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AIDER EPN
RESUMEN • ELECTROMAGNETISMO
Semestre 2020-A Jhon Chiliquinga
- 1 Cargas eléctricas y ley de Coulomb 0. ÍNDICE
- 1.1 Cargas eléctricas
- 1.2 Distribución de la carga en diferentes cuerpos
- 1.2.1 Formas de cargar un objeto
- 1.3 Ley de Coulomb
- 1.4 Conductores, aislantes y semiconductores
- 2 Campo eléctrico
- 2.1 Origen del concepto de campo eléctrico
- 2.2 Otra forma de visualizar el campo eléctrico
- 2.3 Forma del campo
- 2.4 Líneas de campo eléctrico. Mapas de campo
- 2.5 Flujo de campo eléctrico y Ley de Gauss
- 2.5.1 Flujo a través de una superficie no esférica
- 2.5.2 Flujo de un campo eléctrico uniforme
- 2.6 Trabajo realizado por el campo electrostático
- 2.7 Campo eléctrico en un conductor
- 3 Energía del campo eléctrico en el vacío
- 3.1 Energía potencial eléctrica - plazamiento arbitrario 3.1.1 Deducción general de la energía potencial durante un des-
- 3.2 Energía potencial y fuerzas conservativas
- 3.3 Energía potencial de un sistema de cargas
- 4 Potencial Eléctrico
- 4.1 Superficies equipotenciales
- 4.1.1 Superficies equipotenciales en un dipolo
- 4.2 Ecuación de Poisson para el campo electrostático
- 5 Dipolo Eléctrico Jhon Chiliquinga Electromagnetismo
- 5.1 Campo eléctrico debido a un dipolo eléctrico
- 5.1.1 Potencial creado por un dipolo eléctrico
- 5.2 Fuerzas sobre un dipolo eléctrico en un campo eléctrico uniforme
- 6 Capacitancia
- 6.1 Capacitores
- 6.1.1 Capacitor de placas paralelas
- 6.1.2 Capacitor cilíndrico
- 6.1.3 Capacitor esférico
- 6.2 Capacitores en serie y en paralelo
- 6.2.1 Capacitores en serie
- 6.2.2 Capacitores en paralelo
- 6.3 Almacenamiento de energía en capacitores
- 6.4 Densidad de energía del campo eléctrico en el vacío
- 7 Dieléctricos y vector de polarización
- 7.1 Carga inducida y polarización
- 7.2 Constante dieléctrica
- 7.3 Ruptura del dieléctrico
- 7.4 Campo eléctrico en el dieléctrico
- 7.5 Desplazamiento de campo eléctrico
- 7.6 Relación entre ~E y ~P
- 7.7 Relación entre ~E y ~D
- 7.8 La permitividad eléctrica
- 8 Corriente eléctrica continua y resistencia
- 8.1 Corriente eléctrica
- 8.1.1 Transportadores de carga
- 8.2 Densidad de corriente eléctrica
- 8.3 Resistividad y ley de Ohm
- 8.3.1 Resistividad y temperatura
- 8.4 Resistencia
- 8.4.1 Relación corriente-voltaje
- 8.5 Corriente en un conductor aislado al que se aplica un campo eléctrico
- 9 Fuerza electromotriz (fem)
- 9.1 Fuentes de fem
- 9.2 Fem en un circuito abierto
- 9.3 Fem en un circuito cerrado
- 9.4 Fem no ideal Electromagnetismo Jhon Chiliquinga
- 9.5 Energía y potencia en circuitos
- 9.5.1 Potencia de salida de una fuente
- 9.5.2 Potencia de entrada a una fuente
- 10 Circuitos DC y leyes de Kirchhoff
- 10.1 Resistores en serie y en paralelo
- 10.1.1 Resistores en serie
- 10.1.2 Resistores en serie
- 10.2 Leyes de Kirchhoff
- 10.2.1 Regla de Kirchhoff de las uniones
- 10.2.2 Regla de Kirchhoff de las espiras
- 10.3 Convención de signo para la regla de las espiras
- 11 Circuitos RC - 11.0.1 Descarga de un capacitor
- tromagnéticos 12 Campo magnético y movimiento de partículas cargadas en campos elec-
- 12.1 Campo magnetostático en el vacío
