1.1 Introducción. .................................................................................................................. 4. 1.2 La razón áurea. ............................................................................................................... 5. 1.3 El número áureo en la música. ........................................................................................ 5.
2 Sistemas de afinación. .......................................................................................................... 6.
2.1 Conceptos previos. ......................................................................................................... 7. 2.2 Medición de la sensación de altura. ................................................................................. 8. 2.3 Afinaciones. ................................................................................................................. 10. 2.4 Temperamentos regulares cíclicos. ............................................................................... 14. 2.5 Un número adecuado de divisiones por octava. ............................................................. 17. 2.6 Sensibilidad de percepción. .......................................................................................... 18.
3 Compatibilidad de los sistemas de afinación. .................................................................... 19.
3.1 Introducción a la lógica borrosa. ................................................................................... 19. 3.2 Conjuntos borrosos. ...................................................................................................... 20. 3.3 Números borrosos. ....................................................................................................... 21. 3.4 Comparación de sistemas. ............................................................................................ 23. 3.5 Aproximación exponencial. .......................................................................................... 24.
4 Compatibilidad de los sistemas de afinación. .................................................................... 31.
4.1 Introducción a la lógica borrosa. ................................................................................... 31. 4.2 Conjuntos borrosos. ...................................................................................................... 31. 4.3 Números borrosos. ....................................................................................................... 32. 4.4 Sistemas temperado, bilineal, parabólico y exponencial. ............................................... 34.
5 Futuras investigaciones. ..................................................................................................... 41.
6 Referencias bibliográficas. ................................................................................................. 42.
Sistema de Afinación Musical de Proporciones Áureas 3
Tabla 3.- Aproximación parabólica. ..................................................................................... 23.
Tabla 4.- Aproximación exponencial. ................................................................................... 24.
Tabla 5.- Frecuencias y comparación en cents del sistema temperado con los demás. ....... 25.
Tabla 6.- Frecuencias y comparación en cents entre las notas de cada uno de los sistemas. 27.
Tabla 7.- Comparación en cents de los diferentes sistemas entre ellos dos a dos. ............... 29.
Tabla 8.- Frecuencia de las 12 notas de los cuatro sistemas. ................................................ 34.
Tabla 9.- Cents de los cuatro sistemas. ................................................................................. 35.
Tabla 10.- Compatiblidad entre los distintos sistemas de afinación. ................................... 36.
Tabla 11.- Compatibilidad entre Temperado y Bilineal. ..................................................... 38.
Tabla 12.- Compatibilidad entre Temperado y Parabólico. ................................................ 39.
Tabla 13.- Compatibilidad entre Temperado y Parabólico. ................................................ 39.
4 Sistema de Afinación Musical Basado en Proporciones Áreas
Se trata de un número algebraico que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la antigüedad, no como "unidad" sino como relación o proporción. Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas, como en la naturaleza en elementos tales como caracolas, nervaduras de las hojas de algunos árboles, el grosor de las ramas, etc.
Asimismo, se atribuye un carácter estético especial a los objetos que siguen la razón áurea, así como una importancia mística. A lo largo de la historia, se le ha atribuido importancia en diversas obras de arquitectura y otras artes, aunque algunos de estos casos han sido objetables para las matemáticas y la arqueología.
El número áureo, también conocido como "número de oro" o "divina proporción", es una constante que se percibe a diario. Aparece en las proporciones de edificios, cuadros, esculturas, e incluso en el cuerpo humano. Un objeto que respeta la proporción marcada por el número áureo transmite, a quien lo observa, una sensación de belleza y armonía.
El número áureo es el punto en que las matemáticas y el arte se encuentran. Existen en matemáticas varias constantes que son definidas con una letra griega:
Pi (π = 3,14159… ) , es la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro. Phi (φ = 1,61803…), el número de oro. Matemáticamente hablando, se le puede definir como aquel número al que, tanto si se le suma uno como si se eleva al cuadrado, sale el mismo resultado.
Tienen infinitas cifras decimales y no son periódicos (sus cifras decimales no se repiten periódicamente). Todos ellos son, por tanto, números irracionales.
Se llama "Phi" en honor al escultor griego Fidias, que ya lo aplicaba en sus creaciones. El número áureo era conocido en la antigua Grecia y se utilizó para establecer las proporciones de las partes de los templos. Por ejemplo, la planta del Partenón es un rectángulo en el que la relación entre el lado menor y el lado mayor es el número áureo. Esta misma proporción está presente en las tarjetas de crédito actuales, entre otras.
