Docsity
Docsity

Prepare for your exams
Prepare for your exams

Study with the several resources on Docsity


Earn points to download
Earn points to download

Earn points by helping other students or get them with a premium plan


Guidelines and tips
Guidelines and tips

Sai phân hữu hạn ứng dụng của thuốc, Study Guides, Projects, Research of Applied Sociology

phương trình khuyêchs tán một chiều

Typology: Study Guides, Projects, Research

2020/2021

Uploaded on 05/14/2024

phuc-tran-17
phuc-tran-17 🇻🇳

5

(1)

1 document

1 / 19

Toggle sidebar

This page cannot be seen from the preview

Don't miss anything!

bg1
ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN
MÔN HỌC: PHƯƠNG PHÁP TÍNH
ĐỀ TÀI 3
PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN MỘT CHIỀU
CỦA THUỐC (1D DRUG DIFFUSION)
LỚP L03 – NHÓM K
GV: Huỳnh Thái Duy Phương
TP. Hồ Chí Minh, tháng 5/2024
pf3
pf4
pf5
pf8
pf9
pfa
pfd
pfe
pff
pf12
pf13

Partial preview of the text

Download Sai phân hữu hạn ứng dụng của thuốc and more Study Guides, Projects, Research Applied Sociology in PDF only on Docsity!

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN HỌC: PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐỀ TÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN MỘT CHIỀU CỦA THUỐC (1D DRUG DIFFUSION)

LỚP L03 – NHÓM K

GV: Huỳnh Thái Duy Phương

TP. Hồ Chí Minh, tháng 5/

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐỀ TÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN MỘT CHIỀU CỦA THUỐC (1D DRUG DIFFUSION)

Lớp L03 – Nhóm K

GV: Huỳnh Thái Duy Phương

Sinh viên thực hiện Mã số sinh viên

Huỳnh Quốc An 2210010

Nguyễn Lê Nhật Nam 2151231

Phạm Lam Hoài Thương 2213422

Trần Hữu Phúc 2114455

TP. Hồ Chí Minh, tháng 5/

i

MỤC LỤC

  • CHƯƠNG I: MỞ ĐẦU.......................................................................................
    • 1.1. Tính cấp thiết..............................................................................................
    • 1.2. Đối tượng và mục tiêu nghiên cứu..............................................................
  • CHƯƠNG II: CƠ SỞ LÝ THUYẾT.................................................................
    • 2.1. Phương trình khuếch tán.............................................................................
    • 2.2. Phương pháp sai phân hữu hạn...................................................................
  • CHƯƠNG III: BÀI TOÁN.................................................................................
    • 3.1. Bài toán 1....................................................................................................
    • 3.2. Bài toán 2....................................................................................................
  • CHƯƠNG IV: MÔ PHỎNG PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN 1 CHIỀU.
    • 4.1. Đề bài..........................................................................................................
    • 4.2. Thuật toán yêu cầu......................................................................................
    • 4.3. Code yêu cầu...............................................................................................
    • 4.4. Kết quả thu được.......................................................................................
  • KẾT LUẬN........................................................................................................
  • TÀI LIỆU THAM KHẢO................................................................................

CHƯƠNG I: MỞ ĐẦU

1.1. Tính cấp thiết

Phương pháp tính là môn học nghiên cứu về những lí luận cơ bản và các

phương pháp giải gần đúng, cho ra kết quả bằng số của các bài toán thường gặp

trong toán học cũng như trong kỹ thuật.

Chúng ta thấy rằng hầu hết các bài toán trong toán học như giải các

phương trình đại số hay siêu việt, các hệ phương trình tuyến tính hay phi tuyến,

các phương trình vi phân thường hay đạo hàm riêng, tích phân,... thường khó để

giải, khó tìm kết quả dưới dạng các biểu thức.

Ngày nay nhờ máy tính điện tử người ta đã giải rất nhanh các bài toán

khổng lồ, phức tạp, đã kiểm nghiệm được các phương pháp tính cũ và đề ra các

phương pháp tính mới. Phương pháp tính nhờ đó phát triển rất mạnh mẽ. Nó là

cầu nối giữa toán học và thực tiễn. Và là môn học không thể thiếu đối với các kỹ

sư. Trong thời đại tin học hiện nay thì việc áp dụng các phương pháp tính ngày

càng trở nên phổ biến nhằm tăng tốc độ tính toán.

