Docsity
Docsity

Prepare for your exams
Prepare for your exams

Study with the several resources on Docsity


Earn points to download
Earn points to download

Earn points by helping other students or get them with a premium plan


Guidelines and tips
Guidelines and tips

Matrix Jordan Canonical Form and Properties, Study notes of Linear Algebra

Definitions and properties of the jordan canonical form of matrices, including the schur complement and the relationship between hermitian and positive definite matrices. It also covers topics such as eigenvalues, eigenvectors, and the determinant of a matrix.

Typology: Study notes

2021/2022

Uploaded on 01/23/2024

hoang-le-phuc
hoang-le-phuc 🇻🇳

2 documents

1 / 64

Toggle sidebar

This page cannot be seen from the preview

Don't miss anything!

bg1
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA NỘI
VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG & TIN HỌC
BÙI XUÂN DIỆU
Bài Giảng
OLYMPIC SINH VIÊN MÔN ĐẠI SỐ
ĐỊNH THỨC, H PƠNG TNH TUYẾN NH, MA TRẬN ÁNH X
TUYẾN NH, ĐA THỨC
Tóm tắt thuyết, các dụ, bài tập lời giải
Dresden (Germany) - 2012
pf3
pf4
pf5
pf8
pf9
pfa
pfd
pfe
pff
pf12
pf13
pf14
pf15
pf16
pf17
pf18
pf19
pf1a
pf1b
pf1c
pf1d
pf1e
pf1f
pf20
pf21
pf22
pf23
pf24
pf25
pf26
pf27
pf28
pf29
pf2a
pf2b
pf2c
pf2d
pf2e
pf2f
pf30
pf31
pf32
pf33
pf34
pf35
pf36
pf37
pf38
pf39
pf3a
pf3b
pf3c
pf3d
pf3e
pf3f
pf40

Partial preview of the text

Download Matrix Jordan Canonical Form and Properties and more Study notes Linear Algebra in PDF only on Docsity!

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG & TIN HỌC

BÙI XUÂN DIỆU

Bài Giảng

OLYMPIC SINH VIÊN MÔN ĐẠI SỐ

ĐỊNH THỨC, HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH, MA TRẬN VÀ ÁNH XẠ