- 12.2 Polos magnéticos contra carga eléctrica
- 12.3 Ley de Gauss del magnetismo
- 12.4 Fuerzas magnéticas sobre cargas móviles
- 12.4.1 Dirección de la fuerza magnética
- 12.5 Campo magnético
- 12.6 Flujo magnético
- 12.7 Movimiento de partículas en campos electromagnéticos
- 12.7.1 Movimiento de una carga en un campo eléctrico uniforme
- 12.7.2 Movimiento de una carga en un campo magnético uniforme
- 12.7.3 Movimiento de una carga en campos eléctricos y magnéticos
- 12.7.4 Selector de velocidades
- 12.7.5 Espectrómetro de masas
- tico 13 Fuerza magnética sobre una corriente, torque y momento dipolar magné-
- 13.1 Fuerza magnética sobre un conductor que transporta corriente
- 13.2 Conversión de energía eléctrica en mecánica
- 13.3 Momento dipolar magnético
- 13.4 Torque y energía potencial de los dipolos
- 14 Fuentes de campo magnético Jhon Chiliquinga Electromagnetismo
- 14.1 Campo magnético de una carga en movimiento
- 14.2 Líneas de campo magnético
- posición) 14.3 Campo magnético de un elemento de corriente (principio de super-
- 14.4 Fuerza entre dos protones que se mueve a velocidad constante
- 14.5 Campo magnético para diferentes configuraciones - porta corriente 14.5.1 Campo magnético creado por un alambre infinito que trans- - porta corriente 14.5.2 Campo magnético en el eje de una espira circular que trans-
- 14.5.3 Campo dentro de un solenoide
- 14.5.4 Dipolo magnético en un campo no uniforme
- 14.6 Fuerza entre dos alambres paralelos
- 14.7 Ley de Ampere
- 14.7.1 Circulación de campo magnético
- 14.7.2 Ejemplos
- 14.7.3 Campo magnético creado por un alambre cilíndrico infinito
- 14.7.4 Campo magnético creado por un solenoide
- 14.7.5 Campo magnético creado por un solenoide toroidal
- porta corriente 14.7.6 Campo magnético dentro y fuera de un alambre que trans-
- 15 Campo magnético en el medio
- 15.1 El átomo y sus electrones
- 15.1.1 Relación magnetomecánica
- 15.2 Ley de Ampère en el medio
- 15.2.1 Intensidad de campo magnético ~H
- 15.2.2 Relación entre la magnetización y el campo magnético
- 15.2.3 Relación entre ~B y ~H
- 15.2.4 Susceptibilidad magnética
- 15.3 Diamagnetismo
- 15.4 Paramagnetismo
- 15.4.1 El paramagnetismo y el mínimo de la energía
- 15.5 Ferromagnéticos
- 15.5.1 La curva de histéresis
- 15.6 Magnetización y la temperatura
- 15.7 Materiales según sus propiedades magnéticas
- 16 Campos eléctricos y magnéticos variables en el tiempo Electromagnetismo Jhon Chiliquinga
- 16.1 Signo de la fem
- 16.1.1 Ejemplos:
- 16.1.2 Inducción electromagnética
- 16.2 Campo eléctrico solenoidal
- 16.3 Corriente de desplazamiento
- 17 Inductancia
- 17.1 Autoinductancia
- 17.2 Inductancia mutua
- 17.3 Densidad de energía del campo magnético
- 17.4 Inductor
- 17.5 Inductores en serie y en paralelo
- 17.5.1 En serie
- 17.5.2 En paralelo
- 17.6 Circuitos RL
- 17.7 Características de circuitos RC y RL
- 17.8 Circuitos LC
- 17.9 Circuitos RLC
- 17.10Gráficas
- 17.10.1 Subamortiguado
- 17.10.2 Críticamente amortiguado
- 17.10.3 Sobre amortiguado
Electromagnetismo Jhon Chiliquinga
En el caso de los elementos, la electronegatividad determina la disposición del mismo para recibir electrones (es decir, para cargarse positiva o negativamente).
