Docsity
Docsity

Prepare for your exams
Prepare for your exams

Study with the several resources on Docsity


Earn points to download
Earn points to download

Earn points by helping other students or get them with a premium plan


Guidelines and tips
Guidelines and tips

PENGANTAR KALKULUS UNIVERSITAS, Lecture notes of Mathematics

Dasar-dasar mengenai kalkulus untuk universitas

Typology: Lecture notes

Pre 2010

Available from 01/18/2023

havizAldino
havizAldino 🇮🇩

10 documents

1 / 107

Toggle sidebar

This page cannot be seen from the preview

Don't miss anything!

bg1
DIKTAT KALKULUS 1
Penyusun:
Drs. Warsoma Djohan M.Si.
Dr. Wono Setya Budhi
Departemen Matematika, Fakultas MIPA
Institut Teknologi Bandung
Agustus 2007
pf3
pf4
pf5
pf8
pf9
pfa
pfd
pfe
pff
pf12
pf13
pf14
pf15
pf16
pf17
pf18
pf19
pf1a
pf1b
pf1c
pf1d
pf1e
pf1f
pf20
pf21
pf22
pf23
pf24
pf25
pf26
pf27
pf28
pf29
pf2a
pf2b
pf2c
pf2d
pf2e
pf2f
pf30
pf31
pf32
pf33
pf34
pf35
pf36
pf37
pf38
pf39
pf3a
pf3b
pf3c
pf3d
pf3e
pf3f
pf40
pf41
pf42
pf43
pf44
pf45
pf46
pf47
pf48
pf49
pf4a
pf4b
pf4c
pf4d
pf4e
pf4f
pf50
pf51
pf52
pf53
pf54
pf55
pf56
pf57
pf58
pf59
pf5a
pf5b
pf5c
pf5d
pf5e
pf5f
pf60
pf61
pf62
pf63
pf64

Partial preview of the text

Download PENGANTAR KALKULUS UNIVERSITAS and more Lecture notes Mathematics in PDF only on Docsity!

DIKTAT KALKULUS 1

Penyusun: Drs. Warsoma Djohan M.Si. Dr. Wono Setya Budhi

Departemen Matematika, Fakultas MIPA

Institut Teknologi Bandung Agustus 2007

Pengantar

Kalkulus merupakan matakuliah wajib tingkat pertama bagi hampir semua departe- men/jurusan di Institut Teknologi Bandung (kecuali Departemen Desain dan Seni Murni). Berdasarkan kebutuhan yang berbeda pada berbagai departemen yang ada ITB, sejak tahun ajaran 2004 pelaksanaannya dibagi dua yaitu perkuliahan Kalkulus Elmenter dan Kalkulus. Diktat ini ditulis untuk digunakan pada perkuliahan Kalku- lus, meskipun tidak menutup kemungkinan untuk dipakai pada perkuliahan Kalkulus Elementer, dengan membuang beberapa topik yang tidak diperlukan.

Dari segi konsep, isi perkuliahan kalkulus dapat dikatakan sudah baku, artinya tidak banyak mengalami perubahan untuk jangka waktu yang cukup panjang. Bagian yang secara berkala perlu direvisi adalah teknik penyajiannya. Selain itu soal-soal yang dis- ajikan mulai banyak diaktualkan dengan situasi saat ini, melalui pemecahan problem- problem real sederhana yang dijumpai sehari-hari.

Penyusunan diktat ini bertujuan untuk mengefektifkan proses pembelajaran. Pada proses pembelajaran konvensional, biasanya dosen menjelaskan perkuliahan sambil mencatat di papan tulis. Mahasiswa umumnya menyalin catatan tersebut sambil menyimak penjelasan dosen. Proses pembelajaran lebih banyak mendengarkan ce- ramah dari dosen. Peran serta mahasiswa sebagai pembelajar sangat terbatas. Melalui diktat ini diharapkan proses pembelajaran dapat lebih diefektifkan. Fungsi dari diktat ini, bagi dosen untuk dipakai menjelaskan materi kuliah, sedangkan bagi mahasiswa sebagai pengganti catatan kuliah. Dengan demikian waktu pembelajaran di kelas dapat digunakan secara lebih efektif untuk caramah dan diskusi. Perlu diperhatikan bahwa pada diktat ini soal-soal yang disajikan umumnya tidak disertai solusi. Hal ini memang disengaja karena pembelajaran akan lebih efektif bila solusinya dibicarakan bersama-sama mahasiswa di kelas.