TUYẾN TÍNH, ĐA THỨC

Tóm tắt lý thuyết, các ví dụ, bài tập và lời giải

Dresden (Germany) - 2012

MỤC LỤC

  • Mục lục
  • Chương 1 Ma trận - Định thức
    • 1 Định thức
      • 1.1 Các tính chất cơ bản của định thức
      • 1.2 Các định thức đặc biệt
      • 1.3 Bài tập
    • 2 Định thức con và phần phụ đại số
      • 2.1 Các định nghĩa và tính chất
      • 2.2 Bài tập
    • 3 Phần bù Schur
      • 3.1 Các định nghĩa và tính chất
      • 3.2 Bài tập
  • Chương 2 Không gian véctơ - Ánh xạ tuyến tính
    • 1 Không gian đối ngẫu - Phần bù trực giao
      • 1.1 Không gian đối ngẫu
      • 1.2 Phần bù trực giao
      • 1.3 Bài tập
    • 2 Hạt nhân và ảnh - Không gian thương
      • 2.1 Hạt nhân và ảnh
      • 2.2 Không gian thương
      • 2.3 Bài tập
    • 3 Cơ sở của không gian véctơ - Độc lập tuyến tính
      • 3.1 Bài toán đổi cơ sở
      • 3.2 Bài tập
    • 4 Hạng của ma trận
      • 4.1 Các tính chất của hạng của ma trận
      • 4.2 Bài tập
  • Chương 3 Dạng chính tắc của ma trận và toán tử tuyến tính 2 MỤC LỤC
    • 1 Vết của ma trận
    • 2 Cấu trúc của tự đồng cấu
      • 2.1 Trị riêng và véctơ riêng
      • 2.2 Tự đồng cấu chéo hoá được
      • 2.3 Đa thức tối tiểu
      • 2.4 Bài tập
    • 3 Dạng chuẩn của ma trận
      • 3.1 Dạng chuẩn Jordan của ma trận
      • 3.2 Dạng chuẩn Frobenius
      • 3.3 Bài tập
    • 4 Biểu diễn ma trận
      • 4.1 Rút gọn một ma trận về ma trận dạng đường chéo đơn giản
      • 4.2 Biểu ma trận dưới dạng tọa độ cực
      • 4.3 Biểu diễn Schur
      • 4.4 Biểu diễn Lanczos
      • 4.5 Bài tập
  • Chương 4 Các ma trận có dạng đặc biệt
    • 1 Ma trận đối xứng - Ma trận Hermitian
      • 1.1 Các định nghĩa và tính chất
      • 1.2 Bài tập
    • 2 Ma trận phản xứng
      • 2.1 Các định nghĩa và tính chất
      • 2.2 Bài tập
    • 3 Ma trận trực giao - Phép biến đổi Cayley
      • 3.1 Các định nghĩa và tính chất
      • 3.2 Bài tập
    • 4 Ma trận chuẩn tắc
      • 4.1 Các định nghĩa và tính chất
      • 4.2 Bài tập
    • 5 Ma trận luỹ linh
      • 5.1 Các định nghĩa và tính chất
      • 5.2 Bài tập
    • 6 Toán tử chiếu - Ma trận lũy đẳng
      • 6.1 Các định nghĩa và tính chất
      • 6.2 Bài tập
    • 7 Ma trận đối hợp
  • MỤC LỤC
    • 8 Ma trận hoán vị (hay còn gọi là ma trận giao hoán)
      • 8.1 Định nghĩa
      • 8.2 Bài tập
  • Chương 5 Các bất đẳng thức ma trận
    • 1 Các bất đẳng thức cho ma trận đối xứng và Hermitian
      • 1.1 Các định lý cơ bản
      • 1.2 Bài tập
    • 2 Các bất đẳng thức cho trị riêng
      • 2.1 Các bất đẳng thức cơ bản
      • 2.2 Bài tập
  • Chương 6 Đa thức

4 MỤC LỤC

6 Chương 1. Ma trận - Định thức

  1. det(AB) = det A det B.
  2. det(A

T ) = detA.

1.2 Các định thức đặc biệt

Định thức Vandermonde

Ma trận Vandermonde cấp n là ma trận vuông cấp n có dạng

Vn(a 1 , a 2 , ..., an) =

a 1

a 2

... a n− 1

an

a

2 1

a

2 2...^ a

2 n− 1

a

2 n . . .

a

n− 1 1

a

n− 1 2...^ a

n− 1 n− 1

a

n− 1 n

Định lý 1.1. Chứng minh rằng det Vn(a 1 , a 2 , ..., an) = (^) ∏

16 i<j 6 n

(aj − ai ). Từ đó suy ra hệ

Vn(a 1 , a 2 , ..., an).X = 0 chỉ có nghiệm tầm thường khi và chỉ khi a 1 , a 2 ,... , an đôi một phân

biệt.

Một ứng dụng thú vị của định thức Vandermonde là bài toán sau:

Bài tập 1.1. Cho A là một ma trận vuông cấp n. Khi đó

A

n = 0 ⇔ tr(A

k ) = 0, k = 0, 1, 2,... , n

Chứng minh. ⇒ Nếu A

n = 0 thì A là một ma trận lũy linh, do đó A chỉ có các trị riêng

bằng 0 , nên A

k cũng chỉ có các trị riêng bằng 0 với mọi k. Suy ra điều phải chứng minh.

⇐ Giả sử các giá trị riêng của A là λ 1 , λ 2 ,... , λ n. Khi đó từ tr(A

k ) = 0, k = 0, 1, 2,... , n ta

có hệ phương trình:      

λ 1 + λ 2 +... + λ n = 0

λ

2 1

  • λ

2 2

+... + λ

2 n =^0

.. .

λ

n 1

  • λ

n 2

+... + λ

n n =^0

hay

Vn( λ 1 , λ 2 ,... , λ n)( λ 1 , λ 2 ,... , λ n)

T = 0.

Ta sẽ chứng minh tất cả các giá trị riêng của A bằng nhau. Thật vậy:

Nếu λ i đôi một phân biệt thì định thức Vandermonde khác không, hệ phương trình trên

chỉ có nghiệm duy nhất λ 1 , λ 2 ,... , λ n = 0. Mâu thuẫn.

