Numerical Analysis –MTH603 VU
© Copyright Virtual University of Pakistan 1
Ordinary Differential Equations
I
In
nt
tr
ro
od
du
uc
ct
ti
io
on
n
T
Ta
ay
yl
lo
or
r
S
Se
er
ri
ie
es
s
E
Eu
ul
le
er
r
M
Me
et
th
ho
od
d
R
Ru
un
ng
ge
e-
-K
Ku
ut
tt
ta
a
M
Me
et
th
ho
od
d
P
Pr
re
ed
di
ic
ct
to
or
r
C
Co
or
rr
re
ec
ct
to
or
r
M
Me
et
th
ho
od
d
I
In
nt
tr
ro
od
du
uc
ct
ti
io
on
n
M
Ma
an
ny
y
p
pr
ro
ob
bl
le
em
ms
s
i
in
n
s
sc
ci
ie
en
nc
ce
e
a
an
nd
d
e
en
ng
gi
in
ne
ee
er
ri
in
ng
g
w
wh
he
en
n
f
fo
or
rm
mu
ul
la
at
te
ed
d
m
ma
at
th
he
em
ma
at
ti
ic
ca
al
ll
ly
y
a
ar
re
e
r
re
ea
ad
di
il
ly
y
e
ex
xp
pr
re
es
ss
se
ed
d
i
in
n
t
te
er
rm
ms
s
o
of
f
o
or
rd
di
in
na
ar
ry
y
d
di
if
ff
fe
er
re
en
nt
ti
ia
al
l
e
eq
qu
ua
at
ti
io
on
ns
s
(
(O
OD
DE
E)
)
w
wi
it
th
h
i
in
ni
it
ti
ia
al
l
a
an
nd
d
b
bo
ou
un
nd
da
ar
ry
y
c
co
on
nd
di
it
ti
io
on
n.
.
E
Ex
xa
am
mp
pl
le
e
T
Th
he
e
t
tr
ra
aj
je
ec
ct
to
or
ry
y
o
of
f
a
a
b
ba
al
ll
li
is
st
ti
ic
c
m
mi
is
ss
si
il
le
e,
,
t
th
he
e
m
mo
ot
ti
io
on
n
o
of
f
a
an
n
a
ar
rt
ti
if
fi
ic
ci
ia
al
l
s
sa
at
te
el
ll
li
it
te
e
i
in
n
i
it
ts
s
o
or
rb
bi
it
t,
,
a
ar
re
e
g
go
ov
ve
er
rn
ne
ed
d
b
by
y
o
or
rd
di
in
na
ar
ry
y
d
di
if
ff
fe
er
re
en
nt
ti
ia
al
l
e
eq
qu
ua
at
ti
io
on
ns
s.
.
T
Th
he
eo
or
ri
ie
es
s
c
co
on
nc
ce
er
rn
ni
in
ng
g
e
el
le
ec
ct
tr
ri
ic
ca
al
l
n
ne
et
tw
wo
or
rk
ks
s,
,
b
be
en
nd
di
in
ng
g
o
of
f
b
be
ea
am
ms
s,
,
s
st
ta
ab
bi
il
li
it
ty
y
o
of
f
a
ai
ir
rc
cr
ra
af
ft
t,
,
e
et
tc
c.
.,
,
a
ar
re
e
m
mo
od
de
el
le
ed
d
b
by
y
d
di
if
ff
fe
er
re
en
nt
ti
ia
al
l
e
eq
qu
ua
at
ti
io
on
ns
s.
.
T
To
o
b
be
e
m
mo
or
re
e
p
pr
re
ec
ci
is
se
e,
,
t
th
he
e
r
ra
at
te
e
o
of
f
c
ch
ha
an
ng
ge
e
o
of
f
a
an
ny
y
q
qu
ua
an
nt
ti
it
ty
y
w
wi
it
th
h
r
re
es
sp
pe
ec
ct
t
t
to
o
a
an
no
ot
th
he
er
r
c
ca
an
n
b
be
e
m
mo
od
de
el
le
ed
d
b
by
y
a
an
n
O
OD
DE
E
C
Cl
lo
os
se
ed
d
f
fo
or
rm
m
s
so
ol
lu
ut
ti
io
on
ns
s
m
ma
ay
y
n
no
ot
t
b
be
e
p
po
os
ss
si
ib
bl
le
e
t
to
o
o
ob
bt
ta
ai
in
n,
,
f
fo
or
r
e
ev
ve
er
ry
y
m
mo
od
de
el
le
ed
d
p
pr
ro
ob
bl
le
em
m,
,
w
wh
hi
il
le
e
n
nu
um
me
er
ri
ic
ca
al
l
m
me
et
th
ho
od
ds
s
e
ex
xi
is
st
t,
,
t
to
o
s
so
ol
lv
ve
e
t
th
he
em
m
u
us
si
in
ng
g
c
co
om
mp
pu
ut
te
er
rs
s.
.
