Materi mekanika Bahan, Assignments of Mechanical Engineering

Download Materi mekanika Bahan and more Assignments Mechanical Engineering in PDF only on Docsity!

Analisis Tegangan dan Regangan

Pertemuan – 12, 13

Mata Kuliah : Mekanika Bahan Kode : TSP – 205 SKS : 3 SKS

• TIU :

 Mahasiswa dapat menganalisis tegangan normal dan geser menggunakan lingkaran Mohr

• TIK :

 Mahasiswa dapat menganalisis tegangan pada bidang

• Jenis-jenis tegangan yang timbul pada batang akibat tarik, tekan, maupun torsi yang sudah dipelajari hingga saat ini adalah merupakan contoh-contoh dari tegangan bidang ( plane stress )
• Tinjau suatu elemen kubus dalam gambar, dengan sumbu xyz sejajar dengan tepi-tepi elemen

Tegangan Bidang

• Bila bahan berada dalam keadaan tegangan bidang dalam bidang xy, maka hanya muka x dan y dari elemen yang mengalami tegangan, muka z tidak bertegangan dan sumbu z adalah normal permukaan tersebut

Tegangan bukanlah vektor karena tidak dapat dijumlahkan dengan aturan jajaran genjang. Sebenarnya tegangan merupakan besaran yang lebih rumit daripada vektor dan dalam matematika disebut tensor. Besaran tensor lainnya adalah regangan dan momen inersia

Tegangan Normal

• Tegangan normal s, mempunyai subskrip yang menunjukkan muka di mana tegangan normal tersebut bekerja
• Tegangan yang bekerja di muka x dari elemen dinotasikan s x
• Tegangan yang bekerja di muka y dari elemen dinotasikan s y
• Tegangan normal yang sama bekerja di muka yang berlawanan

Tegangan Geser

• Tegangan geser t, memiliki dua subskrip, subskrip pertama menunjukkan muka di mana tegangan bekerja, subskrip kedua menunjukkan arah di muka tersebut
• Tegangan t xy bekerja di muka x dalam arah sumbu y
• Tegangan t yx bekerja di muka y dalam arah sumbu x

Tegangan Bidang

Tegangan di Potongan Miring

• Selanjutnya akan ditinjau tegangan pada elemen kubus tadi, apabila elemen ini diputar berlawanan jarum jam melalui sudut q terhadap sumbu xy
• Elemen yang diputar ini terkait dengan sumbu x 1 , y 1 dan z 1
• Tegangan normal dan geser pada elemen baru ini diberi notasi sx1, sy1, tx1y1 dan ty1x
• Pada elemen ini berlaku pula hubungan

Tegangan Bidang

t (^) x 1 y 1  t y 1 x 1

Tegangan di Potongan Miring

• Potongan elemen tegangan yang mempunyai muka miring yang sama dengan muka x 1 dari elemen miring, ditunjukkan pada gambar kiri
• Untuk menuliskan persamaan kesetimbangan potongan elemen tersebut, maka dibuat free-body diagram yang menunjukkan gaya-gaya yang bekerja di semua muka
• Luas muka kiri (muka x negatif) diberi notasi Ao.

Tegangan Bidang

Stresses Forces

• Dari persamaan-persamaan dalam trigonometri :
• Maka persamaan sebelumnya dapat dituliskan menjadi :

Tegangan Bidang

q  1 2 q 2 cos^2 ^1  cos q  1 2 q 2 sin^2 ^1  cos q q 2 q 2 sin cos ^1 sin

q t q

s s s s

s 2 2

x x y x y cos^  xy sin

q t q

s s

t 2 2

x y x y sin^  xycos

Persamaan ini disebut persamaan transformasi untuk tegangan bidang, karena persamaan ini mentransformasikan komponen tegangan dari satu sistem sumbu ke sistem sumbu lainnya

• Dengan mengganti nilai q menjadi q+90o, maka akan diperoleh sy1 :
• Dan akhirnya akan didapatkan pula hubungan :
• Persamaan ini menunjukkan bahwa jumlah tegangan normal yang bekerja di muka-muka yang saling tegak lurus dari elemen tegangan bidang adalah konstan dan tidak bergantung pada sudut q.