1. Định thức 7

Ngược lại, không mất tính tổng quát, giả sử λ 1 = λ 2 và không một giá trị λ i còn lại nào

bằng nhau. Khi đó hệ phương trình được viết lại dưới dạng

Vn− 1 ( λ 2 ,... , λ n)( 2 λ 2 ,... , λ n)

T = 0

Lập luận tương tự ta có λ 2 =... = λ n = 0 , mâu thuẫn.

Vậy tất cả các trị riêng của A bằng nhau và do đó bằng 0.

Bài tập 1.2. Chứng minh rằng với các số nguyên k 1 < k 2 < ... < kn bất kì thì

det Vn(k 1 , k 2 , ..., kn)

det Vn(1, 2, ..., n)

là một số nguyên.

Bài tập 1.3. Cho W là ma trận có được từ ma trận V = Vn(a 1 , a 2 , ..., an) bằng cách thay

hàng (a

n− 1 1

, a

n− 1 2

, ..., a

n− 1 n )^ bởi hàng^ (a

n 1

, a

n 2

, ..., a

n n)^. Chứng minh rằng

det W = (a 1 + a 2 + ... + an) det V.

Bài tập 1.4. Chứng minh rằng

det

a 1

a 2... a n− 1

an

. . .

a

n− 2 1

a

n− 2 2

. a

n− 2 n− 1

a

n− 2 n

a 2 a 3 ...an a 1 a 3 ...an... a 1 a 2 ...an− 2 an a 1 a 2 ...an− 1

n− 1

. det Vn(a 1 , a 2 , ..., an)

Chứng minh. • Nếu a 1 , a 2 ,... , an 6 = 0 thì nhân cột thứ nhất với a 1 , cột thứ hai với a 2 ,... ,

cột thứ n với an rồi chia cho a 1 a 2... an ta được

det

a 1

a 2... a n− 1

an

. . .

a

n− 2 1

a

n− 2 2

. a

n− 2 n− 1

a

n− 2 n

a 2 a 3 ...an a 1 a 3 ...an... a 1 a 2 ...an− 2 an a 1 a 2 ...an− 1

a 1 a 2... an

. det

a 1 a 2... an− 1 an

a

2 1

a

2 2

... a

2 n− 1

a

2 n . . .

a

n− 1 1

a

n− 1 2

. a

n− 1 n− 1

a

n− 1 n

1 1... 1 1

n− 1

. det Vn(a 1 , a 2 , ..., an)

  • Trường hợp có ít nhất một trong các số a 1 , a 2 ,... , an bằng 0 (xét riêng).

1. Định thức 9

Định thức Cauchy

Ma trận Cauchy là ma trận vuông cấp n, A = (aij), ở đó aij =

1 xi+yj

. Bằng phương pháp

quy nạp, ta sẽ chứng minh

det A =

Πi>j(xi − xj)(yi − yj)

Πi,j(xi + xj)

Trước hết lấy mỗi cột từ 1 đến n − 1 trừ đi cột cuối cùng, ta được

a

′ ij = (xi^ +^ yj)

− 1 − (xi + yn)

− 1 = (yn − yj)(xi + yn)

− 1 (xi + yj)

− 1 với j 6 = n.

Đưa nhân tử (xi + yn)

− 1 ở mỗi hàng, và yn − yj ở mỗi cột trừ cột cuối cùng ra khỏi định

thức ta sẽ thu được định thức |bij|

n i,j= 1

, ở đó bij = aij với j 6 = n và bin = 1.

Tiếp theo, lấy mỗi hàng từ 1 đến n − 1 trừ đi hàng cuối cùng. Đưa nhân tử xn − xi ở

mỗi hàng trừ hàng cuối cùng, và nhân tử (xn + yj)

− 1 ở mỗi cột trừ cột cuối cùng, ta sẽ thu

được công thức truy hồi định thức Cauchy cấp n qua cấp n − 1.

Định thức Frobenius

Ma trận có dạng

          

0 1 0... 0 0

a 0 a 1 a 2... an− 2 an− 1

được gọi là ma trận Frobenius, hay ma trận bạn của đa thức

p( λ ) = λ

n − an− 1 λ

n− 1 − an− 2 λ

n− 2 −... − a 0.

