Part I
Procesos Estocásticos
Estadística
Profesor: Francisco G. Morillas Jurado
Dpto. Economia Aplicada
2opiso- Púa A- Despacho 01 (2A01)
Facultat d’Economia
Universitat de València
Tutorías curso 2022-2023:
Viernes 11 : 30 14 : 30
1
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Manual Procesos Estocasticas, Lecture notes of Mathematical Analysis
Manual de proceso estocasticos
Typology: Lecture notes
2024/2025
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Part I
Procesos Estoc·sticos
EstadÌstica Profesor: Francisco G. Morillas Jurado
Dpto. Economia Aplicada 2 opiso- P˙a A- Despacho 01 (2A01) Facultat díEconomia Universitat de ValËncia
TutorÌas curso 2022-2023: Viernes 11 : 30 14 : 30
Remark 1 Es interesante seÒalar que las notas contenidas en este trabajo han sido elaboradas utilizando fuentes de informaciÛn de diferente Ìndole. Re- saltando algunas de las fuentes utilizadas tenemos:
"MÈtodos EstadÌsticos para Actuarios". Gregoria-Mateos. Ed. Editorial Complutense.
"Probabilidad, Procesos Estoc·sticos y C·lculo de Ito". Eva Ferreira (Uni- versidad del PaÌs Vasco) y David Nualart (Universidad de Barcelona). On line.
"Stochastic Calculus". David Nualart (Kansas University). On line.
"Stochastic Di§erential Equations". B. Oksendal. Ed. Springer-Verlag.
"Apuntes de EstadÌstica". A. Blasco (Universidad de Alcal·) [on-line].
"Numerical Solution of SDE trough Computer Experiments". P. E. Kloe- den, E. Platen y H. Schurz. Ed. Springer.
"IntroducciÛn a la Teoria del Riesgo". Luis RincÛn (Facultat de Ciencias de la UNAM). On line. VersiÛn Enero 2011.
"EstadÌstica Actuarial: modelos estoc·sticos". E. Ferreira y M.A. GarÌn. Uiversidad del paÌs Vasco. Ed. Sarriko-On.
"Introducing Montecarlo Methods with R". C.P. Robert y G. Casella. Ed. Springer.
"IntroducciÛn al C·lculo Estoc·stico Aplicado a la modelaciÛn econÛmico- Önanciero-actuarial". J. MartÌnez y J.G. VillalÛn. Ed. Netbiblio.
"Basic Stochastic Processes". Z. Brzezniak and T. Zastawniak. Ed. Springer
S e a n i m a a u t i l i z a r e s t a s n o t a s r e c o n o c i e n d o l a a u t o r Ì a a s Ì c o m o l a s r e f e r e n c i a s b i b l i o g r · Ö c a s b · s i c a s ( L a s c u a l e s i r · n m o d i Ö c a n d o s e c o n s t a n t e m e n t e ). L a Ö n a l i d a d d e e s t a s n o t a s e s q u e e l / l a e s t u d i a n t e d i s p o n g a d e m a t e r i a l d e r e f e r e n c i a p a r a s e g u i r e l d e s a r r o l l o d e l a s s e s i o n e s a s Ì c o m o p a r a c e n t r a r s u a t e n c i Û n e n l o s c o m e n t a r i o s q u e s e p u e d a n r e a l i z a r. E s a c o n s e j a b l e c o n s u l t a r , a l m e n o s , e l m a t e r i a l r e f e r e n c i a d o p a r a a s Ì d i s p o n e r d e i n f o r m a c i Û n r e l e v a n t e y c o m - p l e t a.
DeÖnition 8 La terna ( ; F; P ) recibe el nombre de espacio de probabili- dad. Se dice que los elementos de F son medibles.
