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ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL
LITORAL
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS NATURALES Y
MATEMÁTICAS
CALCULO DE VARIAS VARIABLES
Título del proyecto:
CONSTRUCCIÓN Y PARAMETRIZACIÓN DE UNA
VENTANA DE VIVIANI
Integrantes:
Karen Solano
Marcelo Muñoz
Mileny Párraga
Jostin Murillo
Ricardo Ávila
Docente: Ing. Carola Pinos
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- 1 Introducción Contenido
- 2 Descripción del problema......................................................................................................
- 3 Metodología
- 4 Marco teórico
- 4.1 Origen
- 4.2 Parametrización
- 4.3 Aplicación
- 5 Cálculos
- 6 Conclusiones
- 7 Bibliografía
- 8 Anexo
1 Introducción
Actualmente existe cierta problemática en el ámbito de la arquitectura
relacionada con la ingeniería, de hecho, muchas de las construcciones que
podemos apreciar en el mundo actual tienen una base firme en los
fundamentos y conocimientos derivados del cálculo, ejemplo de esto son las
edificaciones que presentan una perfección o simetría que hacen difícil de
creer que haya sido realizado en tiempos tan antiguos o incluso cercanos a la
actualidad, obras hechas por el hombre que pueden gozar de perfección en la
realización de las mismas.
La intención de este proyecto es mostrar la utilidad de los conocimientos
adquiridos en la materia de Cálculos de Varias Variables, esto a través del
análisis de espacios tridimensionales, geometría y aplicaciones de los
teoremas y operaciones conjuntas a conocimientos previos de dicha materia
para encontrar la manera de solventar un problema que puede darse en el
mundo moderno, como lo es la aplicación de la “Curvatura de Viviani”.
El proyecto muestra de manera didáctica, la visualización de cada corte
entre la esfera de 15 cm de radio y el cilindro de 7.5 cm de radio, la curva que
se forma en dicha intersección es llamada “Curvatura de Viviani”. La misma
que se introdujo como un problema de arquitectura poco después para la
creación de maravillosas estructuras y centros recreativos para el público en
general.
De hecho este tipo de problemas se pueden resolver mediante la
integración, sin embargo esto ocasiona una gran pérdida de tiempo ya que es
una forma generalizada que no aprovecha ninguna de las ventajas posibles
para simplificar el camino a recorrer, es en estos casos cuando brillan
opciones como la “Curvatura de Viviani” ya que mediante parametrizaciones
clásicas los mismos resultados que se obtendrían por el método convencional
son capaces de lograrse de manera casi inmediata, teniendo en cuenta que las
mismas no ocasionen ninguna restricción que compliquen de alguna forma su
uso.
2 Descripción del problema
Construcción y parametrización de una Ventana de Viviani, generada a
partir de una esfera de radio 15 cm. Luego, determinar el perímetro
experimental de la ventana con una cinta métrica.
Figure 1 - 2 / Intercepcion de superficies Figure 1 - 1 /Curva en 3R
4 Marco teórico
4.1 Origen
Vincenzo Viviani fue un personaje muy brillante que realizó aportes a la
física y matemáticas. Fue compañero y discípulo de Galileo Galilei y quien
posteriormente escribió la primera biografía sobre él.
En geometría propuso y resolvió el siguiente enigma: “En la antigua
Grecia, el templo dedicado a la Geometría estaba coronado por una bóveda
semiesférica, ¿cómo pueden abrirse cuatro ventanas iguales de forma que la
superficie restante sea medible? La respuesta: Practicar dos orificios iguales
de modo que la superficie restante fuese cuadrable. (d’Ocagne, 2013)
De esta manera, la superficie fue bautizada como la “Ventana de Viviani”
por la curvatura que se genera a partir de la intersección de una esfera y de un
cilindro de radio mitad del de la
esfera, y que pasa por el centro de la
esfera.
