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Typology: Exams
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Para início de conversa...
É a altura entre os dois andares.
Você conhece alguém que já passou por esse problema? Será que Bruno
tem, de fato, a informação de que precisa para solucionar o problema? Saber que
a inclinação ideal para uma escada interna é de 30º e que o pé-direito da casa é
de 270 cm, é suficiente para calcular o comprimento da escada?
Nesta unidade, você aprenderá a utilizar o triângulo retângulo para resolver problemas do cotidiano, trabalhar com as razões trigonométricas no triângulo retângulo e utilizará os teoremas do seno e cosseno em situações diversas.
Objetivos de aprendizagem
Utilizar as razões trigonométricas para calcular o valor do seno, cosseno e tangente dos ângulos de 30°, 45° e 60°
Resolver problemas do cotidiano, envolvendo as razões trigonométricas. Utilizar os teoremas do seno e do cosseno, para resolver problemas variados.
Agora veja a definição a seguir:
Um triângulo que possui um ângulo de 90º (reto) é chamado de Triângulo Retângulo.
Triângulos retângulos são figuras geométricas muito mais comuns no nosso dia a dia do que imaginamos. Eles estão presentes nas mais diferentes situações. A figura abaixo mostra algumas delas. Será que algum dos objetos mostrados é igual a um dos triângulos que você encontrou?
Figura 2: Alguns exemplos de objetos que possuem o formato ou que nos permitem enxergar triângulos retângulos. Você não acha que esses triângulos são muito mais comuns do que você imaginava?
Além de estarem presentes em nossas casas, nosso trabalho, em ambientes fechados e abertos, triângulos retângulos podem nos ajudar a resolver problemas importantes para nossa vida diária, tais como o do pedreiro Bruno.
Mas de que forma isso poderia acontecer?
Observe a imagem a seguir. Na primeira figura, um homem irá apoiar uma escada de madeira em uma parede. A figura ao lado, mostra como a escada fica. Você nota a presença de alguma figura geométrica?
Você consegue observar a mesma figura nesta imagem?
E nesta representação de uma escada rolante? Ficou mais difícil?
Se prestarmos atenção aos triângulos retângulos, verificaremos que os ângulos de 30º, 45º e 60º são muito comuns.
Figura 3: Um guardanapo de pano, dobrado em quatro partes, determina um triângulo retângulo, contendo o ângulo de 45º. Da mesma forma, o origami exibe alguns triângulos. Em destaque, um triângulo retângulo com os ângulos de 30º e 60º.
O lado oposto ao ângulo de 30º mede _____________. Já o lado adjacente a este mesmo ângulo mede _____________. Não confunda com o lado oposto ao ângulo de 90º que mede _______________.
Agora, calcule a razão (quociente) entre a medida do lado oposto ao ângulo de 30º e o oposto ao ângulo de 90º. lado oposto ao ângulo de 30° = lado oposto ao ângulo de 90°
b.
O lado oposto ao ângulo de 30º mede ___ ____. Já o lado adjacente a este mesmo ângulo mede _____. Não confunda com o lado oposto ao ângulo de 90º que mede _____.
Agora, calcule a razão (quociente) entre a medida do lado oposto ao ângulo de 30º e o oposto ao ângulo de 90º.
Com essa atividade, percebemos que a razão (quociente) entre o lado do triângulo oposto ao ângulo de 30º e o oposto ao de 90º tem sempre o mesmo valor. Esse valor é ______________.
Observe a figura:
Você sabia que nos triângulos retângulos, o lado que se opõe ao ângulo de 90º (ângulo reto) é chamado de Hipo-
tenusa e os demais lados são chamados de Cateto? Como há dois catetos no triângulo, um deles estará em uma posição
oposta ao ângulo agudo x e, por isso, será chamado de cateto oposto e o outro será o cateto adjacente (vizinho) ao ângulo.
Figura 5: Representações de triângulos retângulos, seus catetos e a hipotenusa. Utilizamos nas duas figuras o ângulo de 30º, mas os nomes dos lados são usados em quaisquer triângulos retângulos.