Ngoài nhiệm vụ chính của phương pháp tính là tìm các phương pháp giải

gần đúng các bài toán, nó còn có nhiệm vụ khác như nghiên cứu tính chất

nghiệm, nghiên cứu bài toán cực trị, xấp xỉ hàm,…

1.2. Đối tượng và mục tiêu nghiên cứu

Ở đề tài bài tập lớn lần này nhóm chúng em tìm hiểu về “Phương trình

khuếch tán một chiều của thuốc (1D drug diffusion)”. Tự do lựa chọn ngôn ngữ

lập trình. Một chương trình đảm bảo thực hiện được các yêu cầu sau:

1) Mô phỏng phương trình khuếch tán một chiều.

2) Sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn để giải. Nêu một vài ứng dụng thực

tế.

Sản phẩm là một phần mềm (code mathlab, hoặc python,…) giải số bài

toán ứng dụng ở trên với các tham số nhập từ bàn phím.

D: hệ số khuếch tán (cm2/s)

c: nồng độ chênh lệch chất khuếch tán

Định luật Fick I chỉ cho ta biết điều kiện và chiều hướng xảy ra sự khuếch

tán. Tuy nhiên khi áp dụng vào công nghệ ta cần biết các quy luật khuếch tán

theo thời gian, nhiệt độ (nhiệt động học) cụ thể, để có thể xây dựng được các

hàm (giá trị) của nồng độ chất khuếch tán tại nhiệt độ và thời gian cụ thể C(x,t).

Điều này phải sử dụng định luật Fick II.

Định luật Fick II: Biểu thức của định luật Fick II trong trường hợp hệ số

khuếch tán không phụ thuộc vào nồng độ như sau:

Dạng một chiều:

∂C

∂ t

= D

2 c ∂ x

2 ∆^ x = D. ∇^ c

c. Phương trình khuếch tán

Gọi C(x,t) là khối lượng chất trong một đơn vị thể tích theo phương x, thời gian

t. Ta kiểm soát thể tích vi phân có kích thước như sau:

Với tổng khối lượng chất có trong thể tích kiểm soát là: C(x,t). ∆^ x

Khi đó tốc độ thay đổi chất trong thể tích kiểm soát là:

∂C

∂ t ∆ x

Xét trong một đơn vị thời gian, khối lượng chất đi qua mặt phẳng tại x là

q(x,t), khi đó khối lượng chất đi qua mặt phẳng tại (x+Δx) sẽ là: q(x,t) +

∂ q ∂ x ∆ x

Khi đó chệch lệch chất khi đi qua mặt phẳng tại x và tại (x+Δx) sẽ là:

∂ q ∂ x ∆ x

Áp dụng định luật bảo toàn khối lượng vật chất trong một đơn vị thể tích

kiểm soát ta có:

∂ q ∂ x

∆ x = -

∂ x

∆ x hay

∂ q ∂ x

∂ x

Áp dụng định luật Fick vào ta được:

∂C

∂ t

∂ x

¿]

Coi D là hằng số theo trục x (hệ số khuếch tán), phương trình mô tả chất được

vận chuyển trong quá trình khuếch tán biểu diễn như sau:

∂C

∂ t

= D

2 c ∂ x 2

d. Ý nghĩa phương trình khuếch tán

Phương trình khuếch tán được áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau như khoa

học và kỹ thuật, hóa học, sinh học, vật lý, … và nhiều lĩnh vực khác:

1. Sinh học: Trong nghiên cứu sinh học và y học, phương trình khuếch tán

được sử dụng để mô phỏng sự lan truyền của chất dinh dưỡng, dược phẩm

và các phân tử khác trong cơ thể.

2. Kỹ thuật xử lý nước: Trong quá trình xử lý nước thải và nước uống,

phương trình khuếch tán được sử dụng để dự đoán sự phân bố của các

chất hóa học trong hệ thống xử lý nước.

3. Kỹ thuật vật lý: Trong lĩnh vực vật lý, phương trình khuếch tán được sử

dụng để mô phỏng sự lan truyền của nhiệt, âm thanh và các dạng năng

lượng khác trong không gian.

4. Kỹ thuật hóa học: Trong quá trình sản xuất và xử lý hóa chất, phương

trình khuếch tán được sử dụng để mô phỏng sự phân bố của chất trong các

bể chứa, ống dẫn và thiết bị khác.

5. Khoa học môi trường: Phương trình khuếch tán được sử dụng để mô

phỏng sự lan truyền của chất ô nhiễm trong môi trường, giúp dự đoán và

đánh giá tác động của chất ô nhiễm đến môi trường và sức khỏe con

người.