Tegangan Bidang

s x 1  s y 1 s x  s y

q t q

s s s s

s 2 2

y x y x y cos^  xy sin

• Apabila sx= sy = 0, namun txy dan tyx ≠ 0 maka elemen dikatakan berada dalam keadaan geser murni ( pure shear )
• Persamaan transformasi yang berkaitan adalah :

Tegangan Bidang

s (^) x 1 t xysin 2 q

t x 1 y 1 t xycos 2 q^ sx

tx1y

sx1 maks pada q = 45o

• Bila elemen mengalami tegangan normal dalam arah x dan y, tanpa ada tegangan geser maka elemen dikatakan berada dalam keadaan tegangan biaksial
• Persamaan transformasi yang berkaitan adalah :

Tegangan Bidang

q

s s s s

s 2

x x y x^ y cos

q

s s

t 2

x y x^ y sin

Jawab :

75 MPa 2

110 40 2   

s x  s y 35 MPa 2

110 40 2   

s x  s y txy = 27 MPa

sin 2q = sin 90o^ = 1 cos 2q = cos 90o^ = 0

q t q s s s s s cos 2 sin 2 1 2 2 xy x y x y x 

    = 75 + 35(0) + 27(1) = 102 MPa

q t q s s t sin 2 cos 2 1 1 2 xy x y x y 

  =  35(1) + 27(0) = 35 MPa

q t q s s s s s cos 2 sin 2 1 2 2 xy x y x y y 

    = 75 – 35(0) = 75 MPa

Soal 5.1 – 5.

• Tegangan normal maksimum dan minimum (yang disebut dengan tegangan utama ), dicari dari persamaan transformasi untuk sx1 yang dideferensial terhadap q dan menyamakannya dengan nol.
• Yang menghasilkan
• Dua harga sudut 2qp yang diperoleh berbeda sebesar 180o, sehingga qp sendiri mempunyai dua nilai yang berbeda 90o. Sudut qp dikenal sebagai sudut utama
• Bidang yang berkaitan dengan sudut utama, disebut dengan bidang utama

Tegangan Utama & Tegangan Geser Maksimum

s (^) s  (^) q t q

q

s

(^1) sin 2 2 cos 2 d

d x y xy

x (^)   

x y

xy

tan p s s

t

q

• Dari dua buah nilai qp yang diperoleh, maka akan ditemukan besarnya tegangan – tegangan utama sebagai berikut :
• Dengan s 1 merupakan tegangan utama maksimum, dan s 2 adalah tegangan utama minimum
• Dari persamaan tersebut dapat dilihat pula bahwa berlaku juga hubungan yang menyatakan s 1 + s 2 = sx + sy

Tegangan Utama & Tegangan Geser Maksimum

2

2 1 2 2 2 xy

x y x y ,^ t

s s s s s (^)   

Tegangan geser adalah sama dengan nol di bidang-bidang utama

• Elemen-elemen yang berada dalam keadaan tegangan uniaksial dan tegangan biaksial, memiliki bidang utama berupa bidang-bidang x dan y itu sendiri (karena nilai tan 2qp = 0, yang dipenuhi oleh qp = 0o^ dan 90 o)
• Elemen yang berada dalam geser murni, memiliki bidang utama yang berorientasi 45o^ terhadap sumbu x (karena tan 2qp = , yang dipenuhi oleh qp = 45o^ dan 135o). Jika txy positif, maka s 1 = txy, da s 2 = - txy

Tegangan Utama & Tegangan Geser Maksimum

Elemen dalam keadaan Tegangan Uniaksial dan Biaksial

Elemen dalam keadaan Geser Murni