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Mecanica Cuantica : una teoria que explica muchas obervaciones relacionadas a la estructura y el comportamiento de la materia.
Operador : una operacion matematica definida
Ejemplos: 3 x 3 =
∫dx= x + c si fuera un integral definido le da el area bajo la curva
cos (Angulo) = numero = razon de dos lados de un triangulo
d (x
n
)/dx = (n)x
(n-1)
Operador Funcion = Valor Funcion
cuando se opera con el operador en una function y se obtiene la misma function
devuelta multiplicada por una constante decimos que la function es un autofuncion del operador que uso;
autofuncion contiene toda la informacion que yo necesito saber de la particula
valor constante es el autovalor de operador en la autofuncion y representa una observable. Una
observable es algo que se observa y se mide y representa el valor promedio de un numero infinito
de medidas de esa observable.
operador una operacion matematica
Movimiento en una dimension y una
sola direccion (+) de una particula
con masa (m)
Mueve en direccion positiva de x
(Operador momento)(autofuncion del momento)=(momento)(autofuncion del momento)
p = (h/i) (d/dx) operador del momento; h = constante de planck = 6.626 x 10
J.s / 2p ; i=(-1)
y
x
p
y
x
= p y
x
h/i (d/dx) y
x
= p y
x
La unica function que puede hacer eso es Ae
kx
o Ae
ikx
; con la k= constante de propagacion; A = constante de normalizacion
h/i (d/dx) y
x
= p y
x
Y
x
= Ae
kx
; p = (hk/i) momento ; tiene un numero
imaginario;
h/i (d/dx) [Ae
kx
] = (h/i)Ake
kx
=(h/i)k. A e
kx
=p y
x
h/i (d/dx) y
x
= p y
x
Y
x
= Ae
ikx
; p = (hk) momento ;
tiene un numero imaginario;
h/i (d/dx) [Ae
ikx
] = (h/i)Aike
ikx
=(h/i)ik. A e
ikx
=p y
x
Y
x
= Ae
-ikx
p = (- h k) momento
Ecinetica = p
2
/2m
Ecinetica= (- hk)
2
/2m= h
2
k
2
/2m
Y
x
= Ae
ikx
p = ( h k) momento
Ecinetica = p
2
/2m
Ecinetica= (h k)
2
/2m = h
2
k
2
/2m
Max Planck
Foton (photon) = particula
que compone la luz
Energia cinetica = (1/2) m v
2
= (1/2) (mv)
2
/m= (1/2) (p)
2
/m= p
2
/2m
Energia potencial = 0 en este ejemplo
Etotal = Ecinetica + Energia potencial = Ecinetica = h
2
k
2
/2m
E
cinetica
= h
2
k
2
/2m
k
Ecinetica = p
2
/2m
Ecinetica= h
2
k
2
/2m
Particula que se pueda mover en las dos direcciones
Particula en la caja
Y
x
= Ae
-ikx
p = (- h k) momento
Y
x
= Ae
ikx
p = ( h k) momento
Potencial = infinito Potencial = infinito
contorno
contorno
Condiciones de contorno: por puede estar afuera de la caja porque no tiene suficiente energia para sobrepasar
el potencial de infinito.
Potencial = cero
a
Y
x
= A(1/2)
{e
-ikx
ikx
h/i (d/dx) y
x
=( h/i) (d/dx) A(1/2)
{e
-ikx
ikx
)=( h/i) (A(1/2)
(d/dx) {e
-ikx
ikx
)= )=( h/i) (A(1/2)
{-ike
-ikx
ikx
hk (A(1/2)
{-e
-ikx
ikx
} =p y
x
= la particula no tiene un momento definido
P y
x
= p y
x
Particula que se pueda mover en las dos direcciones
Particula en la caja
V(x=a)= Potencial = infinito V(x=0) =Potencial = infinito
contorno
contorno
Condiciones de contorno: por puede estar afuera de la caja porque no tiene suficiente energia para sobrepasar
el potencial de infinito.