Example 9 Se considera el conjunto de clientes de una compaÒÌa aseguradora. La compaÒÌa considera el experimento "n˙mero de siniestros declarados", de manera que el conjunto de asegurados es estructurado en diferentes clases seg˙n el n˙mero declarado. El espacio de posibles resultados es, si no hay m·s restric- ciones, = f! 0 = 0;! 1 = 1;! 2 = 2;! 3 = 3;! 4 = 4; !5+ = 5+g, donde la clase 5+ indica que se han declarado 5 o m·s siniestros en el periodo considerado. La -·lgebra ím·s ampliaí- en el sentido de tener un mayor n˙mero de elementos- puede ser descrita mediante la familia de "todos los subconjuntos de ", la cual se denota P ( ). La comprobaciÛn de que P ( ) es -·lgebra es directa comprobando las propiedades de la deÖniciÛn. Queda puÈs como EJER- CICIO.
Remark 10 Se denota j j (cardinal de ) al n˙mero de elementos del conjunto
. AsÌ, el n˙mero de elementos (o cardinal) que forman P ( ) es jP ( )j = 2j^ j. Si j j = n, entonces jP ( )j = 2n.
Remark 11 En la pr·ctica, la construcciÛn de una medida de probabilidad, P : F P ( )! R+, se puede realizar utilizando un enfoque cl·sico de la prob- abilidad combinado con un enfoque frecuentista. AsÌ, la probabilidad de observar un resultado de F P ( ) se obtiene de forma inmediata con la expresiÛn:
P (!i) =
nro. clientes con i-siniestros en el periodo anterior nro. total de clientes
Por ejemplo, los valores que podrÌan obtenerse son: P (! 0 ) = 0: 60 ; P (! 1 ) = 0 : 20 ; P (! 2 ) = 0: 10 ; P (! 3 ) = 0: 06 ; P (! 4 ) = 0: 03 ; P (!5+) = 0: 01.
Example 12 A continuaciÛn se muestran dos ejemplos basados en datos de cartera (reales ) del ramo "vehÌculos de uso privado": la cartera de Boucher, Denuit y GuillÈn (2006) y los datos aportados por UNESPA para los aÒos 2005-
- Como ejercicio se propone, para cada una de las carteras, construir la -·lgebra asociada y una medida de probabilidad.
Fuente: JosÈ A. Alvarez-JareÒo. An·lisis de los sistemas Bonus-Malus en el seguro de automÛviles espaÒol. Tesis doctoral (2009). Universitat de Valencia.
Remark 13 Algunas cuestiones de notaciÛn y utilizaciÛn de propiedades ele- mentales necesarias de conocer son:
- Se denota ; al suceso imposible. P (;) = 0.
- Si A 2 F, su complementario, Ac^ 2 F y se veriÖca que P (Ac) = 1 P (A).
- Si A, B 2 F y veriÖcan que A B, entonces P (A) P (B).
- Si A, B 2 F, entonces P (A [ B) = P (A) + P (B) P (A \ B).
La prueba de esta ˙ltima propiedad se visualiza utilizando que A [ B se descompone en tres conjuntos disjuntos dos a dos: A[B = (AnB) [ (BnA)[ (A \ B). AsÌ,
P (A [ B) = P (AnB) + P (BnA) + P (A \ B)
= [P (AnB) + P (A \ B)] + fP (BnA) + P (A \ B)g P (A \ B) = P (A) + P (B) P (A \ B).
Example 14 Haciendo uso del ejemplo 11, un suceso imposible puede ser el suceso: ; ! ="haber tenido 1 accidentes", "que se haya tenido 2 : 3 ac- cidentes", con lo absurdo de estas aÖrmaciones. AsÌ, P (;) = 0, no existe "ning˙n" asegurado que veriÖque alguna de estas aÖrmaciones. øCu·l es la probabilidad de !2+="sufrir 2 o m·s accidentes"? Adem·s, se puede construir el suceso complementario !c 2+ =! 0 [! 1. Por lo tanto:
DeÖnition 18 Una variable aleatoria es una aplicaciÛn deÖnida sobre el es- pacio de resultados, : X :! R ! 99K X (!)
donde se exige que para cualquier conjunto de Borel real, , la imagen inversa de este por la aplicaciÛn X pertenezca a F; esto es: X ^1 ( ) 2 F. Esto equivale a decir que la variable aleatoria es medible para este espacio de probabilidad.