En el caso de los cuerpos esta característica se resume en la serie triboeléctrica, en esta serie se sabe cuál adquiere más carga negativa o positiva. Al que esté más arriba en la serie adquiere carga positiva, y mientras más distancia entre material más se carga. I Propiedades de la carga eléctrica
- Se cuantiza.- La carga siempre es encontrada como un múltiplo de:
1,602 ︸ ×︷︷ 10 −^19 C︸ e
Múltiplo entero de e
Donde e es la magnitud de carga que tienen el protón y el electrón.
- Se conserva.- Se puede asumir como postulado o ley.
Principio 1: –Principio de conservación de la carga– La suma algebraica de todas las cargas eléctricas en cualquier sistema ce- rrado es constante.
1.2 Distribución de la carga en diferentes cuerpos
En la realidad pocas veces se tiene cargas puntuales distribuidas en el espacio. Normalmente la carga está en una superficie o volumen.
Densidad de carga Símbolo Unidad Lineal λ C
m Superficial σ C
m^2 Volumétrica ρ C
m^3
Figura 1: Distribución lineal q = ∫ λ d`
Figura 2: Distribución su- perficial q = ∫ σ ds Figura 3:^ Distribución volu- métrica q =
∫ ρ dv
Ejemplo 1. ρ = 5 C/m^3 , λ = 2 x C/m y σ = 3 xy C/m^2.
Jhon Chiliquinga Electromagnetismo
1.2.1. Formas de cargar un objeto
- Frotamiento: - Rozamiento - Choque
- Contacto: tocar un objeto cargado con otro no cargado.
- Inducción: No existe contacto entre el objeto cargado y el objeto que quere- mos cargar.
aislante
tierra
Se tiene una esfera sobre un aislante perfecto
Se acerca un objeto cargado negativamente y la esfera se polariza
Se conecta la parte negativa a tierra
Se desconecta y se retira el objeto cargado y la esfera queda cargada
Tierra se define como un lugar con cantidad infinita de carga.
1.3 Ley de Coulomb
Usando una balanza de torsión, Coulomb dedujo la expresión de la fuerza entre objetos cargados
|F| ∼
|q 1 q 2 | r^2 También se observó:
Jhon Chiliquinga Electromagnetismo
n
i= 1
~Fi = ~Fneta = ~R
Este principio también aplica a las componentes
Fx =
n
i= 1
Fi,x Fy =
n
i= 1
Fi,y
|~F| =
F x^2 + F y^2
La fuerza normal se genera debido a la fuerza electrostática al tener contac- to de un cuerpo con una superficie.
1.4 Conductores, aislantes y semiconductores
Los materiales se dividen en tres: conductores (principalmente metales), semi- conductores (usados en la electrónica), aislantes.
Dentro de los conductores los electrones se mueven fácilmente, en los semi- conductores con un poco de dificultad y en un aislante no son libres de moverse.