Figura 6: Triângulo retângulo, a hipotenusa e os catetos. O ângulo de 30º foi substituído pelo ângulo x que representa qual- quer medida de ângulo.
Pessoal, acho que agora já temos todas as informações necessárias para auxiliar nosso amigo Bruno. Naquela ocasião, vimos que a escada deveria ter uma inclinação de 30º em relação ao solo e que o pé direito da casa (a altura entre os andares da casa) era de 270 cm. Sendo assim, temos a seguinte figura:
Figura 7: A escada a ser construída por Bruno, o pedreiro. Nesta figura, vemos um triângulo retângulo com o ângulo de 30º indicado, além do cateto oposto a ele com 270 cm de comprimento.
Agora, é sua vez! Resolva os problemas a seguir, utilizando os conhecimentos que adquirimos até agora.
Um avião levanta voo sob um ângulo de 30º. Depois de percorrer 10 km, a que altura se encontra este avião?
Uma escada de 8 metros de comprimento está apoiada em um ponto de uma pare- de a 4 metros de altura. Qual das opções abaixo traz o ângulo de inclinação da escada em relação à parede?
( a ) 30º
( b ) 45º
( c ) 60º
( d ) 90º
Muito bem! Estamos cada vez melhores!
Mas uma curiosidade está aparecendo agora: será que existem outras razões nesses triângulos retângulos?
Por exemplo, a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa? Ou a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente?
Vamos dar uma olhadinha nosso? Observe os triângulos abaixo e faça a atividade a seguir:
Nesta figura, o cateto oposto ao ângulo de 30º mede ____________. O cateto adjacente a este ângulo mede ____________ e a hipotenusa mede _____________.
A razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa pode ser representada através da fração _________________.
A razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente ao ângulo de 30º pode ser representado através da fração ___________________.
Ora, ora... Pelo que estamos percebendo, esses valores também são recorrentes. E será que essas razões tam-
bém possuem um nome especial? É claro que sim!
A razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa chama-se COSSENO. Já a razão entre o cateto oposto e o cateto
adjacente chama-se TANGENTE.
Isto é:
seno seno do ângulo x = cateto oposto hipotenusa
cosseno do ângulo x = cateto adjacente hipotenusa
tangente do ângulo x = cateto oposto cateto adjacente
Além disso, assim como ocorre com o seno, os ângulos de 45º e 60º também possuem seus valores específicos. Veja no quadro a seguir:
1 2
2 2
3 2
2
Tabela 2: Aqui são mostrados os valores de seno, cosseno e tangente. Esses valores são muito importantes. Tenha muita atenção!
Clique neste link para assistir a um vídeo que mostra a demonstração matemática dos valores de seno, cosseno e tangente dos ângulos de 30º, 45º e 60º. Vale a pena conferir! http://www.youtube.com/watch?v=AllG-nig6qQ
Agora, vamos ver como podemos utilizar esses valores e o que aprendemos até agora para resolvermos as mais diversas atividades.
Observe o triângulo abaixo e indique os valores do seno, cosseno e tangente dos ângulos abaixo:
Seno de x = Seno de y = Cosseno de x = Cosseno de y = Tangente de x = Tangente de y =
A figura a seguir possui duas medidas desconhecidas. Utilize as razões trigonométri-ões trigonométri-es trigonométri- cas (seno, cosseno e tangente) para determiná-las.
Muito bem, pessoal. Verifiquem as respostas no final desta unidade.
Pelo visto, este assunto já está na ponta da língua. Mas se ainda não estiver, a sugestão é procurar fazer os exercícios da seção “O que perguntam por aí?”.
Surge, agora, mais uma curiosidade: essas razões trigonométricas só podem ser usadas em triângulos retân- gulos? Seria muito interessante, se conseguíssemos trabalhar com a trigonometria em outros tipos de triângulos, não acham? Então, vamos seguir para a próxima seção onde falaremos exatamente deste assunto.