Figure 4 - 1 / Malla de la esfera
4.2 Parametrización
Las ecuaciones paramétricas utilizadas permiten representar curvas o
superficies en el espacio o un plano, mediante valores que recorren un
intervalo de números reales usando una variable llamada parámetro. Se debe
considerar cada coordenada de un punto como una función dependiente del
parámetro. (Stadler, 2013)
Una parametrización se puede también obtener despejando una variable y
tomándola como parámetro.
DEFINICIÓN.- Una curva parametrizada en R3 es la imagen de una
función continua S definida en una región D⊆R3 → S(t)=(x(t), y(t), z(t)) ∈
R
La variable independiente de la función S se llama parámetro de la curva y
la propia función S recibe el nombre de parametrización de la curva. (Purcell,
4.3 Aplicación
La ventana de Viviani ha sido usada en la arquitectura del Museo
Marítimo de Osaka creado por Paul Andreu que concibió la idea a la medida
del lugar conectando este edificio con el centro de la ciudad a través de un
túnel bajo el mar.
La superficie se despliega en capa a partir de un único tubo, compuesto de
rombos cuyos ángulos varían en altura, pero siguen siendo constantes (90°) a
la izquierda y a la derecha. El conjunto es pretensado por cables de acero
ecuación (5).
2
- 5 cos
2
2
2
= 225 − 56 .25cos
2
𝑡 − 112. 5 cos 𝑡 − 56. 25 − 56 .25sin
2
Recordando la identidad pitagórica (cos
2
𝑡 + sin
2
2
= 225 − 56. 25 − 56. 25 − 112. 5 cos 𝑡
2
= 112. 5 − 112. 5 cos 𝑡
En donde:
1 − cos (𝑡)
2
Finalmente, la parametrización de la ventana de Viviani esta expresada como:
= ( 7 .5cos
[
]
En donde 𝑟
= ( 7 .5cos
𝑡
2
)) , 𝑡 ∈ [ 0 , 2 𝜋]. describe la
parametrización de la curva superior y 𝑟(𝑡) = ( 7 .5cos(𝑡) +
𝑡
2
)) ; 𝑡 ∈ [ 0 , − 2 𝜋] la curva inferior.
Calculando la longitud de la intersección local:
2
2
2
𝑏
𝑎
= − 7. 5 cos (
− 7. 5 sen
2
- 5 cos
2
2
2 𝜋
0
- 25 sen
2
2
(𝑡) + 56. 25 cos
2
2 𝜋
0
sen
2
(𝑡) + cos
2
(𝑡) + cos
2
2 𝜋
0
1 + cos
2
2 𝜋
0
cos(𝑡)) 𝑑𝑡 =
2 𝜋
0
∫ √ 3 + cos(𝑡) 𝑑𝑡 =
2 𝜋
0
( 10. 805 ) = 57. 30 [𝑐𝑚]
Donde el perímetro total o global es:
𝐿 = 2 ∗ 57 , 30 = 114. 6
[ 𝑐𝑚
]
5.2 Método de parametrización esféricas
5.3 Error
6 Conclusiones
Debido al procedimientos que se han adquirido y utilizado a lo largo
7 Bibliografía
d’Ocagne, M. (22 de 09 de 2013). ztfnews. Recuperado el 01 de 02 de 2018,
de https://ztfnews.wordpress.com/2013/09/22/viviani-su-teorema-y-su-curva/
Purcell. (2007). Parametrizacion. En Purcell, Calculo 9 edicion (pág. 593).
Nueva Mexico: Pearson Educacion de Mexico.
Stadler, M. M. (22 de 09 de 2013). Centro virtual de divulgaccion de
matematica. Recuperado el 02 de 02 de 2018, de
http://vps280516.ovh.net/divulgamat15/index.php?option=com_content&view
=article&id=15314:viviani-su-teorema-y-su-
curva&catid=111:otros&directory=
8 Anexo