La argumentaciÛn realizada hace uso del formalismo matem·tico, de manera que utiliza el concepto de variable aleatoria para relacionar la ·lgebra (nat- ural) F, con la ·lgebra de Borel (en los n˙meros reales)- ya que esta ˙ltima suele ser m·s conocida y tener buenas propiedades. Esta relaciÛn se establece tambiÈn mediante la funciÛn-medida de probabilidad. Es interesante interpretar y tener en mente el siguiente esquema: F ["
P & !^ X R R X ^1 ( ) L
Remark 19 Teniendo en cuenta que ( ; F; P ) un espacio de probabilidad, es importante seÒalar -con el esquema anterior en mente- estamos asegurando que X ^1 ( ) es un conjunto medible para la medida P , esto es, se le puede asignar un valor numÈrico y veriÖca ciertas propiedades deseables, por ejemplo, permite codiÖcar los posibles resultados del experimento de manera que estos cumplan ciertos criterios de íordenaciÛní.
Dado un suceso! 2 F, se cumple que X (!) 2 R; asÌ, dados dos n˙meros reales, a b, estos deÖnen un intervalo [a; b], el cual es un conjunto de Borel. Tomando X ^1 ([a; b]) se construye un suceso medible, esto es, un elemento de F al cual se le puede aplicar la medida de probabilidad P , P
X ^1 ([a; b])
2 R+.
El suceso que deÖne X ^1 ([a; b]) suele denotarse como el suceso " fa X bg ".
Remark 20 Con el proceso descrito se transforma el espacio de probabilidad ( ; F; P ), el cual generalmente es abstracto, en un espacio m·s cÛmodo, m·s íamigableí, y con propiedades mejor conocidas: el espacio de probabilidad (R; (^) R; PX ).
Example 21 Se considera el ejemplo anterior en el cual el espacio de resultados es = f! 0 = 0;! 1 = 1;! 2 = 2;! 3 = 3;! 4 = 4; !5+ = 5+g. Para deÖnir una variable aleatoria X :! R, una forma usual es utilizar las imagenes inversas de conjuntos de Borel, esto es: X ^1 : R!. Se puede intuir el signiÖcado de esta aÖrmaciÛn para el fenÛmeno considerado, a partir de los siguientes ejemplos :
X ^1 ([0; 4]) = f! 0 ;! 1 ;! 2 ;! 3 ;! 4 g. X ^1 ([2; 4 :5[) = f! 2 ;! 3 ;! 4 g. X ^1 ([2; 10 :5[) = f! 2 ;! 3 ;! 4 ; !5+g. X ^1 ([ 9 ; 3 :1[) = f! 0 ;! 1 ;! 2 ;! 3 g.
De esta manera, PX se aplica o se deÖne como antes. Algunos ejemplos son:
PX (0 X 4) = P
X ^1 ([0; 4])
= P (f! 0 ;! 1 ;! 2 ;! 3 ;! 4 g) = 0: 99. PX ( 9 X 3 :1) = P
X ^1 ([ 9 ; 3 :1[)
= P (f! 0 ;! 1 ;! 2 ;! 3 g) = 0: 95.
donde P (! 0 ) = 0: 60 ; P (! 1 ) = 0: 20 ; P (! 2 ) = 0: 10 ; P (! 3 ) = 0: 06 ; P (! 4 ) = 0 : 03 ; P (!5+) = 0: 01.
DeÖnition 22 La medida PX recibe el nombre de distribuciÛn o ley de la vari- able aleatoria X. Si el n˙mero de elementos de X ^1 es Önito o numerable se dice que la variable aleatoria es discreta. En caso de ser no numerable se dice que es una v.a. continua.
Notation 23 En el caso discreto es habitual utilizar la notaciÛn PX (X = xi) o simplemente PX (xi), notemos que xi es un intervalo degenerado (amplitud 0 ). En el ejemplo considerado, PX (0 X 0 :4) PX (X = 0) PX (0) = P (! 0 ).
DeÖnition 24 Una variable aleatoria (continua) se dice que es absolutamente continua si existe una funciÛn fX de manera que
PX ([a; b]) = P (a X b) =
Z (^) b
a
fX (x) dx.
