Riemann Integration: Definitions & Properties in Math Analysis I, Univ. of Murcia, 2006-20, Exams of Mathematics

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Contents

An´alisis Matem´atico I: La integral de Riemann

Presentaciones de Clase

Universidad de Murcia

Curso 2006-

Contents

1 Definici´on de la integral y propiedades

Sumas e integrales superiores e inferiores

La integral como l´ımite de sumas de Riemann

Propiedades de la integral

Definici´on de la integral y propiedades

Objetivos

Objetivos

1 Definir y entender el concepto de integral de Riemann.

2 Estudiar las propiedades de la integral.

Definici´on de la integral y propiedades

Objetivos

Objetivos

1 Definir y entender el concepto de integral de Riemann.

2 Estudiar las propiedades de la integral.

3 Demostrar la caracterizaci´on de Lebesgue de la integrabilidad

de Riemann.

Definici´on de la integral y propiedades

Objetivos

Objetivos

1 Definir y entender el concepto de integral de Riemann.

2 Estudiar las propiedades de la integral.

3 Demostrar la caracterizaci´on de Lebesgue de la integrabilidad

de Riemann.

4 Estudiar el Teorema Fundamental del C´alculo y sus

aplicaciones.

5 Estudiar las distintas aplicaciones de la integral al c´alculo de

´areas, vol´umenes de revoluci´on y longitudes de curvas.

Definici´on de la integral y propiedades

Sumas e integrales superiores e inferiores La integral como l´ımite de sumas de Riemann Propiedades de la integral

Sumas superiores e inferiores

Definici´on Sea f : [a, b] → R una funci´on acotada. (^1) Llamaremos partici´on de [a, b] a cualquier conjunto finito π = {t 0 , t 1 ,... , tn} tal que

t 0 = a < t 1 < t 2 · · · < tn = b.

El conjunto de todas las particiones de [a, b] lo designaremos con Π[a, b]. Denotaremos con Mi = sup[ti− 1 ,ti ] f (t) y con mi = inf[ti− 1 ,ti ] f (t) siendo t 0 = a < t 1 < t 2 · · · < tn = b un elemento de Π[a, b].

Definici´on de la integral y propiedades

Sumas e integrales superiores e inferiores La integral como l´ımite de sumas de Riemann Propiedades de la integral

Sumas superiores e inforiores

Definici´on (^1) Si π, π′^ son particiones de [a, b] diremos que π′^ es m´as fina que π, y escribiremos π ≺ π′, si todos los elementos de π est´an en π′. En otras palabras, si π es un subconjunto de π′. s palabras, se trata del conjunto intersecci´on

Definici´on de la integral y propiedades

Sumas e integrales superiores e inferiores La integral como l´ımite de sumas de Riemann Propiedades de la integral

Sumas superiores e inforiores

Definici´on (^1) Si π, π′^ son particiones de [a, b] diremos que π′^ es m´as fina que π, y escribiremos π ≺ π′, si todos los elementos de π est´an en π′. En otras palabras, si π es un subconjunto de π′. s palabras, se trata del conjunto intersecci´on (^2) Denotaremos con π ∨ π′^ a la partici´on cuyos elementos son los puntos pertenecientes a alguna de las particiones π o π′

Definici´on de la integral y propiedades

Sumas e integrales superiores e inferiores La integral como l´ımite de sumas de Riemann Propiedades de la integral

Sumas superiores e inforiores

Definici´on (^1) Si π, π′^ son particiones de [a, b] diremos que π′^ es m´as fina que π, y escribiremos π ≺ π′, si todos los elementos de π est´an en π′. En otras palabras, si π es un subconjunto de π′. s palabras, se trata del conjunto intersecci´on (^2) Denotaremos con π ∨ π′^ a la partici´on cuyos elementos son los puntos pertenecientes a alguna de las particiones π o π′

Proposici´on Sean π, π′^ particiones de [a, b]. Entonces: (^1) π ≺ π′^ implica s(f , π) ≤ s(f , π′). (^2) π ≺ π′^ implica S(f , π) ≥ S(f , π′).