Los griegos creían en la existencia de unas proporciones armoniosas para el cuerpo, que buscaban aplicar en sus esculturas. Durante el renacimiento, dichas proporciones quedaron plasmadas en este famoso dibujo de Leonardo Da Vinci: el "Homo Vitrubio", que ilustra el libro "La Divina Proporción" de Luca Pacioli, editado en 1509.
6 Sistema de Afinación Musical Basado en Proporciones Áreas
Un sistema de afinación, es cada una de las maneras de elegir los sonidos que utiliza la música.
Expresado de otra manera, un sistema de afinación es un subconjunto de que contiene las frecuencias usadas en la música. Se seleccionan las frecuencias, de todo el conjunto de sonido, que sirven para hacer música y se descartan el resto. Los seleccionados en el sistema de afinación se denominan notas musicales.
En la música occidental hay dos formas de clasificar los sistemas de afinación:
Sistema de Afinación Musical de Proporciones Áureas 7
En todo el punto anterior se ha estado hablando haciendo mención al sonido. Pero, ¿Qué es el sonido? El sonido es todo fenómeno que involucre la propagación, en forma de ondas elásticas, a través de un fluido o cualquier otro medio elástico, del movimiento generado por la vibración de un cuerpo.
Para que estas ondas elásticas sean percibidas por el oído humano, las oscilaciones que producen deben ser convertidas en ondas mecánicas en el oído y percibidas por el cerebro.
La altura, la duración, la intensidad y el timbre o color, son las cuatro cualidades más importantes del sonido.
Sistema de Afinación Musical de Proporciones Áureas 9
Ley de Weber-Fechner para la sensación de sonoridad.
Variación de la Ley de Weber-Fechner para la sensación de altura.
Para facilitar los cálculos se va a trabajar con en lugar de para ello se hace la siguiente conversión:
Donde k es una constante que determina que la diferencia estará en unas unidades u otras. Si se hace la diferencia de altura se expresa en savarts , en cambio, si esta diferencia se expresa en cents que va a ser la unidad que se va a gastar en este documento.
2.2.2 Definiciones
En este punto se van a realizar diversas definiciones generales que puedan ser aplicadas en cualquier sistema de afinación, si bien a lo largo del proceso de investigación se realizarán algunas variaciones y matizaciones sobre alguna de ellas.
10 Sistema de Afinación Musical Basado en Proporciones Áreas
cuerdas tirantes. De estas comparaciones aparecieron cuatro relaciones sobre las demás, asociadas con las cuatro estaciones del año, que tomaron nombres propio: 1/1 (unísono). 2/1 (octava). 3/2 (quinta). 4/3 (cuarta). En Occidente, a partir del siglo VI a.C., se toman siete notas fundamentales y el resto son alteraciones que en función del sistema de afinación en el que se esté trabajando significarán una cosa u otra.
Pitágoras (s. VI a. C.) enunció la ley relativa a las cuerdas al experimentar con el monocordio (instrumento de una sola cuerda).
En el Harmonikon Enchidrion (alrededor del 100 a.C.) de Nicómaco se relata cómo Pitágoras descubrió las proporciones matemáticas de la música. En él se relata cómo Pitágoras tras pasar por una herrería se sintió atraído por la sonoridad emitida por los martillazos producidos por cuatro esclavos el golpear sobre un yunque al trabajar un trozo de metal, de forma que tres de ellos emitían sonidos consonantes (agradables al oído) y el último producía una disonancia. En un principio Pitágoras creyó que esta diferencia sonora se debía a la fuerza con que golpeaba cada esclavo con el martillo e hizo que se los intercambiasen al ver que no había cambio en el sonido producido por los martillos y que el sonido disonante provenía del mismo martillo concluyó que la sonoridad no dependía de la fuerza de golpeo sino de las características del martillo. Esto entra dentro de la leyenda y, aunque no se puede afirmar con absoluta certeza, lo más probable es que Pitágoras después de una serie de experimentos, con un monocordio comprobó que al dividir la cuerda por la mitad, al dividirla en tres partes iguales y al dividirla en cuatro partes, cuando se hacía sonar estas porciones de cuerda con la cuerda original se obtenían intervalos consonantes. De hecho, para los pitagóricos estos, la octava, la quinta y la cuarta, son, junto con el unísono, los únicos intervalos consonantes.
