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Proyecto cálculo vectorial Ventana de viviani, Essays (university) of Computer Science

Proyecto final de cálculo vectorial, acerca de ventana de viviani

Typology: Essays (university)

2023/2024

Uploaded on 06/23/2025

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ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL
LITORAL
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS NATURALES Y
MATEMÁTICAS
CALCULO DE VARIAS VARIABLES
Título del proyecto:
CONSTRUCCIÓN Y PARAMETRIZACIÓN DE UNA
VENTANA DE VIVIANI
Integrantes:
Karen Solano
Marcelo Muñoz
Mileny Párraga
Jostin Murillo
Ricardo Ávila
Docente: Ing. Carola Pinos
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ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL

LITORAL

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS NATURALES Y

MATEMÁTICAS

CALCULO DE VARIAS VARIABLES

Título del proyecto:

CONSTRUCCIÓN Y PARAMETRIZACIÓN DE UNA

VENTANA DE VIVIANI

Integrantes:

Karen Solano

Marcelo Muñoz

Mileny Párraga

Jostin Murillo

Ricardo Ávila

Docente: Ing. Carola Pinos

b

  • 1 Introducción Contenido
  • 2 Descripción del problema......................................................................................................
  • 3 Metodología
  • 4 Marco teórico
    • 4.1 Origen
    • 4.2 Parametrización
    • 4.3 Aplicación
  • 5 Cálculos
  • 6 Conclusiones
  • 7 Bibliografía
  • 8 Anexo

1 Introducción

Actualmente existe cierta problemática en el ámbito de la arquitectura

relacionada con la ingeniería, de hecho, muchas de las construcciones que

podemos apreciar en el mundo actual tienen una base firme en los

fundamentos y conocimientos derivados del cálculo, ejemplo de esto son las

edificaciones que presentan una perfección o simetría que hacen difícil de

creer que haya sido realizado en tiempos tan antiguos o incluso cercanos a la

actualidad, obras hechas por el hombre que pueden gozar de perfección en la

realización de las mismas.

La intención de este proyecto es mostrar la utilidad de los conocimientos

adquiridos en la materia de Cálculos de Varias Variables, esto a través del

análisis de espacios tridimensionales, geometría y aplicaciones de los

teoremas y operaciones conjuntas a conocimientos previos de dicha materia

para encontrar la manera de solventar un problema que puede darse en el

mundo moderno, como lo es la aplicación de la “Curvatura de Viviani”.

El proyecto muestra de manera didáctica, la visualización de cada corte

entre la esfera de 15 cm de radio y el cilindro de 7.5 cm de radio, la curva que

se forma en dicha intersección es llamada “Curvatura de Viviani”. La misma

que se introdujo como un problema de arquitectura poco después para la

creación de maravillosas estructuras y centros recreativos para el público en

general.

De hecho este tipo de problemas se pueden resolver mediante la

integración, sin embargo esto ocasiona una gran pérdida de tiempo ya que es

una forma generalizada que no aprovecha ninguna de las ventajas posibles

para simplificar el camino a recorrer, es en estos casos cuando brillan

opciones como la “Curvatura de Viviani” ya que mediante parametrizaciones

clásicas los mismos resultados que se obtendrían por el método convencional

son capaces de lograrse de manera casi inmediata, teniendo en cuenta que las

mismas no ocasionen ninguna restricción que compliquen de alguna forma su

uso.

2 Descripción del problema

Construcción y parametrización de una Ventana de Viviani, generada a

partir de una esfera de radio 15 cm. Luego, determinar el perímetro

experimental de la ventana con una cinta métrica.

Figure 1 - 2 / Intercepcion de superficies Figure 1 - 1 /Curva en 3R

4 Marco teórico

4.1 Origen

Vincenzo Viviani fue un personaje muy brillante que realizó aportes a la

física y matemáticas. Fue compañero y discípulo de Galileo Galilei y quien

posteriormente escribió la primera biografía sobre él.

En geometría propuso y resolvió el siguiente enigma: “En la antigua

Grecia, el templo dedicado a la Geometría estaba coronado por una bóveda

semiesférica, ¿cómo pueden abrirse cuatro ventanas iguales de forma que la

superficie restante sea medible? La respuesta: Practicar dos orificios iguales

de modo que la superficie restante fuese cuadrable. (d’Ocagne, 2013)

De esta manera, la superficie fue bautizada como la “Ventana de Viviani”

por la curvatura que se genera a partir de la intersección de una esfera y de un

cilindro de radio mitad del de la

esfera, y que pasa por el centro de la

esfera.

