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Facultad de Ciencias Médicas
Unidad Didáctica de Física
MATEMÁTICA BÁSICA
1. ARITMÉTICA
1.1 Definición de aritmética
La aritmética es la rama de las matemáticas que estudia los números y las distintas operaciones en los que se utilizan.
1.2 Tipos de números
1.2.1 Enteros Números que al dividir entre tienen residuo igual a cero. Pueden ser negativos, positivos o cero.
- Ejemplo: 25; 2,500; -785; -340; 0
1.2.2 Fracciones Números que son la representación de una división. Se componen de numerador y denominador.
1.2.3 Decimales Números que expresan el resultado de una división con residuo distinto de cero. Pueden ser finitos o continuos.
- Ejemplo: 0.25; 0.375; 2.5;
1.3 Regla de signos Al realizar operaciones es necesario considerar los signos positivo y negativo de cada término. Se siguen las siguientes reglas:
1.3.1 Suma y resta Cuando se opera dos términos con el mismo signo se suman los valores y se mantiene el signo. o o Cuando se operan dos términos con signos distintos se restan los valores y se mantiene el signo del valor más alto. o o
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1.3.2 Multiplicación y división Cuando se operan dos términos con signos iguales, el resultado tiene un signo positivo. Cuando se operan dos términos con signos distintos, el resultado tiene un signo negativo. o o
1.4 Operaciones con precedencia de signos y signos de agrupación En una expresión matemática se tiene una jerarquía para realizar las operaciones
o Se realiza operaciones dentro de paréntesis o signos de agrupación, operaciones en exponentes o dentro de un radical se consideran agrupaciones de términos. o Se operan potencias y radicales. o Se operan multiplicaciones y divisiones o Se operan sumas y restas
Cuando se tienen operaciones con la misma jerarquía, se realizan de izquierda a derecha.
Ejemplo #1:
Ejemplo #2:
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2.4.1 Teoremas de potencias 2.4.1.1 Potencia con exponente uno : un número elevado a un exponente igual a uno es el mismo número base.
2.4.1.2 Potencia con exponente cero : un número elevado a un exponente igual a cero es igual a uno.
2.4.1.3 Potencia con exponente negativo : un número elevado a un exponente negativo es igual al reciproco del número elevado al exponente positivo.
2.4.1.4 Potencia de una multiplicación o división : una multiplicación o división elevada a una potencia tiene como resultado cada término de la operación elevado a la potencia.
2.4.2 Operaciones con potencias 2.4.2.1 Multiplicación de potencias Se tienen dos términos y , al multiplicarlos se tiene lo siguiente.
Al multiplicar dos términos con la misma variable y distinto exponente, los exponentes se suman.
Ejemplo o o o
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2.4.2.2 División de potencias Se tienen dos términos y , al dividirlos se tiene lo siguiente.
Al dividir dos términos con la misma variable y distinto exponente, los exponentes de los términos se restan.
Ejemplos
o
o
2.4.3 Potencia de una potencia Se tiene un término el cuál se eleva a una potencia “m” se tiene lo siguiente.
Al elevar a una potencia un término con exponente, el exponente se “n” se multiplica por la potencia “m”
Ejemplos o o
2.4.4 Notación científica Utiliza potencias base 10. Permite expresar números muy grandes o pequeños de forma simple. Se utiliza para expresar las cifras significativas de un número muy grande o pequeño. Simplifica los cálculos de multiplicación y división de números muy grandes o pequeños.
2.5 Logaritmos
- Es la operación inversa de una potencia, considerando que una potencia se expresa de la siguiente forma
- El logaritmo se expresa de la siguiente forma, donde representa la base del logaritmo, y representa el exponente y se denomina logaritmo de x con base.
- Cuando la base del logaritmo es 10, se conoce como logaritmo común o decimal
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2.7 Factorización 2.7.1 Definición Proceso inverso de multiplicar términos algebraicos. Una expresión factorizada se indica como el producto de dos o más expresiones.
2.7.2 Factorización de un término Un solo término se descompone en sus distintos factores
Ejemplo
2.7.3 Factor común monomio En un polinomio, todos los términos poseen el mismo factor en común Ejemplos o o
2.7.4 Factorización por diferencia de cuadrados Un binomio se considera diferencia de cuadrados al cumplir las siguientes condiciones o Está compuesto por dos términos, ambos cuadrados de otro término. o Uno de los dos términos posee signo negativo y el otro posee signo positivo. Se factoriza de la siguiente forma
Ejemplos o o o
2.7.5 Factorización por trinomio cuadrado perfecto El cuadrado de un binomio se conoce como trinomio cuadrado perfecto, cumple las siguientes características o Dos de los términos representan un cuadrado: y o Los términos y no pueden ser negativos. o El tercer término es el resultado multiplicar dos veces el resultado de A y B, 2AB o -2AB.
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- Las expresiones de un trinomio cuadrado perfecto son las siguientes
- Ejemplos
2.7.6 Factorización de la forma Se estructura de la forma donde D y E son dos números que sumados son iguales a B y multiplicados son iguales a C. Ejemplo
2.7.7 Factorización de la forma Se debe de encontrar los binomios ( _ X + _ )( _ X + _ ) que cumplan las siguientes condiciones.
o El producto de los números del primer término de cada binomio da como resultado el término A. o El producto de los números del segundo término de cada binomio da como resultado el término C. o La suma de los productos de los números externos e internos da como resultado el término B. Ejemplos
2.8 Sistemas de ecuaciones 2.8.1 Definición de ecuación lineal
- Es una ecuación compuesta por una o más variables.
- Todas sus variables tienen un exponente igual a uno.
- Los términos de la ecuación están compuestos únicamente por una variable.
Ejemplo
Donde en este caso m representa una constante que es la pendiente de la recta y b representa el punto donde la recta pasa en el eje y.
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Al restar la segunda ecuación de la primera se obtiene
Ejemplo #
Se multiplica por 3 la primera ecuación
Al sumarlo a la segunda ecuación se obtiene
Se multiplica por 2 la segunda ecuación
Al restarla a la primera ecuación se obtiene
2.8.5 Ecuaciones de 2 incógnitas por método de sustitución
- Se tiene dos ecuaciones lineales con 2 incógnitas.
- En una primera ecuación se despeja una incógnita, en función de la segunda incógnita.
- El resultado de la incógnita despejada se sustituye en la segunda ecuación para convertirla en una ecuación lineal de una incógnita.
o Ejemplo
Se despeja y en la segunda ecuación
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Se sustituye y en la primera ecuación
Se resuelve para x
Se resuelve para y
2.8.6 Ecuaciones cuadráticas
- Las ecuaciones cuadráticas que se analizarán son ecuaciones de segundo grado con una variable.
- Se pueden analizar por medio de factorización o de la formula cuadrática.
- Puede haber expresiones de las siguientes formas
2.8.7 Fórmula cuadrática Otro método para resolver ecuaciones cuadráticas es hacer uso de la ecuación cuadrática. Donde solamente se sustituyen los valores A, B y C para obtener los valores que puede tener X.
Donde X puede tomar 2 valores diferentes al sumar y restar el resultado del término del radical.
