Riemann Integral: Calculating Upper and Lower Sums, Summaries of Energy Efficiency

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Sesión: Integral de Riemann

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

Contenido

1. Integral de Riemann.

Norma de la partición 𝒫

Se define partición de un intervalo 𝑎, 𝑏 , como el conjunto 𝒫 = 𝑥 0 , 𝑥 1 , ⋯ , 𝑥𝑛. donde 𝑎 = 𝑥 0 < 𝑥 1 < ⋯ < 𝑥𝑛= 𝑏. Se define la norma de la partición 𝓟 y se representa por 𝒫 : 𝒫 = max 𝑘= 1 , 2 ,⋯,𝑛

Partición del intervalo ( 1 )

Sea 𝑓: 𝑎, 𝑏 ⟶ ℝ, y sea 𝒫, una partición del intervalo definimos suma inferior de 𝑓 asociada a la partición 𝒫:

𝒌=𝟏 𝒏

𝑚𝑘 = 𝑚í𝑛 {𝑓 𝑥 ∶ 𝑥 ∈ [𝑥𝑘− 1 , 𝑥𝑘]}

¡Practiquemos!

Señala Verdadero o Falso, según corresponda. La Norma de la partición 𝒫 se representa por el símbolo ∥ 𝒫 ∥ Verdadero Falso

Fuente: Innovamath, 2020. Solución: Calcule el límite de la suma superior e inferior de la región delimitada por la gráfica de 𝑓 𝑥 = 𝑥^2 + 1 , 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 X, 𝑙𝑎𝑠 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑠 𝑥=0, 𝑥=2. Se divide el intervalo [0, 2] en n subintervalos, △𝑥= 𝑏−𝑎 𝑛

2 𝑛 𝑚𝑖 = 0 + ⅈ − 1

𝑚𝑖 = a + ⅈ − 1 △𝑥 Para la suma inferior: Suma Inferior 𝑠 𝒫 = ෍ i= 1 n f mi Δx= ෍ i= 1 n f

Ejercicio 1.

𝑀𝑖 = a + 𝑖 △𝑥 Para la suma superior: Suma superior 𝑆 𝒫 = ෍ i= 1 n f Mi Δx= ෍ i= 1 n f

i= 1 n 4 𝑖^2 𝑛^2

𝑛^3

𝑖= 1 𝑛 𝑖 2

𝑖= 1 𝑛 1 =

𝑛^3

14 𝑛^2 + 12𝑛 + 4

3𝑛^2

lⅈm 𝑛⟶∞ 𝑆 𝒫 = lⅈm 𝑛⟶∞

14 𝑛^2 + 12𝑛 + 4

3𝑛^2

Integral de Riemann

Sea 𝑦 = 𝑓(𝑥) una función continua en 𝑎, 𝑏. Si se divide en n subintervalos de igual longitud ∆𝑥 = 𝑏−𝑎 𝑛 , que da origen a una partición regular y si se elige un punto 𝑥𝑖 en cada uno de los n subintervalos. lⅈm 𝑛⟶∞

𝑖= 1 𝑛 𝑓 𝑥𝑖 ∆𝑥 El que se denota por න 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 Se llama Integral de Riemann o Integral definida de 𝑦 = 𝑓(𝑥) en 𝑎, 𝑏 , al siguiente límite cuando existe,

Referencias bibliográficas

Flaticon ( 2022 ) Imágenes. Recuperado de www.flaticon.com Freepik ( 2022 ) Imágenes. Recuperado de www.freepik.com Innovamath (2020). Sumas de Riemann. Recuperado de https://www.geogebra.org/m/tcmupscw Larson, R. y Edwards, B. ( 2016 ). Integración. En Larson, R. y Edwards, B. ( 10 a^ ed.), Cálculo (pp. 243 - 316 ). México: Cengage Learning. Purcell, E., Varberg, D. y Rigdon, R. ( 2007 ). La integral definida. En Purcell, E., Varberg, D. y Rigdon, R. ( 9 a^ ed.), Cálculo diferencial e integral (pp. 215 - 274 ). México: Pearson. Stewart, J. ( 2012 ). Integrales. En Stewart, J. ( 7 a^ ed.), Cálculo de una variable. Trascendentes tempranas (pp. 359 - 420 ). México: Cengage Learning.