Download Sai phân hữu hạn ứng dụng của thuốc and more Study Guides, Projects, Research Applied Sociology in PDF only on Docsity!
ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN HỌC: PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐỀ TÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN MỘT CHIỀU CỦA THUỐC (1D DRUG DIFFUSION)
LỚP L03 – NHÓM K
GV: Huỳnh Thái Duy Phương
TP. Hồ Chí Minh, tháng 5/
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐỀ TÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN MỘT CHIỀU CỦA THUỐC (1D DRUG DIFFUSION)
Lớp L03 – Nhóm K
GV: Huỳnh Thái Duy Phương
Sinh viên thực hiện Mã số sinh viên
Huỳnh Quốc An 2210010
Nguyễn Lê Nhật Nam 2151231
Phạm Lam Hoài Thương 2213422
Trần Hữu Phúc 2114455
TP. Hồ Chí Minh, tháng 5/
i
MỤC LỤC
- CHƯƠNG I: MỞ ĐẦU.......................................................................................
- 1.1. Tính cấp thiết..............................................................................................
- 1.2. Đối tượng và mục tiêu nghiên cứu..............................................................
- CHƯƠNG II: CƠ SỞ LÝ THUYẾT.................................................................
- 2.1. Phương trình khuếch tán.............................................................................
- 2.2. Phương pháp sai phân hữu hạn...................................................................
- CHƯƠNG III: BÀI TOÁN.................................................................................
- 3.1. Bài toán 1....................................................................................................
- 3.2. Bài toán 2....................................................................................................
- CHƯƠNG IV: MÔ PHỎNG PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN 1 CHIỀU.
- 4.1. Đề bài..........................................................................................................
- 4.2. Thuật toán yêu cầu......................................................................................
- 4.3. Code yêu cầu...............................................................................................
- 4.4. Kết quả thu được.......................................................................................
- KẾT LUẬN........................................................................................................
- TÀI LIỆU THAM KHẢO................................................................................
CHƯƠNG I: MỞ ĐẦU
1.1. Tính cấp thiết
Phương pháp tính là môn học nghiên cứu về những lí luận cơ bản và các
phương pháp giải gần đúng, cho ra kết quả bằng số của các bài toán thường gặp
trong toán học cũng như trong kỹ thuật.
Chúng ta thấy rằng hầu hết các bài toán trong toán học như giải các
phương trình đại số hay siêu việt, các hệ phương trình tuyến tính hay phi tuyến,
các phương trình vi phân thường hay đạo hàm riêng, tích phân,... thường khó để
giải, khó tìm kết quả dưới dạng các biểu thức.
Ngày nay nhờ máy tính điện tử người ta đã giải rất nhanh các bài toán
khổng lồ, phức tạp, đã kiểm nghiệm được các phương pháp tính cũ và đề ra các
phương pháp tính mới. Phương pháp tính nhờ đó phát triển rất mạnh mẽ. Nó là
cầu nối giữa toán học và thực tiễn. Và là môn học không thể thiếu đối với các kỹ
sư. Trong thời đại tin học hiện nay thì việc áp dụng các phương pháp tính ngày
càng trở nên phổ biến nhằm tăng tốc độ tính toán.
Ngoài nhiệm vụ chính của phương pháp tính là tìm các phương pháp giải
gần đúng các bài toán, nó còn có nhiệm vụ khác như nghiên cứu tính chất
nghiệm, nghiên cứu bài toán cực trị, xấp xỉ hàm,…
1.2. Đối tượng và mục tiêu nghiên cứu
Ở đề tài bài tập lớn lần này nhóm chúng em tìm hiểu về “Phương trình
khuếch tán một chiều của thuốc (1D drug diffusion)”. Tự do lựa chọn ngôn ngữ
lập trình. Một chương trình đảm bảo thực hiện được các yêu cầu sau:
1) Mô phỏng phương trình khuếch tán một chiều.
2) Sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn để giải. Nêu một vài ứng dụng thực
tế.
Sản phẩm là một phần mềm (code mathlab, hoặc python,…) giải số bài
toán ứng dụng ở trên với các tham số nhập từ bàn phím.
