Docsity
Docsity

Prepare for your exams
Prepare for your exams

Study with the several resources on Docsity


Earn points to download
Earn points to download

Earn points by helping other students or get them with a premium plan


Guidelines and tips
Guidelines and tips

Models, Homogeneous Equations, Linearity, Variation of Parameters, Frequency Response-Differential Equations-Exam Paper, Exams of Differential Equations

Differentiation Equations course is one of basic course of science study. Its part of Mathematics, Computer Science, Physics, Engineering. This is past exam. It helps to prepare in coming paper. It includes: Models, Homogeneous, Equations, Linearity, Variation, Parameters, Frequency, Response, Overdamped, Characteristic, Polynomial

Typology: Exams

2011/2012

Uploaded on 08/07/2012

puja
puja 🇮🇳

4.3

(8)

92 documents

1 / 3

Toggle sidebar

This page cannot be seen from the preview

Don't miss anything!

bg1
�����
�����
�����
���
��������
����
����
��
����
����
�����
�����
��
�������
������
�����������
��������
��
���
��
���
����
an(t)x(n) + + a1(t) ˙x +···
a0(t)x = q(t)
��
ak(t)
���
�������������
���
����
����
������
�������
q(t)
������
����
��
�����
������
���
���������
x(t)
�������
���
������
���������
��
��
������
���
������
��
���������������������������
���
����������
���
���������
����
���
��������
���
�������
��
�����
��
���
�������������
���������
p(s) = ansn + + a1s + a0
��
···
p(D)x = q(t)
������
�������
p(s) = ms2 + bs + k
������
��������
x
��
�������
��
���
�����
��
������
��������
q(t) = Fext(t)
��
������
�������
���
�������
q(t) = ky(t)
y(t)
���
�������
��
���
���
���
��
���
��������
��
������
�������
���
��������
q(t) = my˙
y
���������
��
���
���
��
���������
��
�����������
����������
���
������
ert
������
p(D)x = 0
�������
����
p(r) = 0
��
r
��
������
����
���
�����
tert
����
�������
���
�������
��������
��
������
�����������
��
�����
������
���
��
���
����������
���
����
���
r = a + bi
����
b = 0
����
eat cos(bt)
���
eat sin(bt)
���
����������
����
����������
��
���
���
��
�������
����
����
����
���
���������
����
��
����
��
t
���
���
������
����������
��
����
p(s) = ms2 + bs + k
����
m > 0
���
b, k 0
���
��������
��
��������
��
���
�����
���
����
���
��������
k < b2/4m
��
���������
��
���
�����
���
���
����
k > b2/4m
��
���
����������
����
��
��
��
����
���
����������
����
k = b2
/4m
��
���
�����������
����
���
�������
��������
��
ebt/2m cos(ωdt φ)
�����
ωd = k ( b )2
��
���
����
��������
��������
m 2m
��
�������
�������������
��
��
p(D)x1 = q1(t)
���
p(D)x2 = q2(t)
����
x =
c1x1 + c2x2
������
p(D)x = c1q1(t) + c2q2(t)
c1, c2
����������
�����������
������
��
���
�������
��������
��
p(D)x = q(t)
��
x = xp + xh
�����
xp
��
��������
���
xh
��
���
�������
��������
��
p(D)x = 0
��
����������
��������
��������
��
p(r) = 0
����
Aert/p(r)
������
p(D)x = Aert
��
p(r) = 0
���
p(r) = 0
����
Atkert/p(r)
������
p(D)x = Aert
������
��
�������
������������
��
p(s)
���
����
����������
����
��������
��
p(D)x =
Aert cos(ωt)
���
����
�����
��
���������
��
p(D)z = Ae(r+)t
��
������������
�����������
����
p(s) = ansn + + a1s + a0
��
a0 = 0
����
···
p(D)x = bktk + + b1t + b0
���
�������
���
���������
���������
����
���
������
��
···
����
k
��
ak
��
���
����
�������
����������
����
���
���
������������
u = x(k)
���
�������
�����������
��
��������
��
xp
��
���
���
���������
��
�����������
��
�����
��
��������
��
�����������
����
p(D)x = f(t)ert
���
x = uert
����
�����
��
�������
��������
��
u
����
����
����
����
f(t)
��
����
����������
��
p(D)x = q(t)
����
y = x(t a)
������
p(D)y = q(t a)
����
����
��
�����
��
����������
����
��
q(t)
��
�������
��
��������
���������
��
�����
������
y
����������
q(t)
��
p(D)x = q(t)
����
y = ycx = eiωt
��
�����������
������
��������
���
���
����
H(ω)eiωt
���
����
�������
����
H(ω)
����������
�����
����
���
���
�����
����
���
�������
����
��
��������
����
����
y = A cos(ωt)
xp = g cos(ωt φ)
�����
g = |H(ω)|
��
���
����
���
φ =
Arg (H(ω))
��
���
�����
����
��
����
���������
���
����
���
�����
���
���
���
����
���
��
����������
�����
������
��
��������
���������
ω
docsity.com
pf3

