Study with the several resources on Docsity
Earn points by helping other students or get them with a premium plan
Prepare for your exams
Study with the several resources on Docsity
Earn points to download
Earn points by helping other students or get them with a premium plan
Community
Ask the community for help and clear up your study doubts
Discover the best universities in your country according to Docsity users
Free resources
Download our free guides on studying techniques, anxiety management strategies, and thesis advice from Docsity tutors
Definitions and properties of the jordan canonical form of matrices, including the schur complement and the relationship between hermitian and positive definite matrices. It also covers topics such as eigenvalues, eigenvectors, and the determinant of a matrix.
Typology: Study notes
1 / 64
This page cannot be seen from the preview
Don't miss anything!
Bài Giảng
OLYMPIC SINH VIÊN MÔN ĐẠI SỐ
6 Chương 1. Ma trận - Định thức
T ) = detA.
1.2 Các định thức đặc biệt
Định thức Vandermonde
Ma trận Vandermonde cấp n là ma trận vuông cấp n có dạng
Vn(a 1 , a 2 , ..., an) =
a 1
a 2
... a n− 1
an
a
2 1
a
2 2...^ a
2 n− 1
a
2 n . . .
a
n− 1 1
a
n− 1 2...^ a
n− 1 n− 1
a
n− 1 n
Định lý 1.1. Chứng minh rằng det Vn(a 1 , a 2 , ..., an) = (^) ∏
16 i<j 6 n
(aj − ai ). Từ đó suy ra hệ
Vn(a 1 , a 2 , ..., an).X = 0 chỉ có nghiệm tầm thường khi và chỉ khi a 1 , a 2 ,... , an đôi một phân
biệt.
Một ứng dụng thú vị của định thức Vandermonde là bài toán sau:
Bài tập 1.1. Cho A là một ma trận vuông cấp n. Khi đó
n = 0 ⇔ tr(A
k ) = 0, k = 0, 1, 2,... , n
Chứng minh. ⇒ Nếu A
n = 0 thì A là một ma trận lũy linh, do đó A chỉ có các trị riêng
bằng 0 , nên A
k cũng chỉ có các trị riêng bằng 0 với mọi k. Suy ra điều phải chứng minh.
⇐ Giả sử các giá trị riêng của A là λ 1 , λ 2 ,... , λ n. Khi đó từ tr(A
k ) = 0, k = 0, 1, 2,... , n ta
có hệ phương trình:
λ 1 + λ 2 +... + λ n = 0
λ
2 1
2 2
+... + λ
2 n =^0
.. .
λ
n 1
n 2
+... + λ
n n =^0
hay
Vn( λ 1 , λ 2 ,... , λ n)( λ 1 , λ 2 ,... , λ n)
T = 0.
Ta sẽ chứng minh tất cả các giá trị riêng của A bằng nhau. Thật vậy:
Nếu λ i đôi một phân biệt thì định thức Vandermonde khác không, hệ phương trình trên
chỉ có nghiệm duy nhất λ 1 , λ 2 ,... , λ n = 0. Mâu thuẫn.
1. Định thức 7
Ngược lại, không mất tính tổng quát, giả sử λ 1 = λ 2 và không một giá trị λ i còn lại nào
bằng nhau. Khi đó hệ phương trình được viết lại dưới dạng
Vn− 1 ( λ 2 ,... , λ n)( 2 λ 2 ,... , λ n)
T = 0
Lập luận tương tự ta có λ 2 =... = λ n = 0 , mâu thuẫn.
Vậy tất cả các trị riêng của A bằng nhau và do đó bằng 0.
Bài tập 1.2. Chứng minh rằng với các số nguyên k 1 < k 2 < ... < kn bất kì thì
det Vn(k 1 , k 2 , ..., kn)
det Vn(1, 2, ..., n)
là một số nguyên.
Bài tập 1.3. Cho W là ma trận có được từ ma trận V = Vn(a 1 , a 2 , ..., an) bằng cách thay
hàng (a
n− 1 1
, a
n− 1 2
, ..., a
n− 1 n )^ bởi hàng^ (a
n 1
, a
n 2
, ..., a
n n)^. Chứng minh rằng
det W = (a 1 + a 2 + ... + an) det V.