Definici´on de la integral y propiedades

Sumas e integrales superiores e inferiores La integral como l´ımite de sumas de Riemann Propiedades de la integral

Sumas superiores e inforiores

Definici´on (^1) Si π, π′^ son particiones de [a, b] diremos que π′^ es m´as fina que π, y escribiremos π ≺ π′, si todos los elementos de π est´an en π′. En otras palabras, si π es un subconjunto de π′. s palabras, se trata del conjunto intersecci´on (^2) Denotaremos con π ∨ π′^ a la partici´on cuyos elementos son los puntos pertenecientes a alguna de las particiones π o π′

Proposici´on Sean π, π′^ particiones de [a, b]. Entonces: (^1) π ≺ π′^ implica s(f , π) ≤ s(f , π′). (^2) π ≺ π′^ implica S(f , π) ≥ S(f , π′).

Corolario Si π, π′^ son particiones de [a, b] entonces s(f , π) ≤ S(f , π′).

Definici´on de la integral y propiedades

Sumas e integrales superiores e inferiores La integral como l´ımite de sumas de Riemann Propiedades de la integral

Integral Superior e Inferior

Definici´on (^1) Se llama integral inferior (de Darboux) de f al n´umero real ∫ (^) b

a

f = sup{s(f , π); π ∈ Π[a, b]}.

(^2) Se llama integral superior (de Darboux) de f al n´umero real ∫ (^) b

a

f = inf{S(f , π); π ∈ Π[a, b]}.

Definici´on de la integral y propiedades

Sumas e integrales superiores e inferiores La integral como l´ımite de sumas de Riemann Propiedades de la integral

Integral Superior e Inferior

Definici´on (^1) Se llama integral inferior (de Darboux) de f al n´umero real ∫ (^) b

a

f = sup{s(f , π); π ∈ Π[a, b]}.

(^2) Se llama integral superior (de Darboux) de f al n´umero real ∫ (^) b

a

f = inf{S(f , π); π ∈ Π[a, b]}.

(^3) Se dice que f es integrable Riemann en [a, b] y se escribe f ∈ R[a, b] si las integrales inferior y superior de f coinciden. A ese valor com´un se llama integral Riemann de f y se denota por ∫ (^) b

a

f.

Definici´on de la integral y propiedades

Sumas e integrales superiores e inferiores La integral como l´ımite de sumas de Riemann Propiedades de la integral

Caracterizaci´on integrabilidad

Teorema

La funci´on f : [a, b] → R es integrable Riemann si y solo si, para

cada ε > 0 existe π ∈ Π[a, b] tal que S(f , π) − s(f , π) < ε.

Ejemplo

La funci´on de Dirichlet D 1 , definida como la funci´on caracter´ıstica

de los irracionales del intervalo [0, 1], es decir, D 1 (x) = 0 si

x ∈ Q ∩ [0, 1] y D 1 (x) = 1 si x ∈ (R \ Q) ∩ [0, 1] no es integrable

Riemann en [0, 1].

Definici´on de la integral y propiedades

Sumas e integrales superiores e inferiores La integral como l´ımite de sumas de Riemann Propiedades de la integral

Caracterizaci´on integrabilidad

Teorema

La funci´on f : [a, b] → R es integrable Riemann si y solo si, para

cada ε > 0 existe π ∈ Π[a, b] tal que S(f , π) − s(f , π) < ε.

Ejemplo

La funci´on de Dirichlet D 1 , definida como la funci´on caracter´ıstica

de los irracionales del intervalo [0, 1], es decir, D 1 (x) = 0 si

x ∈ Q ∩ [0, 1] y D 1 (x) = 1 si x ∈ (R \ Q) ∩ [0, 1] no es integrable

Riemann en [0, 1].

Corolario

1 Si f es continua entonces f ∈ R[a, b].

2 Si f es mon´otona entonces f ∈ R[a, b].