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MAT 1741 A – Test 2 – V.
Professeur : Abdelkrim El basraoui 17 Octobre 2016
Nom : Pr´enom :
Num´ero d’´etudiant :
Intructions:
- La dur´ee de cet examen est de 80 minutes.
- Cet examen est un examen `a livre ferm´e.
- Les questions 1 et 2 sont
a choix multiples et valent 1 point chacune. Il n’y a pas de points partiels. Inscrivez vos r´eponses dans le tableau fournia la deuxi`eme page. - Les questions 3 `a 5 valent 6 points chacune. Pour obtenir tous les points pour ces questions vos r´eponses doivent ˆetre justifi´ees et ´ecrites de fa¸con claire, logique et lisible.
- La question 6 est une question bonus qui vaut 3 points. Pour obtenir des points pour la question bonus num´ero 6, votre solution doit ˆetre totalement correcte.
- Il est interdit de se servir de vos appareils ´electroniques. Vous devez les ´etteindre et les ranger dans votre sac: vous ne pouvez pas les laisser dans vos poches ou sur votre personne. Sinon, on pourrait vous demander de quitter l’examen imm´ediatement et des all´egations de fraude scolaire pourraient ˆetre d´epos´ees dont le r´esultat pourrait ˆetre un 0 (z´ero) pour l’examen.
- Bonne chance!!!
En apposant votre signature, vous reconnaissez vous ˆetre assur´e de
respecter l’´enonc´e ci-dessus.
Signature:
Inscrivez vos r´eponses pour les questions `a choix multiples dans ce tabeau.
Question 1 Question 2
Ne rien inscrire dans le tableau suivant.
Total QCM Question 3 Question 4 Question 5 Question 6 Total sur 23
- Soit le sous-ensemble de R^3 suivant W = {(x, y, z) ∈ R^3 | x + y − z = 0}.
a) Expliquez en une phrase pourquoi W est un sous-espace de R^3. (Vous n’avez pas a utiliser les criteres du test des sous-espaces.)
b) Trouvez un ensemble de vecteurs qui engendre W.
c) En d´eduire une base pour W.
d) Donnez une interpr´etation g´eometrique compl`ete de W.
- Dans M2 2, l’espace des matrices 2 et entr´ees r´e`elles, soit
U =
{ [^ a b −b c
]
∈ M2 2 | a, b, c ∈ R
a) V´erifiez que U est ferm´e pour l’addition, ou bien exprimez U sous une forme qui montre que U est une sous-espace.
(Pour les parties (b) et (c) vous pouvez supposer que U est un sous-espace de M2 2.)
b) Trouvez une base de U et donnez sa dimension dim U.
c) Donnez une base de U diff´erente de celle donn´ee dans (b).
(Justifiez vos r´eponses.)
5 (suite).
c)
{ [a b c d
]
∈ M2 2 | a + c = 0
est un sous-espace de M2 2.
REPONSE:´
d) Soient u 1 , u 2 et u 3 des vecteurs d’un espace vectoriel U. Si {u 1 , u 2 , u 3 } est lin´eairement ind´ependant, alors dim U = 3.
REPONSE:´
- [Bonus/D´efit] Soient les vecteurs u, v, w non-nuls de R^2016. Si (les produits scalaires sont
nuls) u · v = u · w = v · w = 0, montrez que {u, v, w} est lin´eairement ind´ependant. Notez que vous ne pouvez pas montrer ceci juste pour un choix particulier de u, v et w. Votre explication doit justifier pourquoi ceci est vrai pour tout les vecteurs u, v et w de R^2016. Notez que les arguments g´eom´etriques, tel que ”les vecteurs ne sont pas coplanaires, etc...”, ne sont pas accept´es.
