Numerical Analysis –MTH603 VU
© Copyright Virtual University of Pakistan 1
R
RU
UN
NG
GE
E
–
–
K
KU
UT
TT
TA
A
M
ME
ET
TH
HO
OD
D
T
Th
he
es
se
e
a
ar
re
e
c
co
om
mp
pu
ut
ta
at
ti
io
on
na
al
ll
ly
y,
,
m
mo
os
st
t
e
ef
ff
fi
ic
ci
ie
en
nt
t
m
me
et
th
ho
od
ds
s
i
in
n
t
te
er
rm
ms
s
o
of
f
a
ac
cc
cu
ur
ra
ac
cy
y.
.
T
Th
he
ey
y
w
we
er
re
e
d
de
ev
ve
el
lo
op
pe
ed
d
b
by
y
t
tw
wo
o
G
Ge
er
rm
ma
an
n
m
ma
at
th
he
em
ma
at
ti
ic
ci
ia
an
ns
s,
,
R
Ru
un
ng
ge
e
a
an
nd
d
K
Ku
ut
tt
ta
a.
.
T
Th
he
ey
y
a
ar
re
e
d
di
is
st
ti
in
ng
gu
ui
is
sh
he
ed
d
b
by
y
t
th
he
ei
ir
r
o
or
rd
de
er
rs
s
i
in
n
t
th
he
e
s
se
en
ns
se
e
t
th
ha
at
t
t
th
he
ey
y
a
ag
gr
re
ee
e
w
wi
it
th
h
T
Ta
ay
yl
lo
or
r’
’s
s
s
se
er
ri
ie
es
s
s
so
ol
lu
ut
ti
io
on
n
u
up
p
t
to
o
t
te
er
rm
ms
s
o
of
f
h
hr
r,
,
w
wh
he
er
re
e
r
r
i
is
s
t
th
he
e
o
or
rd
de
er
r
o
of
f
t
th
he
e
m
me
et
th
ho
od
d.
.
T
Th
he
es
se
e
m
me
et
th
ho
od
ds
s
d
do
o
n
no
ot
t
d
de
em
ma
an
nd
d
p
pr
ri
io
or
r
c
co
om
mp
pu
ut
ta
at
ti
io
on
n
o
of
f
h
hi
ig
gh
he
er
r
d
de
er
ri
iv
va
at
ti
iv
ve
es
s
o
of
f
y
y(
(t
t)
)
a
as
s
i
in
n
T
TS
SM
M.
.
F
Fo
ou
ur
rt
th
h-
-o
or
rd
de
er
r
R
Ru
un
ng
ge
e-
-K
Ku
ut
tt
ta
a
m
me
et
th
ho
od
ds
s
a
ar
re
e
w
wi
id
de
el
ly
y
u
us
se
ed
d
f
fo
or
r
f
fi
in
nd
di
in
ng
g
t
th
he
e
n
nu
um
me
er
ri
ic
ca
al
l
s
so
ol
lu
ut
ti
io
on
ns
s
o
of
f
l
li
in
ne
ea
ar
r
o
or
r
n
no
on
n-
-l
li
in
ne
ea
ar
r
o
or
rd
di
in
na
ar
ry
y
d
di
if
ff
fe
er
re
en
nt
ti
ia
al
l
e
eq
qu
ua
at
ti
io
on
ns
s,
,
t
th
he
e
d
de
ev
ve
el
lo
op
pm
me
en
nt
t
o
of
f
w
wh
hi
ic
ch
h
i
is
s
c
co
om
mp
pl
li
ic
ca
at
te
ed
d
a
al
lg
ge
eb
br
ra
ai
ic
ca
al
ll
ly
y.
.
T
Th
he
er
re
ef
fo
or
re
e,
,
w
we
e
c
co
on
nv
ve
ey
y
t
th
he
e
b
ba
as
si
ic
c
i
id
de
ea
a
o
of
f
t
th
he
es
se
e
m
me
et
th
ho
od
ds
s
b
by
y
d
de
ev
ve
el
lo
op
pi
in
ng
g
t
th
he
e
s
se
ec
co
on
nd
d-
-o
or
rd
de
er
r
R
Ru
un
ng
ge
e-
-K
Ku
ut
tt
ta
a
m
me
et
th
ho
od
d
w
wh
hi
ic
ch
h
w
we
e
s
sh
ha
al
ll
l
r
re
ef
fe
er
r
h
he
er
re
ea
af
ft
te
er
r
a
as
s
R
R-
-K
K
m
me
et
th
ho
od
d.
.
P
Pl
le
ea
as
se
e
r
re
ec
ca
al
ll
l
t
th
ha
at
t
t
th
he
e
m
mo
od
di
if
fi
ie
ed
d
E
Eu
ul
le
er
r’
’s
s
m
me
et
th
ho
od
d:
:
w
wh
hi
ic
ch
h
c
ca
an
n
b
be
e
v
vi
ie
ew
we
ed
d
a
as
s
1nn
yyh
+=+
(
(a
av
ve
er
ra
ag
ge
e
o
of
f
s
sl
lo
op
pe
es
s)
)
T
Th
hi
is
s,
,
i
in
n
f
fa
ac
ct
t,
,
i
is
s
t
th
he
e
b
ba
as
si
ic
c
i
id
de
ea
a
o
of
f
R
R-
-K
K
m
me
et
th
ho
od
d.
.