La funciÛn fX se denomina funciÛn de densidad, y veriÖca las propiedades:
fX (x) 0 8 x;
R 1
1 fX^ (x)^ dx^ = 1.
DeÖnition 25 Se deÖne la funciÛn de distribuciÛn de probabilidad de la v.a. X, FX , haciendo uso de la funciÛn de densidad fX mediante la expresiÛn
FX (x 0 ) := PX (] 1; x 0 ]) =
Z (^) x 0
fX (x) dx:
y se veriÖca que PX (x 1 X x 2 ) = FX (x 2 ) FX (x 1 ) =
R (^) x 2 x 1 fX^ (x)^ dx.
Remark 26 Aplicando el Teorema Fundamental del C·lculo (Ejercicio), la fun- ciÛn de densidad fX se relaciona con la funciÛn de distribuciÛn, FX , a travÈs de los operadores de integraciÛn y de derivaciÛn:
fX (x) = dFX (x).
FX (a) =
Z (^) a
fX (x) dx.
Remark 27 En estas notas se ha introducido la funciÛn de densidad en primer lugar y con posterioridad la funciÛn de distribuciÛn de probabilidad. Esto puede hacerse de forma inversa.
Remark 34 Haciendo uso de las notas anteriores, la deÖniciÛn de E [X] dada en (2) puede ser interpretada como "el valor del ·rea encerrada bajo la curva x", en este caso la altura de los rect·ngulos aproximativos es x pero la longi- tud inÖnitesimal de las bases de estos rect·ngulos no es dx, sinÛ dFX (x) = FX (xi+1) FX (xi). Esta interpretaciÛn tiene especial importancia en el caso de integrales estoc·sticas.
Remark 35 TÈcnicamente,
Z (^1)
h (x) dx = lim ! 0
X^1
n=
sup n<x(n+1)
h (x) (3)
Z 1
h (x) dF (x) = lim ! 0
X^1
n=
sup n<x(n+1)
h (x) (F [(n + 1) + ] F [n + ]).
(4) Notar que: (i) El n˙mero de puntos de la discretizaciÛn, n, depende del tamaÒo de . Si ! 0 , n ()! 1;(ii) La expresiÛn (3) es equivalente a la expresiÛn (4) al tomar FX (x) igual a la identidad.
Exercise 36 Buscar tÈcnicas de integraciÛn numÈrica (mÈtod de Euler y regla de Simpson). Aplicarlas en un ejemplo a los dos tipos de integrales propuestas.
Lemma 37 Dada una variable aleatoria X y una transformaciÛn de esta, Y = g (X) (por ejemplo Y = 2X + 1), la esperanza de Y se obtiene a travÈs de la expresiÛn
E (Y ) =
Z + 1
yfY (y) dy
Z + 1
g (x) fX (x) dx
Z + 1
g (x) dFX (x).
Exercise 38 Buscar bibliografÌa y un ejemplo sobre c·lculo de integrales me- diante mÈtodos de montecarlo. Es interesante introducirse en este tipo de res- oluciÛn de integrales, por ejemplo, calculando el ·rea del cÌrculo, y utilizar este procedimiento para estimar el valor de .
1.3.1 Momentos de orden k
DeÖnition 39 Dada una v.a. X, se deÖne el momento absoluto de orden k
como la esperanza de la transformaciÛn g (X) = Xk:
k :=^ E^
Xk
Z 1
xkfX (x) dx.
DeÖnition 40 Dada una v.a. X, se deÖne el momento central de orden k
como la esperanza de la transformaciÛn g (X) = (X 1 )k:
k := E
(X 1 )k
Z 1
(X 1 )k^ fX (x) dx.
DeÖnition 41 Dadas dos v.a. X e Y , se deÖne la covarianza de estas, deno- tada COV (X; Y ) = XY , como la esperanza de la transformaciÛn H (X; Y ) = X X 1
Y Y 1
, esto es:
E
X X 1
Y Y 1
= E [XY ] X 1 Y 1. (5)
1.3.2 Transformaciones lineales
En este apartado introducimos transformaciones que involucran a dos variables, las transformaciones de una ˙nica variable se obtienen como caso particular.