2. CAMPO ELÉCTRICO
2.1 Origen del concepto de campo eléctrico
Empecemos con un razonamiento, se ubican 3 cargas en el espacio:
q 1
q 2
q 3
Además se supone que las 3 cargas son positivas. Calculando la fuerza total sobre q 3 se tiene:
~F = 1 4 πε o
q 1 q 3 r^2 1/
r ˆ1/3 + 1 4 πε o
q 2 q 3 r^2 2/
ˆr2/
Electromagnetismo Jhon Chiliquinga
Si se cambiara la magnitud de la carga 3 o su signo se tendría que calcular nue- vamente la fuerza, por lo tanto se quisiera definir una magnitud que no dependa de la carga en la que se calcula la fuerza. Notemos que
~F = q 3
4 πε o
q 1 r^2 1/
ˆr1/3 +
4 πε o
q 3 r^2 2/
ˆr2/
No depende de q 3 Si se tuvieran 4 cargas se podría llegar al mismo resultado, con 5 igual y así sucesivamente. Vemos que la magnitud señalada solo depende de las cargas antes puestas y el punto donde se encuentra la otra carga. Así, se define el Campo Electrostático como:
~E = 1 4 πε o
q r^2 ˆr (1)
A la ecuación (1) se la denomina forma coulombiana del campo eléctrico.
Si una carga se coloca en el espacio esta crea un campo eléctrico a su alrededor y una segunda carga colocada en este campo experimentará una reacción a este.
Debido a que en cada punto del espacio el campo tiene dirección y sentido es- tamos hablando de un campo vectorial.
El campo electrostático es un campo potencial cuya circulación es cero.
2.2 Otra forma de visualizar el campo eléctrico
Se sigue el siguiente procedimiento:
a) Se colocan dos cuerpos A y B cargados. Estos ejercen fuerzas eléctricas uno sobre el otro.
−~Fo^ ~Fo
A B
qo
b) Quitamos B e indicamos su posición.
Electromagnetismo Jhon Chiliquinga
~Fo
~E (debido a Q)
Q
qo
La fuerza apunta en dirección opuesta al campo eléctrico.
El campo está en la línea de acción de la fuerza.
2.3 Forma del campo
Recordando la forma del campo eléctrico (1), se ve que tiene la misma dirección del radio vector unitario, y su sentido depende del factor q, que es la carga de la partícula que genera el campo.
Dado que la carga es positiva, ~E tiene la misma dirección que el radio vector.
Dado que la carga es negativa, ~E tiene dirección contraria que el radio vector.
Una característica importante del campo eléctrico es que su magnitud cae con el cuadrado de la distancia. Además este "se aleja" de la carga positiva y "va" hacia la carga negativa.
De esto se pueden obtener unas afirmaciones importantes importantes:
- El campo eléctrico diverge de cargas positivas, se dice que las cargas positi- vas son fuentes de campo eléctrico.
- EL campo eléctrico converge a las cargas negativas, se dice que las cargas negativas son sumideros de campo eléctrico.
Uniendo los dos items anteriores se puede afirmar que:
Jhon Chiliquinga Electromagnetismo
Las cargas eléctricas son fuentes y sumideros de campo electrostáti- co. Algo importante es que el principio de superposición se aplica para el cálculo de campo eléctrico. Además, para una distribución continua de carga se tiene:
~E = 1 4 πε o
∫ (^) dq r^2 rˆ
2.4 Líneas de campo eléctrico. Mapas de campo
Las líneas de campo son líneas imaginarias dibujadas de tal manera que la tan- gente a dicha línea coincida con la dirección del campo eléctrico.
La densidad de líneas nos muestra la intensidad.
E~
Mapa de campo de un dipolo (carga eléctrica positiva y negativa). En el círculo verde hay poca densidad de líneas, entonces |~E| es menor, en el rojo tiene mayor densidad de líneas, entonces |~E| es mayor
2.5 Flujo de campo eléctrico y Ley de Gauss
Para determinar el flujo de campo eléctrico sobre cualquier superficie se la divide en pequeños segmentos de área ds y se los representa con un vector unitario normal a esa superficie ˆn, con esto se tiene un vector de área representado por ds^ ~ = ds nˆ. Finalmente, se calcula el producto escalar del vector de campo con el vector de área y se suma todos estos "miniflujos", que equivale a integrar sobre la superficie.