Idealnya ada dua materi yang disediakan, yaitu buku teks yang rinci dan beningan (transparancies) untuk ceramah. Mengingat sempitnya waktu yang ada, untuk saat ini penulis baru dapat menyediakan beningan saja, tetapi ditulis dengan cukup rinci. Penulis 1 (Warsoma Djohan) mulai merancang diktat ini pada awal Juli tahun 2004. Penyusunan didasarkan pada buku teks yang digunakan yaitu: Kalkulus dan Geometri Analitis, edisi 5, jilid 1, E.J. Purcell & D. Varberg. Pada tahun ajaran 2005, isi diktat direvisi bersama-sama dengan penulis 2 (Wono Setya Budhi). Semoga diktat ini dapat berguna untuk meningkatkan kualitas pembelajaran Kalkulus.

Penyusun, Warsoma Djohan & Wono Setya Budhi

Sistem Bilangan / Himpunan Bilangan

Himpunan Bilangan Asli: N = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , · · ·}

Himpunan Bilangan Bulat: Z = {· · · , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , · · ·}

Himpunan Bilangan Rasional: Q = { p q | p, q ∈ Z, q = 0}

Perhatikan gambar segitiga di samping. Panjang sisi mir- ingnya adalah

  1. Apakah bilangan tersebut merupakan bilangan rasional (periksa!).

Gabungan himpunan bilangan rasional dan irrasional disebut himpunan bi- langan real, disimbolkan R. Jelas N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.

Notasi Interval: Misalkan a, b ∈ R,

  1. (a, b) = { x | a < x < b } ( )
  2. [a, b] = { x | a ≤ x ≤ b } [ ]
  3. [a, b) = { x | a ≤ x < b } [ )
  4. (a, b] = { x | a < x ≤ b } ( ]
  5. (a, ∞) = { x | x > a } (
  6. [a, ∞) = { x | x ≥ a }
  7. (−∞, b) = { x | x < b }
  8. (−∞, b] = { x | x ≤ b }
  9. (−∞, ∞) = R

Hati^2 : −∞ dan ∞ bukan bilangan real, jadi tidak pernah termasuk dalam subset bilangan real.

Polinom / Suku Banyak

Bentuk umum: p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x^2 + · · · + a (^) n x n, dengan

n bilangan asli, a 0 , a 1 , · · · , a (^) n bilangan^2 real (disebut koefisien dari poli- nom), dan x bilangan real yang belum ditentukan (variabel).

Derajat polinom adalah nilai n terbesar yang koefisiennya tidak nol.

Contoh: p(x) = x^4 − 2 x^3 − 7 x^2 + 8x + 12, derajat p(x) adalah 4.

Bilangan real t disebut akar dari polinom p(x) bila p(t) = 0.

Pada contoh terakhir, t = 2 adalah akar p(x), sebab p(t) = p(2) = 2^4 − 2 · 23 − 7 · 22 + 8 · 2 + 12 = 0

Polinom Linear/Derajat Satu: p(x) = ax+b, a = 0 akarnya x = − ab.

Polinom Kuadrat/Derajat Dua: p(x) = ax^2 + bx + c, a = 0.

Akar-akarnya x 1 = −b+

√D 2 a dan^ x^2 =^

−b−√D 2 a dengan^ D^ =^ b

(^2) − 4 ac ︸ ︷︷ ︸ Diskriminan Di sini ada tiga kemungkinan akar:

  • D > 0 , Dua akar real berbeda (x 1 = x 2 ).
  • D = 0, Dua akar kembar (x 1 = x 2 ).
  • D < 0 , tidak ada akar real.

Koefisien a menentukan kecekungan grafiknya. Bila a > 0 grafik cekung ke atas (membuka ke atas) sebaliknya bila a < 0 grafinya cekung ke bawah.

Bila D < 0 dan a > 0 polinom disebut definit positif (ilustrasikan grafiknya!).

Bila D < 0 dan a < 0 polinom disebut definit negatif.

Sifat: Setiap polinom derajat n > 2 dapat difaktorkan atas faktor-faktor linear / kuadrat definit. (Bukti, bonus !!!).