Lemma 42 Se considera una transformaciÛn lineal de dos v.a.ís: Z = aX +bY , entonces
E [Z] = aE [X] + bE [Y ]. V ar (Z) = a^2 V ar [X] + b^2 V ar [Y ] + 2abCov [X; Y ].
1.4 Independencia
DeÖnition 43 Sea ( ; F,P ) un espacio de probabilidad. Se dice que dos suce- sos A; B 2 F son independientes si se veriÖca que P (A \ B) = P (A) P (B).
DeÖnition 44 Se dice que una familia arbitraria de sucesos fAigi 2 F es mutuamente excluyente si P (A 1 \ A 2 \ : : : An) = P (A 1 ) P (A 2 ) : : :P (An).
DeÖnition 45 Dadas dos -·lgebras (( ; F 1 ,P ), ( ; F 2 ,P )) se dice que son independientes si para cualesquiera A 2 F 1 y B 2 F 2 estos son independi- entes.
Finalmente se llega a formalizar la nociÛn de variables aleatorias inde- pendientes:
DeÖnition 46 Dadas dos v.a. X e Y deÖnidas en ( ; F,P ), se dice que son independientes si X ^1 ( 1 ) e Y ^1 ( 2 ) lo son para todo boreliano 1 , 2. Esto es: P (X 2 1 ; Y 2 2 ) = P (X 2 1 ) P (Y 2 2 ).
Remark 47 Notar que, en la deÖniciÛn anterior 1 ; 2 son borelianos, por la deÖniciÛn de v.a. sus inversas mediante X e Y son sucesos del espacio de resultados, X ^1 ( 1 ) ; Y ^1 ( 2 ) 2 F, por lo que se les puede aplicar la medida P.
Utilizando la funciÛn indicatriz o funciÛn caracterÌstica, , se puede visializar la operativa:
E [X=B] =
Z 1
xf (x=B) dx
Z 1
x
P (B)
f (x) B (x) dx
P (B)
E [X B ].
Example 54 Dar respuesta sobre si la igualdad siguiente es verdadera o no:
øP (! 1 ="alg˙n siniestro") = P (! 1 ="dos o m·s siniestros") = P (! 1 ="ning˙n siniestro")?
Lemma 55 Se cumplen las siguientes propiedades
E [aX + bY =B] = aE [X=B] + bE [Y =B]. Si X,Y son v.a.ís independientes : E [X=Y ] = E [X].
Lemma 56 Para X, Y v.a. discretas, se cumple:
E [X=Y = y 0 ] =
X
x
xP (X = x=Y = y 0 )
V ar(X=Y = y 0 ) =
X
x
x^2 P (X = x=Y = y 0 ) E [X=Y = y 0 ]^2.
Proposition 57 Regla de las esperanzas iteradas. Dadas dos variables aleato- rias, X, Y , se cumple:
E [X] = EY [E [X=Y = y]]. (6) V ar [X] = EY [V ar [X=Y = y]] + V arY [E [X=Y = y]]. (7)
Example 58 Se considera la distribuciÛn conjunta de dos variables aleatorias discretas dada por la tabla siguiente:
Y y = 1 y = 2 y = 3 total X x = 1 0 : 1 0 : 2 0 : 1 0 : 4 x = 2 0 : 3 0 : 1 0 : 2 0 : 6 total 0 : 4 0 : 3 0 : 3 1
Ejercicio: Se pide caracterizar las distribuciones marginales y condicionadas.