Khai triển định thức Frobenius theo hàng thứ nhất, các bạn có thể dễ dàng thu được công

thức sau:

det( λ I − A) = p( λ )

10 Chương 1. Ma trận - Định thức

Định thức của ma trận ba đường chéo

Ma trận ba đường chéo là ma trận vuông J = (aij)

n i,j= 1

, ở đó aij = 0 với |i − j| > 1. Đặt

ai = aii, bi = ai,i+ 1 , ci = ai+1,i, ma trận ba đường chéo khi đó có dạng:

             

a 1 b 1 0... 0 0 0

c 1 a 2 b 2... 0 0 0

0 c 2 a 3

. (^) an− 2 bn− 2 0

0 0 0... cn− 2 an− 1 bn− 1

0 0 0... 0 cn− 1 an

Khai triển định thức của ma trận trên theo hàng thứ k, ta được

∆k = ak ∆k− 1 − bk− 1 ck∆k− 2 với k ≥ 2, ở đó ∆k = det(aij)

k i,j= 1.

Công thức truy hồi trên đã khẳng định rằng định thức ∆n không những chỉ phụ thuộc vào

các số bi, cj mà còn phụ thuộc vào bici. Trong trường hợp đặc biệt, kí hiệu

(a 1... an)

a 1 1 0... 0 0 0

− 1 a 2 1... 0 0 0

0 − 1 a 3

. (^) an− 2 1 0

0 0 0... − 1 an− 1 1

0 0 0... 0 − 1 an

ta có công thức truy hồi thông qua liên phân số sau:

(a 1 a 2... an)

(a 2 a 3... an)

= a 1 +

a 2 +

1

a 3 +

an− 1 + (^) an^1

Định thức của ma trận khối

Giả sử A =

A 11 A 12

A 21 A 22

, ở đó A 11 và A 22 là các ma trận vuông cấp m và cấp n tương

ứng. Đặt D là một ma trận vuông cấp m và B là ma trận cỡ n × m.

Định lý 1.2.

∣ ∣ ∣ ∣ ∣

DA 11 DA 12

A 21 A 22

= |D|.|A| và

A 11 A 12

A 21 + BA 11 A 22 + BA 12

= |A|.

12 Chương 1. Ma trận - Định thức

Bài tập 1.20. Cho k 1 ,... , kn ∈ Z , tính |aij|

n 1

, ở đó aij =

1 (ki+j−i)!

với ki + j − i ≥ 0

0 với ki + j − i < 0

Bài tập 1.21. Cho sk = p 1 x

k 1

+... + pn x

k n^ , và^ ai,j =^ si+j^. Chứng minh rằng

|aij|

n− 1 0 =^ p^1...^ pnΠi>j(xi^ −^ xj)

2 .

Bài tập 1.22. Cho s = x

k 1

+... + x

k n^. Tính

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

s 0 s 1... sn− 1 1

s 1 s 2... sn y

. . .

sn sn+ 1... s 2 n− y

n

Bài tập 1.23. Cho aij = (xi + yj)

n

. Chứng minh rằng

|aij|

n 0 =^ C

n 1 C

n 2...^ C

n n Πi>k(xi^ −^ xk)(yk^ −^ yi).

Bài tập 1.24. Cho bij = (− 1 )

i+j aij. Chứng minh rằng |aij|

n 1

= |bij|

n 1

Bài tập 1.25. Cho ∆n(k) = |aij|

n 0

, ở đó aij = C

k+i 2 j

. Chứng minh rằng

∆n(k) =

k(k + 1 )... (k + n − 1 )

1.3... ( 2 n − 1 )

∆n− 1 (k − 1 ).

Bài tập 1.26. Cho Dn = |aij|

n 0

, ở đó aij = C

n 2 j− 1

. Chứng minh rằng Dn = 2

n(n+ 1 )/ .