D: hệ số khuếch tán (cm2/s)
c: nồng độ chênh lệch chất khuếch tán
Định luật Fick I chỉ cho ta biết điều kiện và chiều hướng xảy ra sự khuếch
tán. Tuy nhiên khi áp dụng vào công nghệ ta cần biết các quy luật khuếch tán
theo thời gian, nhiệt độ (nhiệt động học) cụ thể, để có thể xây dựng được các
hàm (giá trị) của nồng độ chất khuếch tán tại nhiệt độ và thời gian cụ thể C(x,t).
Điều này phải sử dụng định luật Fick II.
Định luật Fick II: Biểu thức của định luật Fick II trong trường hợp hệ số
khuếch tán không phụ thuộc vào nồng độ như sau:
Dạng một chiều:
∂C
∂ t
= D
2 c ∂ x
2 ∆^ x = D. ∇^ c
c. Phương trình khuếch tán
Gọi C(x,t) là khối lượng chất trong một đơn vị thể tích theo phương x, thời gian
t. Ta kiểm soát thể tích vi phân có kích thước như sau:
Với tổng khối lượng chất có trong thể tích kiểm soát là: C(x,t). ∆^ x
Khi đó tốc độ thay đổi chất trong thể tích kiểm soát là:
∂C
∂ t ∆ x
Xét trong một đơn vị thời gian, khối lượng chất đi qua mặt phẳng tại x là
q(x,t), khi đó khối lượng chất đi qua mặt phẳng tại (x+Δx) sẽ là: q(x,t) +
∂ q ∂ x ∆ x
Khi đó chệch lệch chất khi đi qua mặt phẳng tại x và tại (x+Δx) sẽ là:
∂ q ∂ x ∆ x
Áp dụng định luật bảo toàn khối lượng vật chất trong một đơn vị thể tích
kiểm soát ta có:
∂ q ∂ x
∆ x = -
∂ x
∆ x hay
∂ q ∂ x
∂ x
Áp dụng định luật Fick vào ta được:
∂C
∂ t
∂ x
¿]
Coi D là hằng số theo trục x (hệ số khuếch tán), phương trình mô tả chất được
vận chuyển trong quá trình khuếch tán biểu diễn như sau:
∂C
∂ t
= D
2 c ∂ x 2
d. Ý nghĩa phương trình khuếch tán
Phương trình khuếch tán được áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau như khoa
học và kỹ thuật, hóa học, sinh học, vật lý, … và nhiều lĩnh vực khác:
1. Sinh học: Trong nghiên cứu sinh học và y học, phương trình khuếch tán
được sử dụng để mô phỏng sự lan truyền của chất dinh dưỡng, dược phẩm
và các phân tử khác trong cơ thể.
2. Kỹ thuật xử lý nước: Trong quá trình xử lý nước thải và nước uống,
phương trình khuếch tán được sử dụng để dự đoán sự phân bố của các
chất hóa học trong hệ thống xử lý nước.
3. Kỹ thuật vật lý: Trong lĩnh vực vật lý, phương trình khuếch tán được sử
dụng để mô phỏng sự lan truyền của nhiệt, âm thanh và các dạng năng
lượng khác trong không gian.
4. Kỹ thuật hóa học: Trong quá trình sản xuất và xử lý hóa chất, phương
trình khuếch tán được sử dụng để mô phỏng sự phân bố của chất trong các
bể chứa, ống dẫn và thiết bị khác.
5. Khoa học môi trường: Phương trình khuếch tán được sử dụng để mô
phỏng sự lan truyền của chất ô nhiễm trong môi trường, giúp dự đoán và
đánh giá tác động của chất ô nhiễm đến môi trường và sức khỏe con
người.
2.2. Phương pháp sai phân hữu hạn
a. Phương pháp sai phân hữu hạn
Phương pháp Sai phân hữu hạn (SPHH) là phương pháp số tương đối đơn
giản và ổn định. Nội dung của phương pháp này là biến đổi một cách gần đúng
các đạo hàm riêng của phương trình vi phân chủ đạo thành thương của các số
gia tương ứng. Bằng cách dùng các họ đường song song với các trục toạ độ để
(4) là phương trình SPHH dẫn nhiệt viết cho điểm nút (i,j).