Solution 59 Notemos que:
- Las celdas de la Öla o de la columna de "total" representan las distribu- ciones marginales de cada v.a. AsÌ: Marginal de X:
P (x = 1) = 0: 4 P (x = 2) = 0: 6
Marginal de Y :
P (y = 1) = 0: 4 P (y = 2) = 0: 3 P (y = 3) = 0: 3
- Las celdas íintermediasí representan la distribuciÛn conjunta, vista como intersecciÛn:
P (X = 1; Y = 1) = 0 : 1 P (X = 1; Y = 2) = 0: 2 P (X = 1; Y = 3) = 0: 1 P (X = 2; Y = 1) = 0: 3 P (X = 2; Y = 2) = 0: 1 P (X = 2; Y = 3) = 0: 2
- Las distribuciones condicionadas se han de calcular haciendo uso de la ex- presiÛn de la probabilidad condicionada, por ejemplo P (X = 1=Y = 2) = P (X=1;Y =2) P (Y =2) =^
0 : 2 0 : 3. El resto de valores de las distribuciones condicionadas queda recogido en las columnas (o Ölas) de las siguientes tablas:
P (X=Y = 1) P (X=Y = 2) P (X=Y = 3) X x = 1 0 : 1 = 0 : 4 0 : 2 = 0 : 3 0 : 1 = 0 : 3 x = 2 0 : 3 = 0 : 4 0 : 1 = 0 : 3 0 : 2 = 0 : 3 1 1 1 Distribuciones condicionadas por valor de Y (y 0 ).
Y y = 1 y = 2 y = 3
P (Y =X = 1) 0 : 1 = 0 : 4 0 : 2 = 0 : 4 0 : 1 = 0 : 4 1 P (Y =X = 2) 0 : 3 = 0 : 6 0 : 1 = 0 : 6 0 : 2 = 0 : 6 1 Distribuciones condicionadas por valor de X (x 0 ).
Exercise 60 Con los datos del ejemplo anterior comprobar la Regla de Esper- anzas Iteradas y de Varianzas Iteradas.
Solution 61 øE [X] = EY [E [X=Y = y]]?
EY [E [X=Y = y]] = E [X=Y = 1] P (Y = 1)+E [X=Y = 2] P (Y = 2)+E [X=Y = 3] P (Y = 3).
- E [X=Y = 1] = 1P (X = 1=Y = 1) + 2P (X = 2=Y = 1) = 1 00 ::^14 + 2 00 ::^34 = 1 : 75 :
- E [X=Y = 2] = 1P (X = 1=Y = 2) + 2P (X = 2=Y = 2) = 1 00 ::^23 + 2 00 ::^13 = 1 : 333 3 = 43 :
- E [X=Y = 3] = 1P (X = 1=Y = 3) + 2P (X = 2=Y = 3) = 1 00 ::^13 + 2 00 ::^23 = 1 : 666 7 = 53 : AsÌ, EY [E [X=Y = y]] = 1: 75 0 :4 + 43 0 :3 + 53 0 :3 = 1: 6 : Por otro lado, E [X] = 1 P (X = 1) + 2 P (X = 2) = 1 0 :4 + 2 0 :6 = 1 : 6 :
X Be (p), p aleatorio. Se puede pensar en X como una variable aleatoria que modeliza la probabilidad de que un individuo tenga un siniestro en un pe- riodo determinado; el par·metro p no tiene porque ser el mismo para todos los individuos. Cuando un individuo contrata una poliza, si la aseguradora no tiene informaciÛn previa sobre Èste, es usual tratar p como una variable aleatoria, la cual denotamos P^. Por simplicidad, suponemos que los individuos de esta aseguradora pueden ser sÛlo de dos tipos de riesgo, caracterizados en el valor de P^ que se les asigna: p 1 = 0: 01 o p 2 = 0: 005. Por otro lado, se conoce que la proporciÛn ("en la sociedad"/"en la compaÒÌa por el sistema de selecciÛn re-
alizado"...) de cada uno de estos tipos de individuos es: P
P^ = 0: 01
P
P^ = 0: 005
= 0: 9. Se pide estimar la esperanza y la varianza de X haciendo
uso de las propiedades de esperanza y varianza iteradas.
Solution 63 Haciendo uso de (6) se tiene
E [X] = E (^) P^
h E
h X= P^
ii .