Figure 4 - 1 / Malla de la esfera

4.2 Parametrización

Las ecuaciones paramétricas utilizadas permiten representar curvas o

superficies en el espacio o un plano, mediante valores que recorren un

intervalo de números reales usando una variable llamada parámetro. Se debe

considerar cada coordenada de un punto como una función dependiente del

parámetro. (Stadler, 2013)

Una parametrización se puede también obtener despejando una variable y

tomándola como parámetro.

DEFINICIÓN.- Una curva parametrizada en R3 es la imagen de una

función continua S definida en una región D⊆R3 → S(t)=(x(t), y(t), z(t)) ∈

R

La variable independiente de la función S se llama parámetro de la curva y

la propia función S recibe el nombre de parametrización de la curva. (Purcell,

4.3 Aplicación

La ventana de Viviani ha sido usada en la arquitectura del Museo

Marítimo de Osaka creado por Paul Andreu que concibió la idea a la medida

del lugar conectando este edificio con el centro de la ciudad a través de un

túnel bajo el mar.

La superficie se despliega en capa a partir de un único tubo, compuesto de

rombos cuyos ángulos varían en altura, pero siguen siendo constantes (90°) a

la izquierda y a la derecha. El conjunto es pretensado por cables de acero

ecuación (5).

2

  1. 5 cos

2

    1. 5 sin

2

2

= 225 − 56 .25cos

2

𝑡 − 112. 5 cos 𝑡 − 56. 25 − 56 .25sin

2

Recordando la identidad pitagórica (cos

2

𝑡 + sin

2

2

= 225 − 56. 25 − 56. 25 − 112. 5 cos 𝑡

2

= 112. 5 − 112. 5 cos 𝑡

En donde:

1 − cos (𝑡)

2

Finalmente, la parametrización de la ventana de Viviani esta expresada como:

= ( 7 .5cos

[
]

En donde 𝑟

= ( 7 .5cos

𝑡

2

)) , 𝑡 ∈ [ 0 , 2 𝜋]. describe la

parametrización de la curva superior y 𝑟(𝑡) = ( 7 .5cos(𝑡) +

𝑡

2

)) ; 𝑡 ∈ [ 0 , − 2 𝜋] la curva inferior.

Calculando la longitud de la intersección local:

2

2

2

𝑏

𝑎

= − 7. 5 cos (

− 7. 5 sen

2

  1. 5 cos

2

  • (− 7. 5 cos (

2

2 𝜋

0

  1. 25 sen

2

    1. 25 cos

2

(𝑡) + 56. 25 cos

2

2 𝜋

0

sen

2

(𝑡) + cos

2

(𝑡) + cos

2

2 𝜋

0

1 + cos

2

2 𝜋

0

cos(𝑡)) 𝑑𝑡 =

2 𝜋

0

∫ √ 3 + cos(𝑡) 𝑑𝑡 =

2 𝜋

0

( 10. 805 ) = 57. 30 [𝑐𝑚]

Donde el perímetro total o global es:

𝐿 = 2 ∗ 57 , 30 = 114. 6

[ 𝑐𝑚

]

5.2 Método de parametrización esféricas

5.3 Error

6 Conclusiones

 Debido al procedimientos que se han adquirido y utilizado a lo largo

7 Bibliografía

d’Ocagne, M. (22 de 09 de 2013). ztfnews. Recuperado el 01 de 02 de 2018,

de https://ztfnews.wordpress.com/2013/09/22/viviani-su-teorema-y-su-curva/

Purcell. (2007). Parametrizacion. En Purcell, Calculo 9 edicion (pág. 593).

Nueva Mexico: Pearson Educacion de Mexico.

Stadler, M. M. (22 de 09 de 2013). Centro virtual de divulgaccion de

matematica. Recuperado el 02 de 02 de 2018, de

http://vps280516.ovh.net/divulgamat15/index.php?option=com_content&view

=article&id=15314:viviani-su-teorema-y-su-

curva&catid=111:otros&directory=

8 Anexo