Partial preview of the text

Download Models, Homogeneous Equations, Linearity, Variation of Parameters, Frequency Response-Differential Equations-Exam Paper and more Exams Differential Equations in PDF only on Docsity!

����� �����

�� ������� � ������ ����������� �������� �� ��� �� ��� ���� an(t)x (n)

  • · · ·+ a 1 (t) ˙x +

a 0 (t)x = q(t)� ��� ak(t) ��� ������������� ��� ���� ���� ������ � ������� q(t) ������ ����

�� ����� ������� ��� ��������� x(t) ������� ��� ������ ��������� �� ���� ������ ��� ������

�� ���������������������������� ��� ���������� ��� ��������� ���� ��� �������� ���

�� ������� �� ����� �� ��� �������������� ���������� p(s) = ansn^ + · · ·+ a 1 s + a 0 ��

p(D)x = q(t)�

������ ������� p(s) = ms^2 + bs + k� ������ �������� x �� �������� �� ��� ����� �� ������

��������� q(t) = Fext(t)� �� ������ ������� ��� ������� q(t) = ky(t) �y(t) ��� �������� ��

��� ��� ��� �� ��� �������� �� ������ �������� ��� �������� q(t) = my˙ �y��������� �� ���

��� �� ���������

�� ����������� ���������� ��� ������ ert^ ������ p(D)x = 0 ������� ���� p(r) = 0�

�� r �� � ������ ���� ��� ����� tert^ ���� ������� ��� ������� �������� �� � ������ �����������

�� ����� ������ ��� �� ��� ���������� ��� ���� ��� r = a + bi ���� b = 0 ���� eat^ cos(bt)

��� eat^ sin(bt) ��� ����������� ���� ���������� �� ��� ����� ���� �������� ���� ���� ���� ���

��������� ����� �� ���� �� t → ∞ ��� ��� ������ ����������� �� ���� p(s) = ms 2

  • bs + k

���� m > 0 ��� b, k ≥ 0 � ��� �������� �� ���������� �� ��� ����� ��� ���� ��� ��������

�k < b 2 / 4 m�� ����������� �� ��� ����� ��� ��� ���� �k > b 2 / 4 m�� ��� ���������� ������

�� ����� �� ���� ��� ���������� ���� �k = b^2 � / 4 m�� �� ��� ����������� ���� ��� �������

�������� �� e−bt/^2 m^ cos(ωdt − φ) ����� ωd = k − ( b m 2 m)^2 ��^ ���^ ������^ ��������^ ����������

�� ���������� ������������� ���� �� p(D)x 1 = q 1 (t) ��� p(D)x 2 = q 2 (t)� ���� x =

c 1 x 1 + c 2 x 2 ������ p(D)x = c 1 q 1 (t) + c 2 q 2 (t) �c 1 , c 2 ���������� ����������� ������ ����

��� ������� �������� �� p(D)x = q(t) �� x = xp + xh ����� xp �� � �������� ��� xh �� ���

