Inverse Functions
21.1Introduction
Often in the course of solving an equation we use one function to undo (the effect
of) another function. We do this without really thinking about it. For example,
suppose we want to solve
x3=8.
We use the cube root function to undo the cubing function
x=2.
Implicitly what we’ve said is that
x3=8⇒3
√x3⇒3
√8⇒x=2.
The function g(x) = 3
√x‘undid’ the cubing function f(x) = x3. This sounds Here’s another example: Solve
ex=3.
We use the natural log function to undo
the exponential function
x=ln 3.
Implicitly what we’ve said is that
ex=3⇒ln(ex) = ln 3 ⇒x=ln 3.
trivial, but it is not always possible to do (or rather ‘undo’) this. Consider
x2=4
√x2=√4
x=±2
The square root function does not undo the squaring function. We can’t undo the
squaring function unless we know more about x. . . if we knew xwere positive,
we’d be able to say x=10. So why can we undo some functions and not others?
When we try to ’undo’ a function y=f(x), we are trying to reverse the function
process. Given a particular y-value, we want to know the original corresponding
input x-value. As the squaring function shows, this is problematic when a single
y-value comes from more than one x-value. Comparing the graphs of f(x) = x3
and f(x) = x2shows what the problem is geometrically.
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f(x) = x3
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f(x) = x2
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In the first case, for the y-value 8, there is only one corresponding x-value because
the horizontal line y=8 meets the graph just once. In the second case, for the
y-value 4, the the horizontal line y=4 meets the graph the graph twice: at x=−2
and x=2. So we can’t say which value xwas.