Potencial = cero
a
Y
x
= Asin (kx) + Bcos(kx)
Energia de la particula:
H Y
x
= E
total
Y
x
(E
cinetica
+ V
potencial
) Y
x
=E
total
Y
x
E
cinetica
Y
x
+ V
potencial
Y
x
= E
cinetica
Y
x
+ E
potencial
Y
x
{E
cinetica
+ E
potencial
}= {E
cinetica
+ E
potencial
}Y
x
=E
total
Y
x
Particula que se pueda mover en las dos direcciones
Particula en la caja
Potencial = infinito Potencial = infinito
contorno
contorno
Condiciones de contorno: por puede estar afuera de la caja porque no tiene suficiente energia para sobrepasar
el potencial de infinito.
Potencial =V= cero
a
Y
x
= Asin (kx)
Energia de la particula:
H Y
x
= E
total
Y
x
(E
cinetica
+ V
potencial
) Y
x
=E
total
Y
x
E
cinetica
Y
x
+ V
potencial
Y
x
= E
cinetica
Y
x
+ E
potencial
Y
x
{E
cinetica
+ E
potencial
}= {E
cinetica
+ E
potencial
}Y
x
=E
total
Y
x
V
potencial
Y
x
= E
potencial
Y
x
El operador de la energía
potencial
En este problema el
operador V es multiplicar
por cero y :
0 Y
x
= 0 Y
x
E = 0
Particula que se pueda mover en las dos direcciones
Particula en la caja
Potencial = infinito Potencial = infinito
contorno
contorno
Condiciones de contorno: por puede estar afuera de la caja porque no tiene
suficiente energia para sobrepasar
el potencial de infinito.
Potencial = cero
a
Y
x
= Asin (kx) + Bcos(kx)
Tiene que satisfacer las condiciones de contorno
x = 0 y Y
x
(x=0) = 0
Y
x
(x=0) = Asin (k0) + Bcos(k0)
= A(0) + B(1)
= 0 + B
=B
=0 y se pierde el coskx en Y
x
= Asin (kx) + Bcos(kx)
Y
x
= Asin (kx)
Tiene que satisfacer las condiciones de contorno
x = a y Y
x
(x=a) = 0
Y
x
(x=a) = Asin(ka)
Tiene solo dos soluciones:
A = 0 se descarta porque es la solucion trivial
Alternativamente :
sin(ka) =
sin (np)=
ka = np alternativamente:
k = np/a con n =1, 2, 3, 4 …. (cero no sirve)
x
y
Particula que se pueda mover en las dos direcciones
Particula en la caja
V(x=a)= Potencial = infinito V(x=0) =Potencial = infinito
contorno
contorno
Potencial = cero
a
E
cinetica
= E
k
=E
n
= (k
2
h
2
/2m) ; h
2
= (h/2p)
2
= (h
2
/4p
2
k = np/a con n =1, 2, 3, 4 ….
En = n
2
p
2
h
2
/2ma
2
= n
2
h
2
/8ma
2
n = 1
E
1
2
h
2
/8ma
2
= 1 h
2
/8ma
2
E
2
2
h
2
/8ma
2
= 4 h
2
/8ma
2
E
3
2
h
2
/8ma
2
= 9 h
2
/8ma
2
E
4
2
h
2
/8ma
2
= 16 h
2
/8ma
2
n = 2
n = 3
n = 4
E
n = infinito
Particula que se pueda mover en las dos direcciones
Particula en la caja
Potencial = infinito Potencial = infinito
contorno
contorno
Potencial = cero
a
Region I
Region II
Region III
Y total = por todo el espacio
Y total tiene que ser continua es requisito de a function de onda total; la Y total va desde + infinito hasta - infinito
Y
todo el espacio
= Y region I + Y region II + Y region III
Los posibles valores de x van desde - infinito hasta + infinito
Y
todo el espacio
= Y
region I
( x< 0) + Y
region II
(0<x<a) + Y
region III
(x>a)
Y
region I
( x< 0)=
Y
region III
(x>a)=
Y total = por todo el espacio
Y total tiene que ser continua es requisite de a function de onda total y tiene que ser continua
Y
todo el espacio
= Y region I + Y region II + Y region III
Los posibles valores de x van desde - infinito hasta + infinito
Y
todo el espacio
= Y
region I
( x< 0) + Y
region II
(0<x<a) + Y
region III
(x>a)
Particula que se pueda mover en las dos direcciones
Particula en la caja
Potencial = infinito Potencial = infinito
contorno
contorno
Potencial = cero
a
Region I
Region II
Region III
Y
region I
( x< 0)
Y
region III
(x>a)
a
a/
Y
Region II
Y
2
Region II
a a/
Probabilidad = ( Area de Y
2
en una region/ area total de la Y
2
Probabilidad = ( Area de Y
2
en una region/ area total de la Y
2
) = Area de Y
2
en una region= integra la function en ese rango de
valores de x
Si la function de onda esta normalizada, entonces el area total de Y
2
es 1.