Bài tập 1.27. Cho A =

A 11 A 12

A 21 A 22

và B =

B 11 B 12

B 21 B 22

, ở đó A 11 , B 11 , A 22 , B 22 là các ma

trận vuông cùng cấp và rank A 11 = rank A, rank B 11 = rank B. Chứng minh rằng

A 11 B 12

A 21 B 22

A 11 A 12

B 21 B 22

= |A + B|.|A 11 |.|B 22 |

2. Định thức con và phần phụ đại số 13

§ 2. ĐỊNH THỨC CON VÀ PHẦN PHỤ ĐẠI SỐ

2.1 Các định nghĩa và tính chất

Định nghĩa 1.3. Ma trận mà các phần tử của nó là giao của p hàng và p cột của ma trận

vuông A được gọi là ma trận con cấp p của A. Định thức tương ứng được gọi là định thức

con cấp p. Kí hiệu

A

i 1... ip

k 1... kp

ai 1 k 1

ai 1 k 2

... ai 1 kp . . .

ai p k 1

ai p k 2

... ai p kp

Nếu i 1 = k 1 ,... , ip = kp thì định thức con được gọi là định thức con chính cấp p.

Định nghĩa 1.4. Định thức con khác 0 có bậc cao nhất được gọi là định thức con cơ sở và

cấp của nó được gọi là hạng của ma trận A.

Định lý 1.5. Nếu A

i 1... ip

k 1... kp

là một định thức con cơ sở của A , thì các hàng của ma

trận A là tổ hợp tuyến tính của các hàng i 1 ,... , ip của nó, và các hàng i 1 ,... , ip này độc lập

tuyến tính.

Hệ quả 1.6. Hạng của một ma trận bằng số các hàng (cột) độc lập tuyến tính lớn nhất

của nó.

Định lý 1.7 (Công thức Binet - Cauchy). Giả sử A và B là các ma trận cỡ n × m và

m × n tương ứng và n ≤ m. Khi đó

det AB = (^) ∑

1 ≤k 1 <k 2 <...<kn≤m

Ak 1 ...kn^

B

k 1 ...kn ,

ở đó Ak 1 ...kn

là định thức con thu được từ các cột k 1 ,... , kn của A và B

k 1 ...kn là định thức con

thu được từ các hàng k 1 ,... , kn của B.

Kí hiệu Aij = (− 1 )

i+j Mij, ở đó Mij là định thức của ma trận thu được từ ma trận A bằng

cách bỏ đi hàng thứ i và cột thứ j, nó được gọi là phần bù đại số của phần tử aij. Khi đó ma

trận adj A = (Aij)

T được gọi là ma trận liên hợp của ma trận A. Ta có công thức sau:

A. adj(A) = det A.I

Định lý 1.8. Toán tử adj có các tính chất sau:

2. Định thức con và phần phụ đại số 15

Bài tập 1.29. Chứng minh rằng

a 11... a 1 n x 1

. .

....

. vdots

an 1... ann xn

y 1... yn 0

= − (^) ∑

i,j

xiyj Aij,

ở đó Aij là phần bù đại số của phần tử aij.

Bài tập 1.30. Chứng minh rằng tổng của các định thức con chính cấp k của A

T A bằng

tổng bình phương các định thức con chính cấp k của A.

Bài tập 1.31. Cho A, B là các ma trận vuông cấp n. Tính

I A C

0 I B

0 0 I

− 1

Bài tập 1.32. Tìm một ví dụ một ma trận vuông cấp n mà các phần bù đại số của nó đều

bằng 0, ngoại trừ phần tử nằm ở hàng i và cột j.

Bài tập 1.33. Cho x và y là các cột có độ dài n. Chứng minh rằng

adj(I − xy)

T = xy

T

  • ( 1 − y

T x)I.

Bài tập 1.34. Cho A là một ma trận phản xứng. Chứng minh rằng adj(A) là một ma trận

phản xứng nếu n lẻ và đối xứng nếu n chẵn.

Bài tập 1.35. Cho A là một ma trận phản xứng cấp n với các phần tử trên đường chéo

chính bằng 1. Tính adj A.

Bài tập 1.36. Tìm tất cả các ma trận A có các phần tử không âm sao cho tất cả các phần

tử của ma trận A

− 1 cũng không âm.

Bài tập 1.37. Cho e = exp( 2 π i/n) và A = (aij)

n 1

với aij = e

ij

. Tính A

− 1 .