Xây dựng hệ phương trình bậc nhất:
Để giải (4) có thể chọn x = y. Khi đó sẽ được:
T i , j =
¿ + T^ i , j − 1 + T^ i , j + 1 ¿^ (5)
Vậy nhiệt độ tại điểm nút bằng trung bình cộng của bốn điểm nút xung
quanh.
Từ (5) viết lần lượt cho các điểm, rồi chuyển các nhiệt độ đã biết sang vế
phải, các nhiệt độ chưa biết sang vế trái, sắp xếp lại sẽ được n phương trình cho
n điểm nút chưa biết nhiệt độ bên trong vật, tạo thành hệ phương trình bậc nhất:
a 11 T (^) 1 + a 12 T (^) 2 +...+ a 1 n Tn = C 1 a 21 T (^) 1 + a 22 T (^) 2 +...+ a 2 n Tn = C 2 ... an 1 T 1 + an 2 T (^) 2 +...+ ann T (^) n = Cn }
Từ đó có thể giải ra các nhiệt độ cần tìm bằng các phương pháp: Gauss,
Gauss Seidel, Gauss Jordan, Ma trận nghịch đảo ...
c. Ý nghĩa phương pháp sai phân hữu hạn
Phương pháp sai phân hữu hạn có ý nghĩa lớn trong nhiều lĩnh vực như
toán học, khoa học kỹ thuật, lập trình và trong nhiều lĩnh vực khác:
1. Ứng dụng trong giải các phương trình vi phân: Khi giải các phương trình
vi phân bằng phương pháp số, việc xấp xỉ đạo hàm thông qua phương
pháp sai phân hữu hạn là cần thiết. Nó giúp chia nhỏ bài toán thành các
phần nhỏ hơn và tính toán xấp xỉ giá trị đạo hàm.
2. Tính toán đạo hàm xấp xỉ: Đôi khi, việc tính toán đạo hàm chính xác của
một hàm có thể phức tạp hoặc tốn kém. Phương pháp sai phân hữu hạn
cung cấp một cách tiếp cận xấp xỉ để tính toán giá trị đạo hàm tại một
điểm cụ thể mà không cần biết hàm số chính xác.
3. Tối ưu hóa và mô phỏng: Trong tối ưu hóa và mô phỏng, việc tính toán
đạo hàm là một phần quan trọng. Phương pháp sai phân hữu hạn cung cấp
một cách tiếp cận linh hoạt để tính toán đạo hàm mà không cần biết công
thức chính xác của hàm số.
4. Được sử dụng trong máy tính và lập trình: Trong lập trình số, phương
pháp sai phân hữu hạn cung cấp cách tiếp cận thuận tiện để tính toán đạo
hàm, đặc biệt trong việc tối ưu hóa các thuật toán và giải quyết các vấn đề
số.
CHƯƠNG III: BÀI TOÁN
3.1. Bài toán 1
Cho phương trình vi phân cấp 2: y
' ' ( x )+ x. y ' ( x )+ 2 xy ( x )= 5 + x 2
với điều kiện
biên y^ (^1 )=0,5^ ;^ y^ (1,45)=1,5. Sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn với bước
chia h =0,15^ để tính xấp xỉ các giá trị sau: y^ (1,15)=?^ ;^ y^ (1,3)=?