Bài tập 1.4. Chứng minh rằng
det
a 1
a 2... a n− 1
an
. . .
a
n− 2 1
a
n− 2 2
. a
n− 2 n− 1
a
n− 2 n
a 2 a 3 ...an a 1 a 3 ...an... a 1 a 2 ...an− 2 an a 1 a 2 ...an− 1
n− 1
. det Vn(a 1 , a 2 , ..., an)
Chứng minh. • Nếu a 1 , a 2 ,... , an 6 = 0 thì nhân cột thứ nhất với a 1 , cột thứ hai với a 2 ,... ,
cột thứ n với an rồi chia cho a 1 a 2... an ta được
det
a 1
a 2... a n− 1
an
. . .
a
n− 2 1
a
n− 2 2
. a
n− 2 n− 1
a
n− 2 n
a 2 a 3 ...an a 1 a 3 ...an... a 1 a 2 ...an− 2 an a 1 a 2 ...an− 1
a 1 a 2... an
. det
a 1 a 2... an− 1 an
a
2 1
a
2 2
... a
2 n− 1
a
2 n . . .
a
n− 1 1
a
n− 1 2
. a
n− 1 n− 1
a
n− 1 n
1 1... 1 1
n− 1
. det Vn(a 1 , a 2 , ..., an)
1. Định thức 9
Định thức Cauchy
Ma trận Cauchy là ma trận vuông cấp n, A = (aij), ở đó aij =
1 xi+yj
. Bằng phương pháp
quy nạp, ta sẽ chứng minh
det A =
Πi>j(xi − xj)(yi − yj)
Πi,j(xi + xj)
Trước hết lấy mỗi cột từ 1 đến n − 1 trừ đi cột cuối cùng, ta được
a
′ ij = (xi^ +^ yj)
− 1 − (xi + yn)
− 1 = (yn − yj)(xi + yn)
− 1 (xi + yj)
− 1 với j 6 = n.
Đưa nhân tử (xi + yn)
− 1 ở mỗi hàng, và yn − yj ở mỗi cột trừ cột cuối cùng ra khỏi định
thức ta sẽ thu được định thức |bij|
n i,j= 1
, ở đó bij = aij với j 6 = n và bin = 1.
Tiếp theo, lấy mỗi hàng từ 1 đến n − 1 trừ đi hàng cuối cùng. Đưa nhân tử xn − xi ở
mỗi hàng trừ hàng cuối cùng, và nhân tử (xn + yj)
− 1 ở mỗi cột trừ cột cuối cùng, ta sẽ thu
được công thức truy hồi định thức Cauchy cấp n qua cấp n − 1.
Định thức Frobenius
Ma trận có dạng
0 1 0... 0 0
a 0 a 1 a 2... an− 2 an− 1
được gọi là ma trận Frobenius, hay ma trận bạn của đa thức
p( λ ) = λ
n − an− 1 λ
n− 1 − an− 2 λ
n− 2 −... − a 0.
Khai triển định thức Frobenius theo hàng thứ nhất, các bạn có thể dễ dàng thu được công
thức sau:
det( λ I − A) = p( λ )
10 Chương 1. Ma trận - Định thức
Định thức của ma trận ba đường chéo
Ma trận ba đường chéo là ma trận vuông J = (aij)
n i,j= 1
, ở đó aij = 0 với |i − j| > 1. Đặt
ai = aii, bi = ai,i+ 1 , ci = ai+1,i, ma trận ba đường chéo khi đó có dạng:
a 1 b 1 0... 0 0 0
c 1 a 2 b 2... 0 0 0
0 c 2 a 3
. (^) an− 2 bn− 2 0
0 0 0... cn− 2 an− 1 bn− 1
0 0 0... 0 cn− 1 an
Khai triển định thức của ma trận trên theo hàng thứ k, ta được
∆k = ak ∆k− 1 − bk− 1 ck∆k− 2 với k ≥ 2, ở đó ∆k = det(aij)
k i,j= 1.
Công thức truy hồi trên đã khẳng định rằng định thức ∆n không những chỉ phụ thuộc vào
các số bi, cj mà còn phụ thuộc vào bici. Trong trường hợp đặc biệt, kí hiệu
(a 1... an)
a 1 1 0... 0 0 0
− 1 a 2 1... 0 0 0
0 − 1 a 3
. (^) an− 2 1 0
0 0 0... − 1 an− 1 1
0 0 0... 0 − 1 an
ta có công thức truy hồi thông qua liên phân số sau:
(a 1 a 2... an)
(a 2 a 3... an)
= a 1 +
a 2 +
1
a 3 +
an− 1 + (^) an^1
Định thức của ma trận khối
Giả sử A =
, ở đó A 11 và A 22 là các ma trận vuông cấp m và cấp n tương
ứng. Đặt D là một ma trận vuông cấp m và B là ma trận cỡ n × m.
Định lý 1.2.