I
In
n
g
ge
en
ne
er
ra
al
l,
,
a
a
l
li
in
ne
ea
ar
r
o
or
r
n
no
on
n-
-l
li
in
ne
ea
ar
r
o
or
rd
di
in
na
ar
ry
y
d
di
if
ff
fe
er
re
en
nt
ti
ia
al
l
e
eq
qu
ua
at
ti
io
on
n
c
ca
an
n
b
be
e
w
wr
ri
it
tt
te
en
n
a
as
s
1
1
,, , ,
nn
nn
dy dy d y
fty
dt dt dt
−
−
=
H
He
er
re
e
w
we
e
s
sh
ha
al
ll
l
f
fo
oc
cu
us
s
o
on
n
a
a
s
sy
ys
st
te
em
m
o
of
f
f
fi
ir
rs
st
t
o
or
rd
de
er
r
d
di
if
ff
fe
er
re
en
nt
ti
ia
al
l
e
eq
qu
ua
at
ti
io
on
ns
s
o
of
f
t
th
he
e
f
fo
or
rm
m
(, )
dy
f
ty
dt =
w
wi
it
th
h
t
th
he
e
i
in
ni
it
ti
ia
al
l
c
co
on
nd
di
it
ti
io
on
n
y
y
(
(t
t0
0)
)
=
=
y
y0
0,
,
w
wh
hi
ic
ch
h
i
is
s
c
ca
al
ll
le
ed
d
a
an
n
i
in
ni
it
ti
ia
al
l
v
va
al
lu
ue
e
p
pr
ro
ob
bl
le
em
m
(
(I
IV
VP
P)
).
.
I
It
t
i
is
s
j
ju
us
st
ti
if
fi
ie
ed
d,
,
i
in
n
v
vi
ie
ew
w
o
of
f
t
th
he
e
f
fa
ac
ct
t
t
th
ha
at
t
a
an
ny
y
h
hi
ig
gh
he
er
r
o
or
rd
de
er
r
O
OD
DE
E
c
ca
an
n
b
be
e
r
re
ed
du
uc
ce
ed
d
t
to
o
a
a
s
sy
ys
st
te
em
m
o
of
f
f
fi
ir
rs
st
t
o
or
rd
de
er
r
d
di
if
ff
fe
er
re
en
nt
ti
ia
al
l
e
eq
qu
ua
at
ti
io
on
ns
s
b
by
y
s
su
ub
bs
st
ti
it
tu
ut
ti
io
on
n.
.
F
Fo
or
r
e
ex
xa
am
mp
pl
le
e,
,
c
co
on
ns
si
id
de
er
r
a
a
s
se
ec
co
on
nd
d
o
or
rd
de
er
r
d
di
if
ff
fe
er
re
en
nt
ti
ia
al
l
e
eq
qu
ua
at
ti
io
on
n
o
of
f
t
th
he
e
f
fo
or
rm
m
(, , )yftyy
′
′′
=
I
In
nt
tr
ro
od
du
uc
ci
in
ng
g
t
th
he
e
s
su
ub
bs
st
ti
it
tu
ut
ti
io
on
n
,
p
y
′
=
t
th
he
e
a
ab
bo
ov
ve
e
e
eq
qu
ua
at
ti
io
on
n
r
re
ed
du
uc
ce
es
s
t
to
o
a
a
s
sy
ys
st
te
em
m
o
of
f
t
tw
wo
o
f
fi
ir
rs
st
t
o
or
rd
de
er
r
d
di
if
ff
fe
er
re
en
nt
ti
ia
al
l
e
eq
qu
ua
at
ti
io
on
ns
s,
,
s
su
uc
ch
h
a
as
s
,(,,)yp pftyp
′′
==
T
Th
he
eo
or
re
em
m
L
Le
et
t
f
f
(
(t
t,
,
y
y)
)
b
be
e
r
re
ea
al
l
a
an
nd
d
c
co
on
nt
ti
in
nu
uo
ou
us
s
i
in
n
t
th
he
e
s
st
tr
ri
ip
p
R
R,
,
d
de
ef
fi
in
ne
ed
d
b
by
y
[
]
0,,ttT y
∈
−∞≤ ≤∞
T
Th
he
en
n
f
fo
or
r
a
an
ny
y
0
[,]ttT∈a
an
nd
d
f
fo
or
r
a
an
ny
y
y
y1
1,
,
y
y2
2,
,
t
th
he
er
re
e
e
ex
xi
is
st
ts
s
a
a
c
co
on
ns
st
ta
an
nt
t
L
L,
,
s
sa
at
ti
is
sf
fy
yi
in
ng
g
t
th
he
e
i
in
ne
eq
qu
ua
al
li
it
ty
y
1212
(, ) (, )
f
ty fty Ly y−≤−
s
so
o
t
th
ha
at
t
(, ) ,
y
f
ty L
≤
f
fo
or
r
e
ev
ve
er
ry
y
,ty R∈
H
He
er
re
e,
,
L
L
i
is
s
c
ca
al
ll
le
ed
d
L
Li
ip
ps
sc
ch
hi
it
tz
z
c
co
on
ns
st
ta
an
nt
t.
.
docsity.com