Bài tập 1.38. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận Vandermonde V.

16 Chương 1. Ma trận - Định thức

§ 3. PHẦN BÙ SCHUR

3.1 Các định nghĩa và tính chất

Cho P =

A B

C D

là một ma trận khối, ở đó A, D là các ma trận vuông. Để tính định

thức của ma trận P, ta có thể phân tích P dưới dạng sau:

A B

C D

A 0

C I

I Y

0 X

A AY

C CY + X

Nếu A là một ma trận khả nghịch thì các phương trình B = AY và D = CY + X có nghiệm

lần lượt là Y = A

− 1 B và X = D − CA

− 1 B.

Định nghĩa 1.14. Ma trận D − CA

− 1 B được gọi là phần bù Schur của ma trận khả nghịch

A trong P , và được kí hiệu là (P|A).

Dễ dàng nhận thấy rằng

det P = det A det(P|A).

Mặt khác, (

A AY

C CY + X

A 0

C X

I Y

0 I

nên phương trình ( ?? ) có thể được viết dưới dạng sau:

P =

A 0

C P|A

I A

− 1 B

0 I

I 0

CA

− 1 I

A 0

0 P|A

I A

− 1 B

0 I

Tương tự, nếu D là ma trận khả nghịch, thì

P =

I BD

− 1

0 I

A − BD

− 1 C 0

0 D

I 0

D

− 1 C I

Định lý 1.15.

  1. Nếu |A| 6 = 0 thì |P| = |A|.|D − CA

− 1 B| ;

  1. Nếu |D| 6 = 0 thì |P| = |A − BD

− 1 C|.|D|.

3. P

− 1

A

− 1

  • A

− 1 BX

− 1 CA

− 1 −A

− 1 BX

− 1

−X

− 1 CA

− 1 X

− 1

, ở đó X = (P|A).

18 Chương 1. Ma trận - Định thức

CHƯƠNG 2

KHÔNG GIAN VÉCTƠ - ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

§ 1. KHÔNG GIAN ĐỐI NGẪU - PHẦN BÙ TRỰC GIAO

1.1 Không gian đối ngẫu

Định nghĩa 2.1. Với mỗi không gian véctơ V trên trường K , không gian tuyến tính V

mà các phần tử của nó là các ánh xạ tuyến tính trên V , nghĩa là, ánh xạ f : V → K sao

cho

f ( λ 1 v 1 + λ 2 v 2 ) = λ 1 f (v 1 ) + λ 2 f (v 2 ) với mọi λ 1 , λ 2 ∈ K và v 1 , v 2 ∈ V,

được gọi là không gian đối ngẫu với không gian V.

Định lý 2.2. Cho V là không gian Ơclit n chiều, chứng minh điều kiện cần và đủ để ánh

xạ f : V → R tuyến tính là tồn tại véctơ a cố định của V để f (x) =< a, x >, ∀x ∈ V

Chú ý 2.3. Khi đó không gian V

∗ có thể được coi như đồng nhất với không gian V.

Chứng minh. ⇐ Điều kiện đủ: Dễ dàng chứng minh ánh xạ f (x) =< a, x >, ∀x ∈ V là

ánh xạ tuyến tính với mỗi vectơ a cố định đã được chọn trước.

⇒ Điều kiện cần: Giả sử f : V → V là một ánh xạ tuyến tính bất kỳ.

(a) Nếu f ≡ 0 thì ta chọn vectơ a = 0 thoả mãn yêu cầu bài toán.

(b) Nếu f 6 ≡ 0. Ta sẽ chứng minh dimKer f = n − 1. Thật vậy, vì f 6 ≡ 0 nên tồn

tại ít nhất một vectơ y ∈ V, y 6 ∈ Ker f. Cố định một vectơ y như vậy, khi đó với

mỗi x ∈ V, đặt λ =

f (x)

f (y)

, z = x − λ y = x −

f (x)

f (y)

y thì f (z) = 0 ⇒ z ∈ Ker f.

Ta có x = z + λ y , tức là mỗi vectơ x ∈ V thừa nhận phân tích thành tổng của

2 vectơ, một vectơ thuộc Ker f và một vectơ thuộc spany. Điều đó có nghĩa là