2.2. Phương pháp sai phân hữu hạn

a. Phương pháp sai phân hữu hạn

Phương pháp Sai phân hữu hạn (SPHH) là phương pháp số tương đối đơn

giản và ổn định. Nội dung của phương pháp này là biến đổi một cách gần đúng

các đạo hàm riêng của phương trình vi phân chủ đạo thành thương của các số

gia tương ứng. Bằng cách dùng các họ đường song song với các trục toạ độ để

(4) là phương trình SPHH dẫn nhiệt viết cho điểm nút (i,j).

Xây dựng hệ phương trình bậc nhất:

Để giải (4) có thể chọn x = y. Khi đó sẽ được:

T i , j =

¿ + T^ i , j − 1 + T^ i , j + 1 ¿^ (5)

Vậy nhiệt độ tại điểm nút bằng trung bình cộng của bốn điểm nút xung

quanh.

Từ (5) viết lần lượt cho các điểm, rồi chuyển các nhiệt độ đã biết sang vế

phải, các nhiệt độ chưa biết sang vế trái, sắp xếp lại sẽ được n phương trình cho

n điểm nút chưa biết nhiệt độ bên trong vật, tạo thành hệ phương trình bậc nhất:

a 11 T (^) 1 + a 12 T (^) 2 +...+ a 1 n Tn = C 1 a 21 T (^) 1 + a 22 T (^) 2 +...+ a 2 n Tn = C 2 ... an 1 T 1 + an 2 T (^) 2 +...+ ann T (^) n = Cn }

Từ đó có thể giải ra các nhiệt độ cần tìm bằng các phương pháp: Gauss,

Gauss Seidel, Gauss Jordan, Ma trận nghịch đảo ...

c. Ý nghĩa phương pháp sai phân hữu hạn

Phương pháp sai phân hữu hạn có ý nghĩa lớn trong nhiều lĩnh vực như

toán học, khoa học kỹ thuật, lập trình và trong nhiều lĩnh vực khác:

1. Ứng dụng trong giải các phương trình vi phân: Khi giải các phương trình

vi phân bằng phương pháp số, việc xấp xỉ đạo hàm thông qua phương

pháp sai phân hữu hạn là cần thiết. Nó giúp chia nhỏ bài toán thành các

phần nhỏ hơn và tính toán xấp xỉ giá trị đạo hàm.

2. Tính toán đạo hàm xấp xỉ: Đôi khi, việc tính toán đạo hàm chính xác của

một hàm có thể phức tạp hoặc tốn kém. Phương pháp sai phân hữu hạn

cung cấp một cách tiếp cận xấp xỉ để tính toán giá trị đạo hàm tại một

điểm cụ thể mà không cần biết hàm số chính xác.

3. Tối ưu hóa và mô phỏng: Trong tối ưu hóa và mô phỏng, việc tính toán

đạo hàm là một phần quan trọng. Phương pháp sai phân hữu hạn cung cấp

một cách tiếp cận linh hoạt để tính toán đạo hàm mà không cần biết công

thức chính xác của hàm số.

4. Được sử dụng trong máy tính và lập trình: Trong lập trình số, phương

pháp sai phân hữu hạn cung cấp cách tiếp cận thuận tiện để tính toán đạo

hàm, đặc biệt trong việc tối ưu hóa các thuật toán và giải quyết các vấn đề

số.

CHƯƠNG III: BÀI TOÁN

3.1. Bài toán 1

Cho phương trình vi phân cấp 2: y

' ' ( x )+ x. y ' ( x )+ 2 xy ( x )= 5 + x 2

với điều kiện

biên y^ (^1 )=0,5^ ;^ y^ (1,45)=1,5. Sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn với bước

chia h =0,15^ để tính xấp xỉ các giá trị sau: y^ (1,15)=?^ ;^ y^ (1,3)=?

Ta có:

{ p = 1 q = x r = 2 x f = 5 + x 2 h =0,

{ p h

2 −^

q

  1. h

2 −^

x 0, r

  1. p h 2 =2.^ x^ −^

2 p h

2 +^

q

  1. h

2 +^

x 0, { ( r

  1. p h (^2) ).^ y^1 +( p h

2 +^

q

  1. h ) . y 2 = f − ( p h

2 −^

q

  1. h ) . y 0 ( p h

2 −^

q

  1. h ) . y 1 + ( r − 2. p h (^2) ).^ y^2 = f^ −( p h

2 +^

q

  1. h ) . y 3 { ( 2 x

(^2) ).^ y 1 +(

2 +^

x 2.0,15 )

