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Resumen electromagnetismo 1, tomado de sears Zemansky
Typology: Summaries
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Semestre 2020-A Jhon Chiliquinga
Electromagnetismo Jhon Chiliquinga
En el caso de los elementos, la electronegatividad determina la disposición del mismo para recibir electrones (es decir, para cargarse positiva o negativamente).
En el caso de los cuerpos esta característica se resume en la serie triboeléctrica, en esta serie se sabe cuál adquiere más carga negativa o positiva. Al que esté más arriba en la serie adquiere carga positiva, y mientras más distancia entre material más se carga. I Propiedades de la carga eléctrica
1,602 ︸ ×︷︷ 10 −^19 C︸ e
Múltiplo entero de e
Donde e es la magnitud de carga que tienen el protón y el electrón.
Principio 1: –Principio de conservación de la carga– La suma algebraica de todas las cargas eléctricas en cualquier sistema ce- rrado es constante.
1.2 Distribución de la carga en diferentes cuerpos
En la realidad pocas veces se tiene cargas puntuales distribuidas en el espacio. Normalmente la carga está en una superficie o volumen.
Densidad de carga Símbolo Unidad Lineal λ C
m Superficial σ C
m^2 Volumétrica ρ C
m^3
Figura 1: Distribución lineal q = ∫ λ d`
Figura 2: Distribución su- perficial q = ∫ σ ds Figura 3:^ Distribución volu- métrica q =
∫ ρ dv
Ejemplo 1. ρ = 5 C/m^3 , λ = 2 x C/m y σ = 3 xy C/m^2.
Jhon Chiliquinga Electromagnetismo
1.2.1. Formas de cargar un objeto
aislante
tierra
Se tiene una esfera sobre un aislante perfecto
Se acerca un objeto cargado negativamente y la esfera se polariza
Se conecta la parte negativa a tierra
Se desconecta y se retira el objeto cargado y la esfera queda cargada
Tierra se define como un lugar con cantidad infinita de carga.
1.3 Ley de Coulomb
Usando una balanza de torsión, Coulomb dedujo la expresión de la fuerza entre objetos cargados
|q 1 q 2 | r^2 También se observó:
Jhon Chiliquinga Electromagnetismo
n
i= 1
~Fi = ~Fneta = ~R
Este principio también aplica a las componentes
Fx =
n
i= 1
Fi,x Fy =
n
i= 1
Fi,y
F x^2 + F y^2
La fuerza normal se genera debido a la fuerza electrostática al tener contac- to de un cuerpo con una superficie.
1.4 Conductores, aislantes y semiconductores
Los materiales se dividen en tres: conductores (principalmente metales), semi- conductores (usados en la electrónica), aislantes.
Dentro de los conductores los electrones se mueven fácilmente, en los semi- conductores con un poco de dificultad y en un aislante no son libres de moverse.
2.1 Origen del concepto de campo eléctrico
Empecemos con un razonamiento, se ubican 3 cargas en el espacio:
q 1
q 2
q 3
Además se supone que las 3 cargas son positivas. Calculando la fuerza total sobre q 3 se tiene:
~F = 1 4 πε o
q 1 q 3 r^2 1/
r ˆ1/3 + 1 4 πε o
q 2 q 3 r^2 2/
ˆr2/
Electromagnetismo Jhon Chiliquinga
Si se cambiara la magnitud de la carga 3 o su signo se tendría que calcular nue- vamente la fuerza, por lo tanto se quisiera definir una magnitud que no dependa de la carga en la que se calcula la fuerza. Notemos que
~F = q 3
4 πε o
q 1 r^2 1/
ˆr1/3 +
4 πε o
q 3 r^2 2/
ˆr2/
No depende de q 3 Si se tuvieran 4 cargas se podría llegar al mismo resultado, con 5 igual y así sucesivamente. Vemos que la magnitud señalada solo depende de las cargas antes puestas y el punto donde se encuentra la otra carga. Así, se define el Campo Electrostático como:
~E = 1 4 πε o
q r^2 ˆr (1)
A la ecuación (1) se la denomina forma coulombiana del campo eléctrico.
Si una carga se coloca en el espacio esta crea un campo eléctrico a su alrededor y una segunda carga colocada en este campo experimentará una reacción a este.
Debido a que en cada punto del espacio el campo tiene dirección y sentido es- tamos hablando de un campo vectorial.
El campo electrostático es un campo potencial cuya circulación es cero.
2.2 Otra forma de visualizar el campo eléctrico
Se sigue el siguiente procedimiento:
a) Se colocan dos cuerpos A y B cargados. Estos ejercen fuerzas eléctricas uno sobre el otro.
−~Fo^ ~Fo
qo
b) Quitamos B e indicamos su posición.
Electromagnetismo Jhon Chiliquinga
~Fo
~E (debido a Q)
qo
La fuerza apunta en dirección opuesta al campo eléctrico.
El campo está en la línea de acción de la fuerza.
2.3 Forma del campo
Recordando la forma del campo eléctrico (1), se ve que tiene la misma dirección del radio vector unitario, y su sentido depende del factor q, que es la carga de la partícula que genera el campo.
Dado que la carga es positiva, ~E tiene la misma dirección que el radio vector.