12 Sistema de Afinación Musical Basado en Proporciones Áreas
Cuando se representan 11 quintas consecutivas de la afinación pitagórica y al resto se le llama quinta del lobo se obtiene el círculo de quintas para el sistema pitagórico (Fig. 5).
Figura 5.- Círculo de quintas del sistema pitagórico. De todo este método no se puede extraer cual es el número idóneo de notas por octava, aunque este número no es arbitrario y suele extraerse de la sucesión 7, 12, 53, 665…
Con el nombre de afinación justa o de los físicos se conocen varios sistemas de afinación que, en la práctica, añaden el intervalo 5/4 a la afinación pitagórica para representar el intervalo de tercera (Fig. 6).
Figura 6.- Intervalos consonantes para la afinación justa. La versión más antigua de la afinación justa se le atribuye a Aristoxenos de Tarento, sostenía que bastaba el oído y la experiencia para conseguir la afinación. Por estas afirmaciones sus discípulos eran considerados armonistas por oído mientras que los pitagóricos eran armonistas por cálculo. A partir de Aristoxenos y hasta los siglos XVI y XVII, la armonía que predominaba entre los teóricos era la pitagórica, mientras que los músicos combinaban la justa afinación y la pitagórica sin problemas.
Sistema de Afinación Musical de Proporciones Áureas 13
Fue en el s. XVI cuando Zarlino, mucho antes de que se conociesen los armónicos, observó que había una relación muy estrecha entre los sonidos que tenían frecuencias proporcionales a 1, 2, 3, 4…
El objetivo de Zarlino fue el de conseguir hacer las terceras mayores y menores, justas. Aunque no fue como se va a relatar a continuación la forma en que se introdujeron los cambios para conseguir su objetivo, es una manera fácil de hacerlo y entenderlo.
La mejora radica en aproxima el intervalo de quinta justa por un intervalo parecido que
se denominará quinta sintónica. El error cometido es conocido como coma sintónica.
A continuación, e igual que en la afinación pitagórica, se realiza una sucesión de quintas naturales con la salvedad que de vez en cuando en lugar de introducir una quinta natural se introduce la nueva quinta sintónica. En la siguiente figura (Fig. 7) se observa en qué lugares se sustituyen por una quinta sintónica, este lugar es muy importante pues indica que el sistema es el de Zarlino y no otros sistemas similares como el de Delezenne.
Figura 7.- Situación de la quinta sintónica de Zarlino. La distribución en una escala de siete notas, con cinco sostenidos y cinco bemoles queda como se observa en la Figura 8.
Figura 8.- Distribución de semitonos en la afinación de Zarlino. Obsérvese que en este sistema se diferencian dos tipos de tonos uno grande (9/8) y otro más pequeño (10/9), así como tres tipos de semitonos uno cromático (25/24) y dos diatónicos, uno grande (27/25) y otro pequeño (16/15) (Fig. 9).
Sistema de Afinación Musical de Proporciones Áureas 15
Figura 10.- Partición del intervalo [1, 2] en n subintervalos iguales. De esta forma multiplicando n veces el 1 por x se obtiene 2:
Este temperamento regular y cíclico divide la octava armónica en 12 intervalos iguales, cada intervalo equivale a un semitono. Así, se consigue el objetivo buscado eliminar la quinta del lobo y cerrar el círculo de quintas. El origen de este temperamento es anterior al s. XVII que fue cuando J. S. Bach logró su consagración a raíz de su obra “ El Clave Bien Temperado”.
A pesar de ser el sistema más pobre, armónicamente hablando, ya que elimina algunas notas naturales provenientes de la escala de armónicos, es el más utilizado dado que tiene unas ventajas teóricas y prácticas que compensan esas deficiencias armónicas.
Haciendo la distribución de semitonos que se ha hecho en los sistemas anteriores queda la siguiente figura (Fig. 11).
Figura 11.- Distribución de semitonos en el temperamento de 12 notas.
William Holder (1614-1697) hizo una división de 53 partes, llamadas comas, por octava, cada tono contiene 9 comas, el semitono cromático tiene 5 y el diatónico 4. Este temperamento no deja de ser una adaptación del sistema creado por Pitágoras.
En este temperamento, si se hace la distribución de semitonos similar al del resto de sistemas, queda patente que es prácticamente la misma que en el sistema de afinación pitagórico, dado que tiene siete notas naturales, cinco notas con sostenido y cinco notas con bemol.
16 Sistema de Afinación Musical Basado en Proporciones Áreas
Fig. 12.- Distribución de notas para el temperamento de Holder