Jhon Chiliquinga Electromagnetismo
q
n ˆ
n ˆ n ˆ
n ˆ
~E
~E = 1
4 πε o
q r^2 ˆr Donde r es la distancia de la carga a la superficie. En este caso ˆr = nˆ. Entonces:
∮ S
~E · ds~ =
∮ S
~E · n dsˆ
∮ S
E ds =
∫ (^) π 0
∫ (^2) π 0
4 πε o
q r^2
sen( θ )r^2 d ϕ d θ
q 4 πε o 4 π = q ε o Como se ve no depende del área, ya que, si por ejemplo, la esfera aumenta su radio la expresión del flujo no cambia. Esto se da ya que el campo disminuye en 1
r^2 pero el área aumenta en^ r^2.
El flujo es independiente del área.
2.5.1. Flujo a través de una superficie no esférica
Un área muy pequeña de una superficie no esférica puede proyectarse en una pequeña porción de una esfera, así el flujo total que atraviesa la superficie es el de
Electromagnetismo Jhon Chiliquinga
una esfera, y como se vio antes no depende del radio de esa esfera, entonces, para una superficie irregular cerrada cualquier, el flujo de campo es q
ε o.
Ley 2: –Ley de Gauss en su forma integral– El flujo eléctrico a través de una superficie cerrada viene dada por:
∮ ~E · ds~ = qenc ε o Donde:
- qenc: carga total dentro de la superficie.
De esto se puede concluir que hay tres situaciones en donde el flujo de campo eléctrico es igual a cero.
a) No hay ~E y no hay carga dentro de la superficie.
b) Cantidad de carga neta igual a cero dentro de la superficie. El flujo entrante cancela al saliente. c) Hay ~E y no hay carga dentro de la superficie. El flujo entrante cancela al saliente.
Usando manipulación algebraica se puede conseguir:
∮ ~E · ds~ = qenc ε o =
ε o
∫ Ω
ρ dV
Donde ρ es la distribución volumétrica de carga y Ω es el volumen encerrado por la superficie de integración. Por el teorema de la divergencia: ∮ ~E · ds~ =
∫ Ω
∇ · ~E dV
Con esto:
∫ Ω
∇ · ~E dV =
∫ Ω
ρ ε o dV
∇ · ~E = ρ ε o
Electromagnetismo Jhon Chiliquinga
La ley de Gauss se puede usar de dos formas:
- Si se conoce el campo y el área, para determinar la carga dentro de ese cam- po.
- Si se conoce la carga y existe algún tipo de simetría, para determinar el cam- po.
Ejercicio 1. Determinar el campo eléctrico a una distancia r del centro de una esfera de radio R, con r > R, con carga Q uniformemente distribuida en todo su volumen.
Solución. Escojamos un sistema de coordenadas centrado en el centro de la esfera, como la carga está uniformemente distribuida, el campo eléctrico que genere la esfera va a estar en dirección radial. Se escoge una superficie gaussiana esférica de radio r, concéntrica a la esfera cargada. Los unitarios de superficie van a estar también en dirección radial. De acuerdo a la ley de Gauss se tiene.
∮ ~E · ds~ = qenc ε o Como r > R, qenc = Q. Además, a lo largo de esta superficie gaussiana el campo eléctrico tiene la misma magnitud.
Jhon Chiliquinga Electromagnetismo
∮ ~E · ~ds = Q ε o ∮ E ds = Q ε o E
∮ ds = Q ε o E 4 π r^2 =
Q
ε o E =
Q
4 πε or^2
∴ ~E =
Q
4 πε or^2 rˆ
2.6 Trabajo realizado por el campo electrostático
El campo electrostático es conservativo, ∇ × ~E = 0.
W =
∮ ~F · d~` =
∮ q~E · d~` = q
∫ ∇ × ~E · ds~ = 0
2.7 Campo eléctrico en un conductor
Dentro de un conductor cargado la carga es cero.
Supongamos una esfera conductora con exceso de carga positiva en el centro.
Un electrón siente un campo creado por la carga positiva, neutralizándola, pero dejando un exceso de carga detrás.