Ta có:
{ p = 1 q = x r = 2 x f = 5 + x 2 h =0,
{ p h
2 −^
q
- h
2 −^
x 0, r −
- p h 2 =2.^ x^ −^
2 p h
2 +^
q
- h
2 +^
x 0, → { ( r −
- p h (^2) ).^ y^1 +( p h
2 +^
q
- h ) . y 2 = f − ( p h
2 −^
q
- h ) . y 0 ( p h
2 −^
q
- h ) . y 1 + ( r − 2. p h (^2) ).^ y^2 = f^ −( p h
2 +^
q
- h ) . y 3 ↔ { ( 2 x −
(^2) ).^ y 1 +(
2 +^
x 2.0,15 )
. y 2 = 5 + x 2 − (
2 −^
x 2.0,15 )
. y 0 (
2 −^
x 2.0,15 )
. y 1 + ( 2 x −
(^2) ).^ y^2 =^5 +^ x 2 − (
2 +^
x 2.0,15 )
. y 3 ↔ { (
(^2) ) y^1 +(
2 +^
0,3 )^ y 2 = 5 + 1, 2 − (
2 −^
2.0,15 )
(
2 −^
0,3 )^ y 1 + (
(^2) ) y^2 =^5 +1, 2 − (
2 +^
2.0,15 )
{ y 1 =0, y 2 =1, ↔ { y (1,15)=0, y (1,3)=1,
CHƯƠNG IV: MÔ PHỎNG PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN 1 CHIỀU
4.1. Đề bài
Giả sử chúng ta cần xem xét sự phân bố của thuốc trong một đoạn mạch
máu sau khi thuốc được tiêm vào. Các thông số được cho như sau:
- Chiều dài mạch máu cần được xem xét: 10 cm
- Đường kính mạch máu: 0.1 cm (không đáng kể vì chỉ xét đến sự khuếch tán 1
chiều)
- Hệ số khuếch tán của thuốc trong máu: 𝐷 = 0.01 cm^2 /s
- Thời gian quan sát: 60 s
Thuốc sẽ được tiêm tại vị trí chính giữa mạch máu. Tại thời điểm ban đầu,
coi như toàn bộ lượng thuốc tập trung tại điểm này dưới dạng một điểm. Biên tại
hai đầu mạch mở, cho phép thuốc khuếch tán ra khỏi mạch. Sử dụng phương
pháp sai phân hữu hạn để miêu tả sự khuếch tán 1 chiều của thuốc trong mạch
máu.
4.2. Thuật toán yêu cầu......................................................................................
Hình 4.1. Thuật toán yêu cầu
Phương trình
khuếch tán 1
chiều của thuốc
và các thông số
ban đầu
Thỏa điều
kiện ổn định
Thiết lập các thông số ma
trận lưới
Thiết lập điều kiện ban đầu
và điều kiện biên
Lập trình giá trị các phần tử
của lưới bằng công thức sai
phân hữu hạn
Đồ thị khuếch tán
1 chiều của thuốc
theo không gian
và thời gian
Sai
Đúng
% Dieu kien ban dau
u(:,1) = 0;
u(49:51,1) = 100; % Thuoc duoc tiem tai diem chinh giua
mach mau dang xet
% Dieu kien bien
u(1,:) = 0;
u(end,:) = 0;
% Phuong phap sai phan huu han
for n = 1:Nt
for i = 2:Nx
u(i,n+1) = u(i,n) + a(u(i+1,n) - 2u(i,n) + u(i-
1,n));
end
end
% Tao luoi cho du lieu
[T, X] = meshgrid(t, x);
% Ve do thi nong do thuoc theo thoi gian
mesh(T, X, u)
colorbar
colormap(jet)
shading interp % Lam min be mat
lighting phong % Them hieu ung anh sang
light % Them nguon sang
xlabel('Thoi gian (s)', 'FontSize', 12, 'FontWeight',
'bold');
ylabel('Chieu dai mach mau (cm)', 'FontSize', 12,
'FontWeight', 'bold');
zlabel('Nong do', 'FontSize', 12, 'FontWeight', 'bold');
title('Qua trinh khuech tan cua thuoc trong mach mau',
'FontSize', 14, 'FontWeight', 'bold');
4.4. Kết quả thu được.......................................................................................
Hình 4.2. Kết quả thu được
Nhận xét: Từ đồ thị, ta có thể thấy nồng độ của thuốc sẽ giảm dần theo thời
gian. Bên cạnh đó, thuốc sẽ khuếch tán dần sang các vị trí dọc theo 2 phía của
mạch máu. Mô hình này chứng tỏ chương trình của chúng ta đã đưa ra kết quả
chính xác.
TÀI LIỆU THAM KHẢO................................................................................
[1] Richard L. Burden, J. Douglas Faires & Annette M. Burden (2015), Burden.
Numerical Analysis , Cengage Learning.
[2] Steven C. Chapra & Raymond P. Canale (4th^ Edition), Applied
Numerical Methods with MATLAB® for Engineers and Scientists ,
McGraw-Hill Education.
[3] Lê Thái Thanh (2019), Giáo trình phương pháp tính , Nhà xuất bản Đại học
Bách khoa TP.HCM.