H
He
er
re
e,
,
w
we
e
f
fi
in
nd
d
t
th
he
e
s
sl
lo
op
pe
es
s
n
no
ot
t
o
on
nl
ly
y
a
at
t
t
tn
nb
bu
ut
t
a
al
ls
so
o
a
at
t
s
se
ev
ve
er
ra
al
l
o
ot
th
he
er
r
i
in
nt
te
er
ri
io
or
r
p
po
oi
in
nt
ts
s,
,
a
an
nd
d
t
ta
ak
ke
e
t
th
he
e
w
we
ei
ig
gh
ht
te
ed
d
a
av
ve
er
ra
ag
ge
e
o
of
f
t
th
he
es
se
e
s
sl
lo
op
pe
es
s
a
an
nd
d
a
ad
dd
d
t
to
o
y
yn
n
t
to
o
g
ge
et
t
y
yn
n+
+1
1.
.
N
No
ow
w,
,
w
we
e
s
sh
ha
al
ll
l
d
de
er
ri
iv
ve
e
t
th
he
e
s
se
ec
co
on
nd
d
o
or
rd
de
er
r
R
R-
-K
K
m
me
et
th
ho
od
d
i
in
n
t
th
he
e
f
fo
ol
ll
lo
ow
wi
in
ng
g
s
sl
li
id
de
es
s.
.
C
Co
on
ns
si
id
de
er
r
t
th
he
e
I
IV
VP
P
(, ), ( )
nn
dy
f
ty yt y
dt ==
W
We
e
a
al
ls
so
o
d
de
ef
fi
in
ne
e
12 1
(, ), ( , )
nn n n
khfty khft hy k
α
β
==++
a
an
nd
d
t
ta
ak
ke
e
t
th
he
e
w
we
ei
ig
gh
ht
te
ed
d
a
av
ve
er
ra
ag
ge
e
o
of
f
k
k1
1
a
an
nd
d
k
k2
2
a
an
nd
d
a
ad
dd
d
t
to
o
y
yn
n
t
to
o
g
ge
et
t
y
yn
n+
+1
1
W
We
e
s
se
ee
ek
k
a
a
f
fo
or
rm
mu
ul
la
a
o
of
f
t
th
he
e
f
fo
or
rm
m
11122nn
yyWkWk
+
=
++
W
Wh
he
er
re
e
12
,,W and W
αβ
a
ar
re
e
c
co
on
ns
st
ta
an
nt
ts
s
t
to
o
b
be
e
d
de
et
te
er
rm
mi
in
ne
ed
d
s
so
o
t
th
ha
at
t
t
th
he
e
a
ab
bo
ov
ve
e
e
eq
qu
ua
at
ti
io
on
n
a
ag
gr
re
ee
e
w
wi
it
th
h
t
th
he
e
T
Ta
ay
yl
lo
or
r’
’s
s
s
se
er
ri
ie
es
s
e
ex
xp
pa
an
ns
si
io
on
n
a
as
s
h
hi
ig
gh
h
a
an
n
o
or
rd
de
er
r
a
as
s
p
po
os
ss
si
ib
bl
le
e
T
Th
hu
us
s,
,
u
us
si
in
ng
g
T
Ta
ay
yl
lo
or
r’
’s
s
s
se
er
ri
ie
es
s
e
ex
xp
pa
an
ns
si
io
on
n,
,
w
we
e
h
ha
av
ve
e
23
1
( ) () () () ()
26
nnn n n
hh
yt yt hy t y t y t
+′ ′′ ′′′
=+ + + +
"
R
Re
ew
wr
ri
it
ti
in
ng
g
t
th
he
e
d
de
er
ri
iv
va
at
ti
iv
ve
es
s
o
of
f
y
y
i
in
n
t
te
er
rm
ms
s
o
of
f
f
f
o
of
f
t
th
he
e
a
ab
bo
ov
ve
e
e
eq
qu
ua
at
ti
io
on
n,
,
w
we
e
g
ge
et
t
2
1(, ) ( )
2
nn nn ty
h
yyhfty fff
+=+ + +
3
24
2()()
6tt ty yy y t y
h
f
ff f f f f ff O h
++++++
H
He
er
re
e,
,
a
al
ll
l
d
de
er
ri
iv
va
at
ti
iv
ve
es
s
a
ar
re
e
e
ev
va
al
lu
ua
at
te
ed
d
a
at
t
(
(t
tn
n,
,
y
yn
n)
).
.
N
Ne
ex
xt
t,
,
w
we
e
s
sh
ha
al
ll
l
r
re
ew
wr
ri
it
te
e
t
th
he
e
g
gi
iv
ve
en
n
e
eq
qu
ua
at
ti
io
on
n
a
af
ft
te
er
r
i
in
ns
se
er
rt
ti
in
ng
g
t
th
he
e
e
ex
xp
pr
re
es
ss
si
io
on
ns
s
o
or
r
k
k1
1
a
an
nd
d
k
k2
2
a
as
s
11 2 1
(, ) ( , )
nn nn n n
yyWhftyWhfthyk
α
β
+=+ + + +
N
No
ow
w
u
us
si
in
ng
g
T
Ta
ay
yl
lo
or
r’
’s
s
s
se
er
ri
ie
es
s
e
ex
xp
pa
an
ns
si
io
on
n
o
of
f
t
tw
wo
o
v
va
ar
ri
ia
ab
bl
le
es
s,
,
w
we
e
o
ob
bt
ta
ai
in
n
docsity.com