Contoh: p(x) = x^6 − 1 = (x^3 − 1) (x^3 + 1) = (x − 1) (x^2 + x + 1) (x + 1) (x^2 − x + 1)

Hati-Hati:

  • Jangan mengalikan pertaksamaan dengan bilangan yang tidak diketahui tandanya ilustrasi: (^) x−^11 < 1.
  • Sebaiknya, hindari mencoret faktor yang sama, ilustrasi: (x−3) (^3) (x+1) (x−3)^2 ≤^0.

Harga Mutlak

Misalkan x ∈ R. Harga mutlak dari x, ditulis |x| =

−x x ≤ 0 x x > 0 Contoh: | 3 | = 3, | − 4 | = 4, | 0 | = 0.

Sifat^2 : Misalkan a dan b bilangan-bilangan real,

  1. |ab| = |a| |b|

a b

∣ =^

|a| |b|

  1. |a + b| ≤ |a| + |b| ilustrasi |3 + (−4)| ≤ | 3 | + | − 4 |.
  2. |a − b| ≥ | |a| − |b| |

Latihan:

  1. Tuliskan tanpa tanda mutlak: (a) |x − 4 | (b) |x + 2| + |x + 3|
  2. Tentukan solusi dari (a) |x − 3 | = x − 3 (b) |x − 1 | = 2.

Akar Kuadrat

Misalkan x ≥ 0. Akar kuadrat dari x, ditulis

x adalah bilangan real non-negatif a sehingga a^2 = x.

Ilustrasi: (a)

9 = 3, (b)

(−4)^2 = 4.

Secara umum : Bila b ∈ R maka

b^2 = |b|.

Pertaksamaan yang memuat nilai mutlak dan akar kuadrat

Sifat^2 (buktikan/ilustrasikan !):

  • |x| < a ⇐⇒ −a < x < a
  • |x| > a ⇐⇒ x < −a atau x > a

Untuk mencari solusi pertaksamaan yang memuat nilai mutlak / akar kuadrat, usahakan menghilangkan nilai mutlak / akar kuadratnya, lalu diselesaikan sebagai pertaksamaan rasional.

Contoh^2 :

  1. |x − 4 | ≤ 1. 5
  2. | 2 x + 3| ≤ |x − 3 |
  3. Benarkah pernyataan berikut? − 1 ≤ x ≤ 3 =⇒ |x| < 1
  4. Tentukan bilangan positif δ supaya pernyataan berikut benar: (a) |x − 2 | < δ =⇒ | 5 x − 10 | < 1 (b) |x − 2 | < δ =⇒ | 6 x − 18 | < 24.

x − 1 < 1

Soal-Soal Latihan Mandiri:

  1. | 2 x − 7 | < 3
  2. | 2 x − 3 | > 3
  3. |x − 2 | < 3 |x + 7|
  4. |x − 2 | + |x + 2| > 7
  5. |x − 2 | + |x + 2| < 3
  6. |x + (^) x^1 | ≤ 2
  7. 1 < |x − 2 | < 3
    1. |x − 3 | + |x − 2 | + |x + 1| < 7
    2. |x − 3 | + |x − 2 | + |x + 1| < 2
  8. |x − 3 | + |x − 2 | + |x + 1| > 8
  9. Cari bil. δ postif supaya a. |x − 5 | < δ =⇒ | 3 x − 15 | < 6 b. |x − 4 | < δ =⇒ | 3 x − 15 | < 6
  10. Tunjukan |x| ≤ 2 =⇒ |

2 x^2 + 3x + 2 x^2 + 2

Garis Lurus

Bentuk umum: Ax + By + C = 0 dengan A, B, dan C konstanta. Nilai A dan B tidak boleh nol secara bersamaan. Grafik garis lurus ditentukan oleh dua titik (x 1 , y 1 ) dan (x 2 , y 2 ) yang memenuhi persamaan tersebut.

Hal^2 khusus:

  • Bila A = 0, persamaan berbentuk y = − BC , grafiknya sejajar sumbu-x.
  • Bila B = 0, persamaan berbentuk x = − AC , grafiknya sejajar sumbu-y.
  • Bila A, B tak nol, Ax + By + C = 0 ⇐⇒ y = − BA x − C B.