Dado que la carga es negativa, ~E tiene dirección contraria que el radio vector.
Una característica importante del campo eléctrico es que su magnitud cae con el cuadrado de la distancia. Además este "se aleja" de la carga positiva y "va" hacia la carga negativa.
De esto se pueden obtener unas afirmaciones importantes importantes:
Uniendo los dos items anteriores se puede afirmar que:
Jhon Chiliquinga Electromagnetismo
Las cargas eléctricas son fuentes y sumideros de campo electrostáti- co. Algo importante es que el principio de superposición se aplica para el cálculo de campo eléctrico. Además, para una distribución continua de carga se tiene:
~E = 1 4 πε o
∫ (^) dq r^2 rˆ
2.4 Líneas de campo eléctrico. Mapas de campo
Las líneas de campo son líneas imaginarias dibujadas de tal manera que la tan- gente a dicha línea coincida con la dirección del campo eléctrico.
La densidad de líneas nos muestra la intensidad.
Mapa de campo de un dipolo (carga eléctrica positiva y negativa). En el círculo verde hay poca densidad de líneas, entonces |~E| es menor, en el rojo tiene mayor densidad de líneas, entonces |~E| es mayor
2.5 Flujo de campo eléctrico y Ley de Gauss
Para determinar el flujo de campo eléctrico sobre cualquier superficie se la divide en pequeños segmentos de área ds y se los representa con un vector unitario normal a esa superficie ˆn, con esto se tiene un vector de área representado por ds^ ~ = ds nˆ. Finalmente, se calcula el producto escalar del vector de campo con el vector de área y se suma todos estos "miniflujos", que equivale a integrar sobre la superficie.
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q
n ˆ
n ˆ n ˆ
n ˆ
4 πε o
q r^2 ˆr Donde r es la distancia de la carga a la superficie. En este caso ˆr = nˆ. Entonces:
∮ S
~E · ds~ =
∮ S
~E · n dsˆ
∮ S
E ds =
∫ (^) π 0
∫ (^2) π 0
4 πε o
q r^2
sen( θ )r^2 d ϕ d θ
q 4 πε o 4 π = q ε o Como se ve no depende del área, ya que, si por ejemplo, la esfera aumenta su radio la expresión del flujo no cambia. Esto se da ya que el campo disminuye en 1
r^2 pero el área aumenta en^ r^2.
El flujo es independiente del área.
2.5.1. Flujo a través de una superficie no esférica
Un área muy pequeña de una superficie no esférica puede proyectarse en una pequeña porción de una esfera, así el flujo total que atraviesa la superficie es el de
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una esfera, y como se vio antes no depende del radio de esa esfera, entonces, para una superficie irregular cerrada cualquier, el flujo de campo es q
ε o.
Ley 2: –Ley de Gauss en su forma integral– El flujo eléctrico a través de una superficie cerrada viene dada por:
∮ ~E · ds~ = qenc ε o Donde:
De esto se puede concluir que hay tres situaciones en donde el flujo de campo eléctrico es igual a cero.
a) No hay ~E y no hay carga dentro de la superficie.
b) Cantidad de carga neta igual a cero dentro de la superficie. El flujo entrante cancela al saliente. c) Hay ~E y no hay carga dentro de la superficie. El flujo entrante cancela al saliente.
Usando manipulación algebraica se puede conseguir:
∮ ~E · ds~ = qenc ε o =
ε o
∫ Ω
ρ dV
Donde ρ es la distribución volumétrica de carga y Ω es el volumen encerrado por la superficie de integración. Por el teorema de la divergencia: ∮ ~E · ds~ =
∫ Ω
∇ · ~E dV
Con esto:
∫ Ω
∇ · ~E dV =
∫ Ω
ρ ε o dV
∇ · ~E = ρ ε o
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La ley de Gauss se puede usar de dos formas:
Ejercicio 1. Determinar el campo eléctrico a una distancia r del centro de una esfera de radio R, con r > R, con carga Q uniformemente distribuida en todo su volumen.
Solución. Escojamos un sistema de coordenadas centrado en el centro de la esfera, como la carga está uniformemente distribuida, el campo eléctrico que genere la esfera va a estar en dirección radial. Se escoge una superficie gaussiana esférica de radio r, concéntrica a la esfera cargada. Los unitarios de superficie van a estar también en dirección radial. De acuerdo a la ley de Gauss se tiene.
∮ ~E · ds~ = qenc ε o Como r > R, qenc = Q. Además, a lo largo de esta superficie gaussiana el campo eléctrico tiene la misma magnitud.
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∮ ~E · ~ds = Q ε o ∮ E ds = Q ε o E
∮ ds = Q ε o E 4 π r^2 =
ε o E =
4 πε or^2
4 πε or^2 rˆ
2.6 Trabajo realizado por el campo electrostático
El campo electrostático es conservativo, ∇ × ~E = 0.
∮ ~F · d~` =
∮ q~E · d~` = q
∫ ∇ × ~E · ds~ = 0
2.7 Campo eléctrico en un conductor
Dentro de un conductor cargado la carga es cero.
Supongamos una esfera conductora con exceso de carga positiva en el centro.
Un electrón siente un campo creado por la carga positiva, neutralizándola, pero dejando un exceso de carga detrás.