∣ ∣ ∣ ∣ ∣
= |D|.|A| và
12 Chương 1. Ma trận - Định thức
Bài tập 1.20. Cho k 1 ,... , kn ∈ Z , tính |aij|
n 1
, ở đó aij =
1 (ki+j−i)!
với ki + j − i ≥ 0
0 với ki + j − i < 0
Bài tập 1.21. Cho sk = p 1 x
k 1
+... + pn x
k n^ , và^ ai,j =^ si+j^. Chứng minh rằng
|aij|
n− 1 0 =^ p^1...^ pnΠi>j(xi^ −^ xj)
2 .
Bài tập 1.22. Cho s = x
k 1
+... + x
k n^. Tính
∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣
s 0 s 1... sn− 1 1
s 1 s 2... sn y
. . .
sn sn+ 1... s 2 n− y
n
Bài tập 1.23. Cho aij = (xi + yj)
n
. Chứng minh rằng
|aij|
n 0 =^ C
n 1 C
n 2...^ C
n n Πi>k(xi^ −^ xk)(yk^ −^ yi).
Bài tập 1.24. Cho bij = (− 1 )
i+j aij. Chứng minh rằng |aij|
n 1
= |bij|
n 1
Bài tập 1.25. Cho ∆n(k) = |aij|
n 0
, ở đó aij = C
k+i 2 j
. Chứng minh rằng
∆n(k) =
k(k + 1 )... (k + n − 1 )
1.3... ( 2 n − 1 )
∆n− 1 (k − 1 ).
Bài tập 1.26. Cho Dn = |aij|
n 0
, ở đó aij = C
n 2 j− 1
. Chứng minh rằng Dn = 2
n(n+ 1 )/ .
Bài tập 1.27. Cho A =
và B =
, ở đó A 11 , B 11 , A 22 , B 22 là các ma
trận vuông cùng cấp và rank A 11 = rank A, rank B 11 = rank B. Chứng minh rằng
2. Định thức con và phần phụ đại số 13
§ 2. ĐỊNH THỨC CON VÀ PHẦN PHỤ ĐẠI SỐ
2.1 Các định nghĩa và tính chất
Định nghĩa 1.3. Ma trận mà các phần tử của nó là giao của p hàng và p cột của ma trận
vuông A được gọi là ma trận con cấp p của A. Định thức tương ứng được gọi là định thức
con cấp p. Kí hiệu
i 1... ip
k 1... kp
ai 1 k 1
ai 1 k 2
... ai 1 kp . . .
ai p k 1
ai p k 2
... ai p kp
Nếu i 1 = k 1 ,... , ip = kp thì định thức con được gọi là định thức con chính cấp p.
Định nghĩa 1.4. Định thức con khác 0 có bậc cao nhất được gọi là định thức con cơ sở và
cấp của nó được gọi là hạng của ma trận A.
Định lý 1.5. Nếu A
i 1... ip
k 1... kp
là một định thức con cơ sở của A , thì các hàng của ma
trận A là tổ hợp tuyến tính của các hàng i 1 ,... , ip của nó, và các hàng i 1 ,... , ip này độc lập
tuyến tính.
Hệ quả 1.6. Hạng của một ma trận bằng số các hàng (cột) độc lập tuyến tính lớn nhất
của nó.
Định lý 1.7 (Công thức Binet - Cauchy). Giả sử A và B là các ma trận cỡ n × m và
m × n tương ứng và n ≤ m. Khi đó
det AB = (^) ∑
1 ≤k 1 <k 2 <...<kn≤m
Ak 1 ...kn^
k 1 ...kn ,
ở đó Ak 1 ...kn
là định thức con thu được từ các cột k 1 ,... , kn của A và B
k 1 ...kn là định thức con
thu được từ các hàng k 1 ,... , kn của B.
Kí hiệu Aij = (− 1 )
i+j Mij, ở đó Mij là định thức của ma trận thu được từ ma trận A bằng
cách bỏ đi hàng thứ i và cột thứ j, nó được gọi là phần bù đại số của phần tử aij. Khi đó ma
trận adj A = (Aij)
T được gọi là ma trận liên hợp của ma trận A. Ta có công thức sau:
A. adj(A) = det A.I
Định lý 1.8. Toán tử adj có các tính chất sau:
2. Định thức con và phần phụ đại số 15
Bài tập 1.29. Chứng minh rằng
a 11... a 1 n x 1
. .
....
. vdots
an 1... ann xn
y 1... yn 0
= − (^) ∑
i,j
xiyj Aij,
ở đó Aij là phần bù đại số của phần tử aij.
Bài tập 1.30. Chứng minh rằng tổng của các định thức con chính cấp k của A
T A bằng
tổng bình phương các định thức con chính cấp k của A.