Misalkan (x 1 , y 1 ) dan (x 2 , y 2 ) dua titik pada garis tersebut. Kemiringan garis didefinisikan sebagai m = (^) xy^22 −−yx^11 Buktikan bahwa m = −A B.

Persamaan garis lurus yang melalui dua titik (x 1 , y 1 ) dan (x 2 , y 2 ) :

y − y 1 y 2 − y 1

x − x 1 x 2 − x 1

Persamaan garis lurus dengan kemiringan m dan melalui titik (x 1 , y 1 ) :

y − y 1 = m(x − x 1 )

Misalkan garis  1 dan  2 dua buah garis dengan kemiringan m 1 dan m 2.

Kedua garis tersebut sejajar ⇐⇒ m 1 = m 2

Kedua garis tersebut saling tegak lurus ⇐⇒ m 1 · m 2 = − 1 (mengapa?)

Lingkaran

Lingkaran adalah himpunan titik-titik yang jaraknya sama terhadap titik tertentu (disebut pusat lingkaran). Persamaan lingkaran yang berpusat di (0, 0) dan jari-jari r adalah: x^2 + y^2 = r^2 (gambar sebelah kiri). Bila pusat lingkaran berada di titik (p, q) maka persamaannya menjadi (x − p)^2 + (y − q)^2 = r^2 (gambar sebelah kanan).

K 2 K (^1 0 1) x 2

y

K 2

K 1

1

2

lingkaran x^2 + y^2 = 3

K (^1 0 1) x 2 3 4

y

K 1

1

2

3

4

lingkaran (x − 1)^2 + (y − 2)^2 = 3

Latihan: Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran x^2 − 2 x+y^2 +4y −20 = 0

Hiperbola

Bentuk umum :

x^2 a^2

y^2 b^2 = 1 atau

−x^2 a^2

y^2 b^2

K 4 K (^2 0 2) x 4

y

K 8

K 6

K 4

K 2

2

4

6

8

x^2 4

y^2 9

K 4 K (^2 0 2) x 4

y

K 8

K 6

K 4

K 2

2

4

6

8

x^2 4

y^2 9

Garis putus-putus mempunyai persamaan 2 y = 3x dan merupakan asimtot terhadap hiperbola tersebut.

Bila kedua parabola di atas dirotasi berlawanan arah dengan putaran jarum jam sebesar 45 o^ maka diperoleh:

xy = 1 −xy = 1

Fungsi

Misalkan A dan B dua buah himpunan. Fungsi dari A ke B adalah aturan memasangkan (memadankan) setiap elemen di A dengan satu elemen di B. Bila elemen-elemen dari A lebih banyak dari elemen-elemen B, dapatkah kita membuat fungsi dari A ke B?

Sebuah fungsi disebut fungsi real bila B ⊂ R.

Pembahasan selanjutnya akan dibatasi untuk A, B ⊂ R.

Notasi fungsi: y = f (x) dengan: x elemen A, f (x) aturan pemadanan- nya, dan y adalah elemen B yang merupakan pasangan dari x.

Pada persamaan berikut, tentukan mana yang mendefinisikan fungsi:

  1. y = x^2 + x^4
  2. xy^3 = 1
    1. x^2 y = 1
    2. x^2 + y^2 = 1
      1. x^3 + y^3 = 1
      2. x^2 + y^3 = 1

Daerah Definisi (daerah asal/wilayah/domain) dari suatu fungsi f (x), dinotasikan D (^) f adalah himpunan semua bilangan real yang menyebabkan aturan fungsi berlaku/terdefinisi.

Daerah Nilai (daerah hasil/jelajah/range) dari suatu fungsi f (x), dino- tasikan R (^) f = { y | y = f (x), x ∈ D (^) f } (berisi semua pasangan dari x).

Contoh^2 : Tentukan D (^) f dan R (^) f dan grafik dari fungsi-fungsi berikut:

  1. f (x) = x +

x

  1. f (x) = x^2 − 1 ≤ x ≤ 1
  2. f (x) =

x^2 x ≤ 0 1 x > 0

  1. f (x) = |x|
  2. f (x) = [|x|], bilangan bu- lat terbesar, yang lebih kecil atau sama dengan x.