a
a/
Determinar la probabilidad de que la particula se encuentre
Entre 0 y 0.50 a.
Probabilidad = ( Area de Y
2
en una region/ area total de la Y
2
) = Area de Y
2
en una region=
∫ Y
2
dx= ∫ (Asin(px/a))
2
dx = 0.
0.50 a
probabilidad ( - 0 < x < 0.50 a) =
E
1
= = 1 h
2
/8ma
2
E
1
= = 1 h
2
/8ma
2
E
1
= = 1 h
2
/8ma
2
E
cinetica
= E
k
=E
n
= (k
2
h
2
/2m) ; h
2
= (h/2p)
2
= (h
2
/4p
2
k = np/a con n =1, 2, 3, 4 ….
En = n
2
p
2
h
2
/2ma
2
= n
2
h
2
/8ma
2
n = 1
E
1
2
h
2
/8ma
2
= 1 h
2
/8ma
2
E
2
2
h
2
/8ma
2
= 4 h
2
/8ma
2
E
3
2
h
2
/8ma
2
= 9 h
2
/8ma
2
E
4
2
h
2
/8ma
2
= 16 h
2
/8ma
2
n = 2
n = 3
n = 4
Particula que se pueda mover en las dos direcciones
Particula en la caja
V(x=a)= Potencial = infinito V(x=0) =Potencial = infinito
contorno
contorno
Potencial = cero
a
E
n = infinito
Postulado de Schrodinger
(-h
2
/2m )(d
2
/dx
2
- V (x,t) ) j(x,t) =(ih d/dt )j(x,t)
Si el potencial es independiente del tiempo se puede resolver facilmente:
(- h
2
/2m )(d
2
/dx
2
- V (x) ) j(x,t) =(ih d/dt )j(x,t)
Toma la function de onda como el product de dos funciones:
j(x,t) = Y(x)f(t) y se sustituye en la ecuacion de Schrodinger:
(- h
2
/2m )(d
2
/dx
2
- V (x) ) Y(x)f(t) =(ih d/dt ) Y(x)f(t)
Como f(t) es independiente de posicion:
f(t) (- h
2
/2m )(d
2
/dx
2
- V (x) ) Y(x) =(ih d/dt ) Y(x)f(t)
Y como Y(x) es idependiente de el tiempo:
f(t) (- h
2
/2m )(d
2
/dx
2
- V (x) ) Y(x) =Y(x) (ih d/dt ) f(t)
Divido por la function de onda j(x,t) = Y(x)f(t)
f(t) (- h
2
/2m )(d
2
/dx
2
- V (x) ) Y(x) = Y(x) (ih d/dt ) f(t)
Y(x)f(t) Y(x)f(t)
E= (1/f(t)) (ih d/dt ) f(t)
(ih d/dt ) f(t) = E f(t) ecuacion de Scjhrodinger dependiente del tiempo o independiente de posicion
(- h
2
/2m )(1/ Y(x)) (d
2
/dx
2
(- h
2
/2m )(1/ Y(x)) (d
2
/dx
2
- V (x) ) Y(x) =E= (1/f(t)) (ih d/dt ) f(t)
Tratando de resolver la ecuacion dependiente de tiempo :
E= (1/f(t)) (ih d/dt ) f(t)
(ih d/dt ) f(t) = E f(t)
(ih)df= Efdt
Agrupando variables
df/f =Edt/ih
Integrando
∫df/f =E/ih ∫dt
lnf + C
1
= E/ih t + C
2
Lnf = E/ih t + C
2
- C
1
Lnf = E/ih t + C
f = e
(E/ih t ) + c
f = e
c
e
(E/ih t )
f = A e
(E/ih t )