La fÛrmula anterior queda como
E [X] = E
h X= P^ = 0: 01
i P
P^ = 0: 01
+ E
h X= P^ = 0: 005
i P
P^ = 0: 005
Ahora queda calcular las esperanzas E
h X= P^ = p
i . CÛmo X es Bernoulli de par·metro p, se puede construir la siguiente tabla de probabilidades Xn P^ p = 0: 01 p = 0: 005
x = 0 0 : 99 0 : 995 x = 1 0 : 01 0 : 005
De esta manera
E
h X= P^ = 0: 01
i = 0 P
h X = 0= P^ = 0: 01
i
- 1P
h X = 1= P^ = 0: 01
i
E
h X= P^ = 0: 005
i = 0 P
h X = 0= P^ = 0: 005
i
- 1P
h X = 1= P^ = 0: 005
i
AsÌ:
E [X] = E
h X= P^ = 0: 01
i P
P^ = 0: 01
+ E
h X= P^ = 0: 005
i P
P^ = 0: 005
La esperanza de X ( 0 : 0055 ) puede ser interpretada como el riesgo esperado que se debe asignar a un nuevo cliente de la aseguradora.
Example 64 Otro ejemplo de aplicaciÛn de los momentos iterados puede ser el siguiente. Se considera el modelo biomÈtrico, por ejemplo ver ["EstadÌstica Actuarial Vida" o "The life table and its Applications (Chiang)"]. Este modelo considera la variable aleatoria Dx, "n˙mero de fallecidos a la edad cumplida x sin alcanzar la edad x + 1", como una distribuciÛn Binomial de par·metros Nx, qx. Distinguimos varios casos:
- Si los par·metros Nx, qx son conocidos, se tiene que E [Dx] = Nxqx.
- Si, Nx es conocido pero qx es desconocido no se puede calcular directa- mente E [Dx], y pasamos a obtener "posibles" valores de esta esperanza mediante las esperanzas condicionadas: E [Dxjqx]. En esta situaciÛn, se llama es- peranza incondicionada de Dx, al valor de E [Dx](qx aleatorio) , de manera que su valor puede calcularse haciendo uso de las propiedades de la esperanza iterada si se conoce la distribuciÛn de probabilidad de qx. Como ejemplo vamos a asumir que la v.a. qx es uniforme- qx U
qmx ; qMx
donde qxm y qMx son valores conocidos. Aplicando la propiedad de la Esperanza Iterada para el c·lculo de la esperanza incondicionada se obtiene:
E [Dx](qx aleatorio) = Eqx [E [Dxjqx]] = Eqx [Nxqx] (Nx es constante) = NxEqx [qx]
por ser qx uniforme = Nx
Z (^) qMx
qmx
qx qMx qxm
dqx
= Nx
qxM
(qmx )^2 qMx qmx
= Nx
qxM + qxm 2
Exercise 65 (Resuelto) ObtenciÛn de la varianza incondicionada V ar [Dx](qx aleatorio).
Solution 66 Haciendo uso de [7], el c·lculo puede ser como:
V ar [Dx](qx aleatorio) = Eqx [V ar [Dxjqx]] + V arqx [E [Dxjqx]].
Procedemos a desarrollar cada una de las dos expresiones de la parte derecha de la ecuaciÛn anterior. Para ello se tiene en cuenta que Dx es binomial y, que qx es uniforme. Se tiene:
Eqx [V ar [Dxjqx]] = Eqx [Nxqx (1 qx)] = NxEqx
qx q^2 x
= NxEqx [qx] NxEqx
q^2 x
haciendo uso de la propiedad V ar [Y ] = E
Y 2
(E [Y ])^2! E
Y 2
= V ar [Y ]+
1.5 Ejercicios/Ejemplos
Example 68 Sobre ¡lgebras y -·lgebras. Se considera un conjunto de resul- tados con cinco elementos que se codiÖca como = f 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 g. Se deÖne una colecciÛn de subconjuntos de , denotada U, como U = ff 1 ; 2 ; 3 g ; f 3 ; 4 ; 5 gg. Se pide:
- Comprobar que U es una -·lgebra justiÖcando la respuesta.
- DeÖnir la menor -·lgebra que contiene a U, denotada (U).