Operasi pada fungsi

Misalkan f (x) dan g(x) fungsi^2 real dengan daerah definisi D (^) f dan D (^) g.

  • (f + g)(x) = f (x) + g(x), D (^) f +g = D (^) f ∩ D (^) g
  • (f − g)(x) = f (x) − g(x), D (^) f −g = D (^) f ∩ D (^) g
  • (f g)(x) = f (x) g(x), D (^) f g = D (^) f ∩ D (^) g
  • (f /g)(x) = f (x)/g(x), D (^) f /g = D (^) f ∩ D (^) g ∩ {x|g(x) = 0}
  • f n(x) = f ︸ (x) f (x︷︷) · · · f (x︸) n suku

D (^) f n^ = D (^) f

Contoh: Misalkan f (x) = 4

x + 1 dan g(x) =

9 − x^2.

Tentukan f + g, f − g, f g, f /g, dan f 5 beserta daerah definisinya.

Peta/Image dan Prapeta/Preimage:

Misalkan f suatu fungsi dengan daerah definisi D (^) f dan daerah nilai R (^) f. Misalkan A ⊂ D (^) f dan B ⊂ R.

  • Peta dari A oleh f adalah f (A) = {y ∈ R (^) f | y = f (x), x ∈ A}
  • Prapeta dari B oleh f adalah f −^1 (B) = {x ∈ D (^) f | f (x) ∈ B} (ilustrasikan kedua konsep di atas dengan gambar )

Contoh: Diberikan f (x) = x^2 ,

tentukan f ([0, 1]), f ([−^12 , 1]), f −^1 ([0, 1]), f −^1 ([− 1 , 1]), dan f −^1 ({− 1 })

Diskusi: Benar atau salah (a) f −^1 (f (A)) = A , (b) f (f −^1 (B)) = B

Fungsi Komposisi

Perhatikan dua buah fungsi f (x) = (^) x (^26) −x 9 dan g(x) =

3 x.

Dibentuk fungsi baru (g ◦ f )(x) = g(f (x))

Jadi (g ◦ f )(x) = g( (^) x (^26) −x 9 ) =

6 x x^2 − 9 Fungsi demikian disebut sebagai fungsi komposisi dari f dan g.

Masalah: Bagaimana cara menentukan D (^) g◦f dan R (^) g◦f Perhatikan gambar di bawah ini. Titik-titik dari D (^) f yang dapat dievaluasi oleh fungsi komposisi g ◦ f adalah titik-titik yang oleh fungsi f dipetakan ke dalam D (^) g (mengapa?). Sebut A = R (^) f ∩ D (^) g, maka:

D (^) g◦f = f −^1 (A) dan R (^) g◦f = g(A)

Contoh^2 :

  1. f (x) = 1 + x^2 dan g(x) =

1 − x. Tentukan f ◦ g, D (^) f ◦g, dan R (^) f ◦g

  1. f (x) =

x(10 − x) dan g(x) =

4 − x^2. Tentukan g ◦ f , D (^) g◦f , dan R (^) g◦f

Fungsi-Fungsi Trigonometri Lainnya:

  • f (x) = tan t = (^) cossin^ tt D (^) f = {x | x = 2 k 2 +1 π, k ∈ Z}, R (^) f = R
  • f (x) = cot t = cos sin tt D (^) f =... R (^) f =...
  • f (x) = sec t = (^) cos^1 t D (^) f =... R (^) f =...
  • f (x) = csc t = (^) sin^1 t D (^) f =... R (^) f =...

latihan: Periksa apakah fungsi^2 tersebut termasuk fungsi ganjil/genap

latihan: Apakah fungsi^2 tersebut periodik, berapa periodenya?

Sifat-Sifat Penting Fungsi Trigonometri:

  • sin^2 x + cos^2 x = 1, 1 + tan^2 x = sec^2 x, 1 + cot^2 x = csc^2 x
  • sin(−x) = sin x dan cos(−x) = cos x
  • sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y cos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y
  • sin^2 x = 12 − 12 cos(2x) dan cos^2 x = 12 + 12 cos(2x)
  • sin x + sin y = 2 sin(x+ 2 y) cos(x− 2 y) cos x + cos y = 2 cos(x+ 2 y) cos(x− 2 y) cos x − cos y = −2 sin(x+ 2 y) sin(x− 2 y)