Persmaan Hamilton Jacoby-1, Exercises of Physics

Download Persmaan Hamilton Jacoby-1 and more Exercises Physics in PDF only on Docsity!

Persamaan Hamilton Jacoby

Ringkasan

Persamaan gerak Hamilton

Dari persamaan Hamilton dapat disusun transformasi

kanonik , ke koordinat baru (P,Q) dengan hamiltonan baru

K(P,Q), sehingga

Dari persamaan tersebut, dengan mengambil generator fungsi

F 2 diperoleh

Sehingga fungsi H dapat dinyatakan sebagai

Persamaan ini disebut persamaan gerak Hamilton Jacoby

Bentuk

F

2

= F

2

( q

i

, P

i

Fungsi Pokok Hamilton

Bila ditemukan penyelesaian

Maka S dapat menggantikan F 2 , sehingga

b dapat dicari dengan kondisi t=to, dari b dapat diperoleh

persamaan q(a,b,t) dan dari sini dapat diperoleh p(a,b,t)

sehingga penyelesaian dapat diperoleh.

Arti Fungsi Utama S

S adalah aksi

t

S

p q

dt

dS

i i





  0 



0

2

 





 





H

t

S

H

t

F

Ambil penyelesaian dengan bentuk

• Maka

S p q W q t

i i i

( , ,  )  ( , ) 

i

i i

i

i

q

W p q

q

S

p

t

S

H

Diperoleh q(t)

t

S W p q

i i

t

W p q

i i

di t=0, z=z 0 , pz=p 0 diperoleh

 

mg

m

mg t

z

2

mg (   t )  2 m (   mgz )

2 2 2

t

g

g g t

mg

t

g

mg

z         

2

0

g

mg

z  

2

0

t

g

z  z  g  t 

p  mg 

0

p 2 m ( mgz )

z

































   

2

( )

2

2 t

g

mg

p m mg

z







Contoh

2. Partikel bergerak di dalam medan listrik konstan.

Diskusikan!

3. Partikel bergerak jatuh bebas. Diskusikan!

HJ dengan Separasi Variabel

Bila koordinat dapat dipisahkan maka digunakan

Seterusnya digunakan kaidah yang sama

S S q t W q t t

i i i

i

i i i

i

i

     

( , , ) ( , , )

i

i i i

i

i

i

q

W p q

q

S

p

i

i

t

S

H  

t

W p q S

i i

i i i

t

W p q

i

i

i i i

Contoh

Partikel bergerak 3D dalam pengaruh gaya grafitasi

Carilah persamaan geraknya dengan persamaan Hamilton-

Jacoby.

Persmaaan H-J memenuhi

mgz

m

p

m

p

m

p

H

z

y

x

   

2 2 2

2

2

2

H

t

S

t  W  W  W  S

3 2 1

x

W

p

x







1

y

W

p

y







2

z

W

p

z







3

Contoh: Osilator harmonik 2 dimensi