Seção 2
A Lei dos Senos e a Lei dos Cossenos
Até agora, vimos como lidar com as razões trigonométricas em um triângulo retângulo. Mas será que só po- demos trabalhar com a Trigonometria em triângulos deste tipo? Afinal, nem sempre estaremos diante de triângulos retângulos. Sendo assim, como faremos? Observe a situação a seguir:
Dona Clotilde quer vender o seu terreno, mas para isso, quero saber qual a sua área, pois isso influenciará dire- tamente no preço que cobrará por ele. Vejamos o terreno de Dona Clotilde.
Figura 8: Terreno de Dona Clotilde em forma de um quadrilátero irregular. Podemos visualizar um ângulo reto e outro ângulo de 60º.
Para resolver o problema, Dona Clotilde dividiu seu terreno em duas partes. Vamos observar na figura a seguir
que a área 1 é um triângulo retângulo e que, por isso, sua área pode ser calculada, multiplicando-se um cateto pelo
outro e dividindo-se por 2. Assim:
Figura 9: O terreno está dividido em duas áreas. Uma delas é um triângulo retângulo e o outro é um triângulo qualquer.
Cálculo da área 1:
20.15 (^) = 300 =150m 2 2 2 Para o cálculo da área 2, Dona Clotilde utilizou uma fórmula um pouco diferente. Nesta fórmula, levamos em
consideração dois lados do triângulo e o ângulo formado por eles. Ou seja, Área = ½ (b.c.sen Â). Com isso, bastou mul-
tiplicar 30 por 18 e pelo seno de 60º e, em seguida, dividir por 2 para obter a área 2 no valor aproximado de 234m².
Totalizando, portanto, uma área de 150 + 234 = 384m².
A fórmula utilizada para resolver o problema de Dona Clotilde permite-nos calcular a área de um triângulo
qualquer. Além disso, podemos utilizar qualquer um dos três ângulos para isso, desde que usemos os lados corres-ângulos para isso, desde que usemos os lados corres-s para isso, desde que usemos os lados corres-
pondentes do triângulo e o resultado será o mesmo! Vejamos:
Com o teodolito, calculou o ângulo CÂB = 75º e C A = 60º.
Utilize a Lei dos Senos para calcular a medida aproximada da ponte AC. (Considere 2 =1, 4 e 3 =1,7 (^) )
Que tal construirmos um Teodolito? Assim, poderemos entender melhor seu funcionamento, além de aprender mais sobre Trigonometria numa exepriência bem divertida. Acesse o site e assista ao vídeo explicativo. http://www.youtube.com/watch?v=jivQJZlbCBY
Outra importante relação da Trigonometria é a Lei dos Cossenos. Essa lei relaciona os três lados de um triângulo
e apenas um único ângulo.
Vamos tentar entender como ele funciona?
Se estivermos diante de um triângulo retângulo, poderemos utilizar o Teorema de Pitágoras para a relação
entre os seus lados.
Figura 13: O triângulo retângulo, seus lados e o Teorema de Pitágoras
Porém, se o ângulo reto der lugar a um ângulo agudo, certamente a hipotenusa sofrerá uma redução e, a partir desse momento, o Teorema de Pitágoras não funcionará mais. Diante disso, precisaremos fazer uma pequena “corre- ção” no Teorema de Pitágoras, ajustando-o para que possamos relacionar os lados corretamente.
Esse ajuste leva em consideração o ângulo que ficou no lugar do ângulo reto. Da seguinte forma:
Figura 14: O ângulo reto foi reduzido a um ângulo agudo e o lado a também diminuiu de tamanho, tornando-se o lado x.
A relação que podemos criar entre os lados é:
x 2 = b + c^2 2 - 2.b.c.cosÂ
Podemos notar que a expressão “x^2 = b + c^2 2 - 2.b.c.cosÂ^ ” é o fator de correção que havíamos comentado anteriormente. Essa relação recebe o nome de Lei dos Cossenos.
Você quer saber como fizemos para deduzir esta fórmula? Acesse o link a seguir para entender como chegamos a essa relação. Nele, você vai encontrar um vídeo com todo o passo a passo. Veja! http://www.youtube.com/watch?v=3gUhDWlqOB
Atividade 10