Bài tập 1.31. Cho A, B là các ma trận vuông cấp n. Tính
− 1
Bài tập 1.32. Tìm một ví dụ một ma trận vuông cấp n mà các phần bù đại số của nó đều
bằng 0, ngoại trừ phần tử nằm ở hàng i và cột j.
Bài tập 1.33. Cho x và y là các cột có độ dài n. Chứng minh rằng
adj(I − xy)
T = xy
T
T x)I.
Bài tập 1.34. Cho A là một ma trận phản xứng. Chứng minh rằng adj(A) là một ma trận
phản xứng nếu n lẻ và đối xứng nếu n chẵn.
Bài tập 1.35. Cho A là một ma trận phản xứng cấp n với các phần tử trên đường chéo
chính bằng 1. Tính adj A.
Bài tập 1.36. Tìm tất cả các ma trận A có các phần tử không âm sao cho tất cả các phần
tử của ma trận A
− 1 cũng không âm.
Bài tập 1.37. Cho e = exp( 2 π i/n) và A = (aij)
n 1
với aij = e
ij
. Tính A
− 1 .
Bài tập 1.38. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận Vandermonde V.
16 Chương 1. Ma trận - Định thức
§ 3. PHẦN BÙ SCHUR
3.1 Các định nghĩa và tính chất
Cho P =
là một ma trận khối, ở đó A, D là các ma trận vuông. Để tính định
thức của ma trận P, ta có thể phân tích P dưới dạng sau:
Nếu A là một ma trận khả nghịch thì các phương trình B = AY và D = CY + X có nghiệm
lần lượt là Y = A
− 1 B và X = D − CA
− 1 B.
Định nghĩa 1.14. Ma trận D − CA
− 1 B được gọi là phần bù Schur của ma trận khả nghịch
A trong P , và được kí hiệu là (P|A).
Dễ dàng nhận thấy rằng
det P = det A det(P|A).
Mặt khác, (
A AY
nên phương trình ( ?? ) có thể được viết dưới dạng sau:
− 1 B
− 1 I
− 1 B
Tương tự, nếu D là ma trận khả nghịch, thì
− 1
− 1 C 0
− 1 C I
Định lý 1.15.
− 1 B| ;
− 1 C|.|D|.
− 1
− 1 BX
− 1 CA
− 1 −A
− 1 BX
− 1
− 1 CA
− 1 X
− 1
, ở đó X = (P|A).
18 Chương 1. Ma trận - Định thức
KHÔNG GIAN VÉCTƠ - ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
§ 1. KHÔNG GIAN ĐỐI NGẪU - PHẦN BÙ TRỰC GIAO
1.1 Không gian đối ngẫu
Định nghĩa 2.1. Với mỗi không gian véctơ V trên trường K , không gian tuyến tính V
∗
mà các phần tử của nó là các ánh xạ tuyến tính trên V , nghĩa là, ánh xạ f : V → K sao
cho
f ( λ 1 v 1 + λ 2 v 2 ) = λ 1 f (v 1 ) + λ 2 f (v 2 ) với mọi λ 1 , λ 2 ∈ K và v 1 , v 2 ∈ V,
được gọi là không gian đối ngẫu với không gian V.
Định lý 2.2. Cho V là không gian Ơclit n chiều, chứng minh điều kiện cần và đủ để ánh
xạ f : V → R tuyến tính là tồn tại véctơ a cố định của V để f (x) =< a, x >, ∀x ∈ V
Chú ý 2.3. Khi đó không gian V
∗ có thể được coi như đồng nhất với không gian V.
Chứng minh. ⇐ Điều kiện đủ: Dễ dàng chứng minh ánh xạ f (x) =< a, x >, ∀x ∈ V là
ánh xạ tuyến tính với mỗi vectơ a cố định đã được chọn trước.
⇒ Điều kiện cần: Giả sử f : V → V là một ánh xạ tuyến tính bất kỳ.
(a) Nếu f ≡ 0 thì ta chọn vectơ a = 0 thoả mãn yêu cầu bài toán.
(b) Nếu f 6 ≡ 0. Ta sẽ chứng minh dimKer f = n − 1. Thật vậy, vì f 6 ≡ 0 nên tồn
tại ít nhất một vectơ y ∈ V, y 6 ∈ Ker f. Cố định một vectơ y như vậy, khi đó với
mỗi x ∈ V, đặt λ =
f (x)
f (y)
, z = x − λ y = x −
f (x)
f (y)
y thì f (z) = 0 ⇒ z ∈ Ker f.
Ta có x = z + λ y , tức là mỗi vectơ x ∈ V thừa nhận phân tích thành tổng của
2 vectơ, một vectơ thuộc Ker f và một vectơ thuộc spany. Điều đó có nghĩa là