������� �������� �� p(D)x = 0�

�� ����������� �������� �������� �� p(r) = 0 ���� Aert/p(r) ������ p(D)x = Aert�

�� p(r) = 0 ��� p � (r) = 0� ���� At k e rt /p � (r) ������ p(D)x = Ae rt � ������

�� ������� ������������ �� p(s) ��� ���� ���������� ���� ��������� �� p(D)x =

Aert^ cos(ωt) ��� ���� ����� �� ��������� �� p(D)z = Ae(r+iω)t�

�� ������������ ����������� ���� p(s) = ansn^ + · · · + a 1 s + a 0 � �� a 0 = 0� ����

p(D)x = bktk^ + · · ·+ b 1 t + b 0 ��� ������� ��� ���������� ��������� ����� ��� ������ ��

���� k� �� ak �� ��� ���� ������� ���������� ���� ���� ��� ������������ u = x (k) ���

������� ����������� �� �������� ��� xp ��� ��� ���� ��������� �� ����������� �� �� �����

�� ��������� �� ����������� �� ����� p(D)x = f (t)e rt � ��� x = ue rt � ���� ����� �� �

�������� �������� ��� u ���� ����� ���� ���� f (t)�

�� ���� ����������� �� p(D)x = q(t)� ���� y = x(t − a) ������ p(D)y = q(t − a)� ����

���� ��� ������� ��� ���������� ���� �� q(t) �� � �������

�� ��������� ��������� �� ����� ������ y ���������� q(t) �� p(D)x = q(t)� ����

y = ycx = eiωt� �� ����������� ������ �������� ��� ��� ���� H(ω)eiωt^ ��� ���� �������

������ H(ω)� ���������� ����� ���� ��� ��� ����� ���� ��� ������� ���� �� ���������

���� ���� y = A cos(ωt)� xp = g cos(ωt − φ) ����� g = |H(ω)| �� ��� ���� ��� φ =

−Arg (H(ω)) �� ��� ����� ���� �� ���� ���������� ��� ���� ��� ����� ��� ��� ��� ����

��� ��� ���������� ����� ������ �� �������� ��������� ω�

�������� ���� ����

m = 1� k = 25 ���� ��� ������� �������� b �� ��� ������ ���� �������� ���� ��� � �������

�������� x(t) �� x¨ + bx˙ + 25x = 0� x(π 6 ) = 0 ��� x(π) = 0� ��� x(t) > 0 ��� π 6 < t < π 2 �

��� �� ��� ������ ������������ ���������� ������� �� �����������

��� ��������� ��� ����� �� b�

�� ���� � �������� �� 3¨x + 2 ˙x + x = t^2 �

�� ���� � �������� �� x¨ + 3 ˙x + 2x = e−t�

�� ���� ������� �������� ��� ���������� �������� x(t) �� x¨ + 4 ˙x + 9x = cos(ωt)�

2

��� ��� ���� ����� �� ω �� ��� ��������� �� x( t) ��������

π ��� ��� ���� ����� �� ω �� ��� ����� ��� ������� 4 �

�� ��� �������� 2¨x + ˙x + x = y˙ ������ � ������� ������ �� ����� ��� ����� ������ ��

y ��� ��� ������ �������� �� x� �� ����� �� ���� � ���������� ����� ������ �� ��������

��������� ω� ��������� ��� ������� ���� �� � �������� �� ω� ��� ��� ���� ��� ����� ���

�� ω = 1�

d^3 x �� ���� � �������� �� + x = e −t cos t� dt^3

�� ������ ���� cos t ��� t ��� ���� ��������� �� ��� �������� p(D)x = q(t)� ��� � �������

���������� p(s) ��� � ������� �������� q(t)�

��� ����� ���� � ������� �������� �� ��� �������� p(D)x = 0�

��� ����� ���� � �������� x(t) �� p(D)x = q(t) ���� ���� x(0) = 2 �

��� ����� ���� � �������� �� ��� �������� p(D)x = q(t − 1)