. y 2 = 5 + x 2 − (

2 −^

x 2.0,15 )

. y 0 (

2 −^

x 2.0,15 )

. y 1 + ( 2 x

(^2) ).^ y^2 =^5 +^ x 2 − (

2 +^

x 2.0,15 )

. y 3 { (

(^2) ) y^1 +(

2 +^

0,3 )^ y 2 = 5 + 1, 2 − (

2 −^

2.0,15 )

(

2 −^

0,3 )^ y 1 + (

(^2) ) y^2 =^5 +1, 2 − (

2 +^

2.0,15 )

{ y 1 =0, y 2 =1, { y (1,15)=0, y (1,3)=1,

CHƯƠNG IV: MÔ PHỎNG PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN 1 CHIỀU

4.1. Đề bài

Giả sử chúng ta cần xem xét sự phân bố của thuốc trong một đoạn mạch

máu sau khi thuốc được tiêm vào. Các thông số được cho như sau:

  • Chiều dài mạch máu cần được xem xét: 10 cm
  • Đường kính mạch máu: 0.1 cm (không đáng kể vì chỉ xét đến sự khuếch tán 1

chiều)

  • Hệ số khuếch tán của thuốc trong máu: 𝐷 = 0.01 cm^2 /s
  • Thời gian quan sát: 60 s

Thuốc sẽ được tiêm tại vị trí chính giữa mạch máu. Tại thời điểm ban đầu,

coi như toàn bộ lượng thuốc tập trung tại điểm này dưới dạng một điểm. Biên tại

hai đầu mạch mở, cho phép thuốc khuếch tán ra khỏi mạch. Sử dụng phương

pháp sai phân hữu hạn để miêu tả sự khuếch tán 1 chiều của thuốc trong mạch

máu.

4.2. Thuật toán yêu cầu......................................................................................

Hình 4.1. Thuật toán yêu cầu

Phương trình

khuếch tán 1

chiều của thuốc

và các thông số

ban đầu

Thỏa điều

kiện ổn định

Thiết lập các thông số ma

trận lưới

Thiết lập điều kiện ban đầu

và điều kiện biên

Lập trình giá trị các phần tử

của lưới bằng công thức sai

phân hữu hạn

Đồ thị khuếch tán

1 chiều của thuốc

theo không gian

và thời gian

Sai

Đúng

% Dieu kien ban dau

u(:,1) = 0;

u(49:51,1) = 100; % Thuoc duoc tiem tai diem chinh giua

mach mau dang xet

% Dieu kien bien

u(1,:) = 0;

u(end,:) = 0;

% Phuong phap sai phan huu han

for n = 1:Nt

for i = 2:Nx

u(i,n+1) = u(i,n) + a(u(i+1,n) - 2u(i,n) + u(i-

1,n));

end

end

% Tao luoi cho du lieu

[T, X] = meshgrid(t, x);

% Ve do thi nong do thuoc theo thoi gian

mesh(T, X, u)

colorbar

colormap(jet)

shading interp % Lam min be mat

lighting phong % Them hieu ung anh sang

light % Them nguon sang

xlabel('Thoi gian (s)', 'FontSize', 12, 'FontWeight',

'bold');

ylabel('Chieu dai mach mau (cm)', 'FontSize', 12,

'FontWeight', 'bold');

zlabel('Nong do', 'FontSize', 12, 'FontWeight', 'bold');

title('Qua trinh khuech tan cua thuoc trong mach mau',

'FontSize', 14, 'FontWeight', 'bold');

4.4. Kết quả thu được.......................................................................................

Hình 4.2. Kết quả thu được

 Nhận xét: Từ đồ thị, ta có thể thấy nồng độ của thuốc sẽ giảm dần theo thời

gian. Bên cạnh đó, thuốc sẽ khuếch tán dần sang các vị trí dọc theo 2 phía của

mạch máu. Mô hình này chứng tỏ chương trình của chúng ta đã đưa ra kết quả

chính xác.

TÀI LIỆU THAM KHẢO................................................................................

[1] Richard L. Burden, J. Douglas Faires & Annette M. Burden (2015), Burden.

Numerical Analysis , Cengage Learning.

[2] Steven C. Chapra & Raymond P. Canale (4th^ Edition), Applied

Numerical Methods with MATLAB® for Engineers and Scientists ,

McGraw-Hill Education.

[3] Lê Thái Thanh (2019), Giáo trình phương pháp tính , Nhà xuất bản Đại học

Bách khoa TP.HCM.