- Comprobar si la variable aleatoria deÖnida a continuaciÛn es medible re- specto de (U). X :! R f 1 g 0 f 2 g 0 f 3 g 10 f 4 g 1 f 5 g 1
- Repetir el apartado anterior si en la deÖniciÛn de la v.a. anterior se tiene que X (f 2 g) = 10 y X (f 3 g) = 0.
- Encontrar la -·lgebra generada por la v.a. Y deÖnida a continuaciÛn. Y :! R f 1 g 0 f 2 g 1 f 3 g 1 f 4 g 1 f 5 g 1
Solution 69 1. U no es una -·lgebra ya que ; 2 U= (0 2 U= ).
- CÛmo se ha de veriÖcar las condiciones dadas en la deÖniciÛn 4, se puede proceder uniendo elementos como sigue:
U 1 = fU[ f;g [ f gg f 1 ; 2 ; 3 gcomp^ = f 4 ; 5 g! U 2 = fU[ f;g [ f g [ f 4 ; 5 gg f 3 ; 4 ; 5 gcomp^ = f 1 ; 2 g! U 3 = ff 1 ; 2 ; 3 g [ f 3 ; 4 ; 5 g [ f;g [ f g [ f 4 ; 5 g [ f 1 ; 2 gg f 4 ; 5 g[f 1 ; 2 g = f 1 ; 2 ; 4 ; 5 g! U 4 = ff 1 ; 2 ; 3 g [ f 3 ; 4 ; 5 g [ f;g [ f g [ f 4 ; 5 g [ f 1 ; 2 g [ f 1 ; 2 ; 4 ; 5 gg f 1 ; 2 ; 4 ; 5 gcomp^ = f 3 g! U 5 = ff 1 ; 2 ; 3 g [ f 3 ; 4 ; 5 g [ f;g [ f g [ f 4 ; 5 g [ f 1 ; 2 g [ f 1 ; 2 ; 4 ; 5 g [ f 3 gg
Se puede comprobar que U 5 cumple las propiedades de ser -·lgebra. Por construcciÛn, es la menor -·lgebra que contiene a U, (U).
- Para comprobar si la v.a. X es o no medible respecto de (U) se puede proceder exahustivamente o por contraejemplo. Se considera un intervalo abierto de R, denotado . Se analiza esto por casos.
Si no contiene al 0 , al 10 , o al 1 (ej. ] 1 ; 0 :9[, ]0: 3 ; 0 :7[,... ) Entonces X ^1 () = f;g 2 (U). Si es tal que 0 2 , f 1 ; 10 gR 2 = =) X ^1 () = f 1 ; 2 g 2 (U). Si es tal que 1 2 , f 0 ; 10 gR 2 = =) X ^1 () = f 4 ; 5 g 2 (U). Si es tal que 10 2 , f 0 ; 1 gR 2 = =) X ^1 () = f 3 g 2 (U). Si es tal que f 0 ; 1 gR 2 , 10 2 = =) X ^1 () = f 1 ; 2 ; 4 ; 5 g 2 (U). Si es tal que f 0 ; 10 gR 2 , 1 2 = =) X ^1 () = f 1 ; 2 ; 3 g 2 (U). Si es tal que f 1 ; 10 gR 2 , 0 2 = =) X ^1 () = f 3 ; 4 ; 5 g 2 (U). Si es tal que f 0 ; 1 ; 10 gR 2 =) X ^1 () = f 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 g 2 (U).
- Es f·cil comprobar que la v.a. X ahora no es medible:
Si es tal que 0 2 , f 1 ; 10 gR 2 = =) X ^1 () = f 1 ; 3 g 2 = (U).
- Si se procede de manera exhaustiva. Sea un abierto de R:
Si es tal que 0 2 , 1 2 = =) Y ^1 () = f 1 g. Si es tal que 1 2 , 0 2 = =) Y ^1 () = f 2 ; 3 ; 4 ; 5 g. Si es tal que 0 ; 1 2 =) Y ^1 () = f 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 g =. Si es tal que 0 ; 1 2 = =) Y ^1 () = ;.
AsÌ, (Y ) = f;; f 1 g ; f 2 ; 3 ; 4 ; 5 g ; g.